微专题01 全等三角形的九大模型通关专练-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

微专题01 全等三角形的九大模型通关专练 一、平移模型 1．已知：如图，点B，F在线段EC上，，，．求证：． 2．如图，已知点、、、在同一条直线上， ，且，求证:， 3．如图，在和中，点，，，在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明． ①；②；③；④； 解：我写的真命题是： 在和中， 已知：________________________． 求证：____________．（不能填序号） 证明： 4．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．若，求的度数． 二、对称模型 5．如图，，点为上一点且．求证：． 6．已知：如图，相交于点． 求证： 7．如图，已知分别交于点M、N．试说明 (1) (2) 8．如图:交于O点，.求证:. 三、不共点旋转模型 9．如图，点，，，在直线上（，之间不能直接测量），点，在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 10．根据要求，填空完成下面的证明过程． 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，，交于O．求证：．    证明： 因为 所以，（ ） 在与中 （ ）， 所以（ ）； 所以，（ ） 又因为， 所以 ， 所以， 在与中 所以（ ）； 所以 ， 所以（ ）． 11．如图，点，在线段上，，，，试说明： (1)； (2)． 12．如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)与全等吗？为什么？ (2)试说明点是线段的中点． 四、多垂直模型（含一线三等角） 13．如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 14．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 15．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 16．如图1，，，，，垂足分别为D，E，，， (1)求的长； (2)其它条件不变的前提下，将所在直线旋转到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明． (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 五、手拉手模型 17．（1）如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接， ①猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； ②求的度数； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①求的度数； ②线段之间的数量关系为__________．（不用证明，直接写出结果即可） 18．如图，和都是等腰直角三角形， ． (1)猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)应用：把绕点在平面内自由旋转，若，当三点在同一直线上时，则的长是______． 19．如图，点是上一点，以，为边在同侧作等边和等边，连接与． (1)求证：； (2)如图，若点和点分别为，的中点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 20．（1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ．      六、倍长中线模型 21．阅读下面材料： 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再连接，相当于把，集中在中，利用三角形的三边关系，可得，即可得到的取值范围为． 小明小组的感悟：解题时，可以通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 请你解决以下问题： (1)如图2．在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接．求证：； (2)如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交于两点，连接，探索线段之间的数量关系，并加以证明． 22．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 23．小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ． (2)如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分． (3)如图（3），在中，，为中点，，交于点，交于点，连接．若，，求的长度． 24．【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是______． A.     B.     C.     D. (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是______． A.     B.     C.     D. 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． (3)【问题解决】如图3，是的中线，交于，交于，且．求证：． 七、截长补短模型 25．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 26．如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 27．综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    (3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．    28．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 八、平行线+中线模型 29．如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 30．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 31．已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； (3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系． 32． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 九、角平分线+垂直模型 33．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数．   ∵平分， 34．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点． （1）求证：平分； （2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：； （3）如图3，若，求证：． 35．如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC． （1）求证：∠ABD=∠ACD； （2）求证：AD平分∠CDE； （3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数． 36．已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动， (1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：； (2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 全等三角形的九大模型通关专练 一、平移模型 1．已知：如图，点B，F在线段EC上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质可得，由全等三角形的判定定理和性质可得，，依据平行线的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，理解题意，综合运用这两个判定和性质是解题关键． 2．如图，已知点、、、在同一条直线上， ，且，求证:， 【答案】见解析 【分析】根据题意证明，得到，故可求解． 【详解】证明：∵，， ∴，， 在与中， ∴（） ∴， ∴， 即． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 3．如图，在和中，点，，，在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明． ①；②；③；④； 解：我写的真命题是： 在和中， 已知：________________________． 求证：____________．（不能填序号） 证明： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．如果①②④联合，利用易证，从而可得；如果①③④联合，利用易证，从而可得． 【详解】解：已知：，，， 求证：， 证明：， ，即． ，， ， ． （或已知：，，， 求证：， 证明：， ，即． ，， ． ．） 4．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的判定定理进行解答是解题的关键．首先得出，再利用证明，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 二、对称模型 5．如图，，点为上一点且．求证：． 【答案】见详解 【分析】根据，，是公共边，可证，从而得出，由此证明，即可证明结论． 【详解】证明：∵，，是公共边， ∴， ∴， ∵， ∴，且，是公共边， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 6．已知：如图，相交于点． 求证： 【答案】见解析 【分析】先证明△ABC≌△DCB，再证明△AOB≌△DOC，可得结论． 【详解】证明：在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB(SSS)． ∴∠A＝∠D ．   在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC(AAS)． ∴OA＝OD． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，灵活选用判定方法是解题的关键． 7．如图，已知分别交于点M、N．试说明 (1) (2) 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质去证明三角形全等． （1）利用证明即可； （2）根据，得到，再利用证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 在和中， ， ， ． 8．如图:交于O点，.求证:. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据根据“”可证成为解题的关键． 根据“”可证，然后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：在和中， ∴， ∴． 三、不共点旋转模型 9．如图，点，，，在直线上（，之间不能直接测量），点，在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）先根据平行线的性质，再根据全等三角形的判定可证得结论； （2）先根据全等三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，又，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 10．根据要求，填空完成下面的证明过程． 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，，交于O．求证：．    证明： 因为 所以，（ ） 在与中 （ ）， 所以（ ）； 所以，（ ） 又因为， 所以 ， 所以， 在与中 所以（ ）； 所以 ， 所以（ ）． 【答案】见详解． 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，通过全等三角形判定定理，证得，则全等三角形的对应边相等，再证明，则全等三角形的对应角相等，则可得出． 【详解】证明：因为 所以，(两直线平行，内错角相等) 在与中 （对顶角相等）， 所以（）； 所以，（全等三角形对应边相等） 又因为， 所以 ， 所以， 在与中 所以 ； 所以， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；全等三角形对应边相等；；；；； 内错角相等，两直线平行． 11．如图，点，在线段上，，，，试说明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定： （1）利用证明即可； （2）根据，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以 即． 因为． 所以 （2）由（1）知； 所以． 因为， 所以． 所以． 12．如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)与全等吗？为什么？ (2)试说明点是线段的中点． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)说明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义等知识，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，，再利用即可证明； （2）利用证明，根据全等三角形的性质及线段中点定义即可得解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ，即， 在与中， ， ， ，， 在和中 ， ； （2）解：由（1）知，， 与相交于点， ， 在和中， ， ， ， 点是线段的中点． 四、多垂直模型（含一线三等角） 13．如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可． （2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键． 14．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查一线三直角全等问题， （1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则． 【详解】（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 15．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【详解】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 16．如图1，，，，，垂足分别为D，E，，， (1)求的长； (2)其它条件不变的前提下，将所在直线旋转到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明． (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立，见解析 【分析】此题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等判断出，进而判断出，得出，，即可得出结论； （2）同（1）的方法，证明得出，，进而得出结论． （3）同（1）的方法，证明得到，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：， 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：（2）中的猜想仍然成立， 证明：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 五、手拉手模型 17．（1）如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接， ①猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； ②求的度数； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①求的度数； ②线段之间的数量关系为__________．（不用证明，直接写出结果即可） 【答案】（1）①，证明见解析；②；（2）①；② 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①证明，即可得到结论；②由全等三角形的性质得到．求出，得出，从而证； （2）①证明，得出，进一步得到；②由全等三角形的性质得到再证明，即可得到． 【详解】（1）解：①， 证明如下：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴ ． 在和中， ， ∴． ∴ ②∵ ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． （2）解：① ∵和均为等腰直角三角形， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． ②∵ ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∴ ∴． 故答案为： 18．如图，和都是等腰直角三角形， ． (1)猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)应用：把绕点在平面内自由旋转，若，当三点在同一直线上时，则的长是______． 【答案】(1)， (2)成立，理由见详解 (3)7或17 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，，在做差，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，，与的交点记作点，与的交点记作点，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点在线段上时，过点作于，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点在线段的延长线上时，过点作于，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解： 和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， 点在上，点在上，且， ， 故答案为：，； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由： 由旋转知，， ，， ， ，， 如图2，与的交点记作点，与的交点记作点， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点在线段上时，如图3， 过点作于， 时等腰直角三角形，且， ， 在中，， 根据勾股定理得，， ； ②当点在线段的延长线上时，如图4， 过点作于， 时等腰直角三角形，且， ， 在中，， 根据勾股定理得，， ； 综上，的长为7或17， 故答案为：7或17． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 19．如图，点是上一点，以，为边在同侧作等边和等边，连接与． (1)求证：； (2)如图，若点和点分别为，的中点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】（）由“”可证，可得； （）由“”可证，可得，，可得结论； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，均是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵点和点分别为，的中点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 20．（1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ．      【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据题意已知，，，即可得到，从而可得； （2）同理，再在延长线上取一点，使，连接，证得，结合再证得，即可得出； （3）同理，在的延长线上取一点，使，连接，证得，即可得出，，求出即可解题． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，在延长线上取一点，使，连接， ，与互补， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）如图，在的延长线上取一点，使，连接， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，补角的定义，线段的和差关系，解题的关键是作辅助线从而构造三角形全等． 六、倍长中线模型 21．阅读下面材料： 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再连接，相当于把，集中在中，利用三角形的三边关系，可得，即可得到的取值范围为． 小明小组的感悟：解题时，可以通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 请你解决以下问题： (1)如图2．在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接．求证：； (2)如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交于两点，连接，探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）如图1，延长到，使，连接，可证，可得，根据题意可得是的垂直平分线，可得，在中，根据三角形三边的数量关系即可求解； （2）将绕点逆时针旋转得到，可证三点共线，再证，根据三角形边的关系即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴； （2）证明：如图2， ∵，将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要 考查倍长中线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形三边的数量关系，旋转的性质，合理作出辅助线是解题的关键． 22．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】(1)已作；对顶角相等；； (2) (3)6 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； （2）由（1）得：，且，， ， 在中，， ； （3）延长交的延长线于F， ∵是的中线 ∴ ，， ， 在和中， ， ，， 又且 ， ， ， ． 即：的长是6． 23．小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ． (2)如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分． (3)如图（3），在中，，为中点，，交于点，交于点，连接．若，，求的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，勾股定理，垂直平分线的判定和性质； （1）利用证明； （2）证明，得出，，根据已知可得，则，等量代换可得，即可得证； （3）延长至，使得，连接，同理可得，则，进而可得，勾股定理求得，根据是的垂直平分线，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：； （2）证明：如图所示，延长至，使得，连接， 在中 ∴ ∴， ∵， ∴ 又∵． ∴ ∴ ∴，即平分 （3）解：如图所示，延长至，使得，连接， 同理可得， ∴， ∵在中，， ∴ ∴ 在中， 又∵，， ∴是的垂直平分线， ∴ 24．【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是______． A.     B.     C.     D. (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是______． A.     B.     C.     D. 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． (3)【问题解决】如图3，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【答案】(1)B (2)C (3)见解析 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：在和中 ， ， 故选：B； （2）解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ， 故选：C． （3）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ， 即． 七、截长补短模型 25．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】；；；；；；变式应用：．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在上截取，连接，求得，证明，得到，，得到，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图2，在上截取，连接， 只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立． 故答案为：；；；；；； 变式应用：．理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键． （1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论； （2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，    ∵平分，， ∴， 又∵是中点，即， ∴， ∵，， ∴：平分． （2）解：如图：在上截取，连接．   平分， ． 在和中， ， ，． 是的中点， ． 又， ， ， ， 在和中 ． ， ， ， ∴ 27．综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    (3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：延长到G，使得，连接，    在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）；理由如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 28．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)24 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键的通过截长补短，构造特殊三角形和全等三角形． （）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （3）过点C作，垂足为点C，截取．连接、，证明，再证明，得到，，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点C作，垂足为点C，截取．连接、． ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中 ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 在和中 ∵ ， ∴ ∴，， ∴． 故答案为：24． 八、平行线+中线模型 29．如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到， ，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴， ， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：．理由如下： 过E作交于F，    ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 30．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 【答案】见详解 【分析】过点D作DF∥AC，交BC于点F，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDF=∠MEC，DF=CE，从而证明∆FMD≅∆CME，进而即可得到结论． 【详解】过点D作DF∥AC，交BC于点F， ∵是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DF∥AC， ∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC， ∴是等边三角形， ∴BD=DF， ∵， ∴DF=CE， 又∵∠FMD=∠CME， ∴∆FMD≅∆CME， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键． 31．已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； (3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系． 【答案】(1)DM=EM．理由见详解； (2)成立，理由见详解； (3)MD=ME． 【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； （2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； （3）MD=ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM∽△EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论； 【详解】（1）解：DM=EM； 证明：过点E作EF//AB交BC于点F， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB， ∴∠ABC=∠EFC， ∴∠EFC=∠C， ∴EF=EC． 又∵BD=EC， ∴EF=BD． 又∵EF//AB， ∴∠ADM=∠MEF． 在△DBM和△EFM中 ， ∴△DBM≌△EFM， ∴DM=EM． （2）解：成立； 证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB， ∴∠ABC=∠EFC， ∴∠EFC=∠C， ∴EF=EC． 又∵BD=EC， ∴EF=BD． 又∵EF//AB， ∴∠ADM=∠MEF． 在△DBM和△EFM中 ∴△DBM≌△EFM； ∴DM=EM； （3）解：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F， ∵∠DBM=∠EFM，∠DMB=∠EMF ∴△DBM∽△EFM， ∴BD：EF=DM：ME， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠F=∠ABC， ∴∠F=∠C， ∴EF=EC， ∴BD：EC=DM：ME=1：2， ∴MD=ME． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键． 32． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3． 【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可； （2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果． 【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ． ∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ． 在△PDF和△QDC中，， ∴△PDF≌△QDC（AAS）， ∴PD=DQ； （2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF． ∵PE⊥AC，∴AE=EF． ∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ． 在△PFD和△QCD中，， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD． ∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DEAC． ∵AC=6，∴DE=3．    【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质． 九、角平分线+垂直模型 33．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 34．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点． （1）求证：平分； （2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：； （3）如图3，若，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK，从而根据角平分线的判定定理可证得结论； （2）作，，在上取一点，使，通过证明和得到，从而根据等角对等边判断即可； （3）延长至，使，连接，通过证明得到，再结合即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图所示，过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K， ∵，分别是和的角平分线， ∴， ∴平分； （2）证明：如图，作，，在上取一点，使． ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴； （3）证明：延长至，使，连接． ∵，分别是和的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键． 35．如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC． （1）求证：∠ABD=∠ACD； （2）求证：AD平分∠CDE； （3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，60° 【分析】（1）根据∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，再结合∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，即可得出结论； （2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM＝AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证； （3）运用截长法在CD上截取CP＝BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数． 【详解】（1）证明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC， 又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°， ∴∠ABD＝∠ACD； （2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N． 则∠AMC＝∠ANB＝90°， ∵OB＝OC，OA⊥BC， ∴AB＝AC， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴△ACM≌△ABN （AAS）， ∴AM＝AN， ∴AD平分∠CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）； （3）∠BAC的度数不变化． 在CD上截取CP＝BD，连接AP． ∵CD＝AD＋BD， ∴AD＝PD， ∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP， ∴△ABD≌△ACP， ∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP， ∴AD＝AP＝PD， 即△ADP是等边三角形， ∴∠DAP＝60°， ∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强． 36．已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动， (1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：； (2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论仍成立，理由见解析 【分析】本题考查角了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，作出辅助线构三角形是解题的关键． （1）过作于，于，由为的平分线，利用角平分线定理得到，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到与全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证； （2）同（1）可证明． 【详解】（1）解：过作于，于， ∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴． （2）画出图形，结论仍成立， 理由如下： 过作于，于， ∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$