2.2.1直线的点斜式方程（2知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

2.2.1 直线的点斜式方程 课程标准 学习目标 （1）根据确定直线位置的几何要素, 探索并掌握直线方程的几种形式 (点斜式、两点式及一般式)。 （1）理解直线的点斜式方程; （2）理解直线的斜截式方程; （3）会利用点斜式求直线的方程，并处理一些几何问题.（难点) 知识点01 直线的点斜式方程 若直线的斜率为，且过定点，则直线方程为，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 解释 ① 点斜式告诉我们：给定一点和斜率便可唯一确定一条直线，确定其方程. 当倾斜角为时，，方程为; 当倾斜角为时，斜率不存在，不能用点斜式表示，方程为; ② 建立直线的方程，就是利用确定直线位置的几何要素，建立直线上任意一点的横坐标，纵坐标所满足的关系式； ③ 证明：直线经过点，且斜率为，设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式可得，即. 因此显然可得直线上每一点的坐标都满足关系式. 反过来呢？坐标满足关系式的每个点都在直线上. 事实上，若点的坐标满足关系式，即 当时，点与重合，显然点在直线上； 当时，有，这说明过点，的直线的斜率为， 因为直线的斜率均为，且都过点，所以它们重合，所以点在直线上. 故坐标满足关系式的每个点都在直线上. 【即学即练1】 求经过点，倾斜角为的直线方程. 解 ，则直线方程为，即. 知识点02 直线的斜截式方程 我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式，其中为直线斜率，为直线在轴上的截距. 【即学即练2】 已知直线在轴上的截距为，且斜率为2，求直线的截距式方程. 解 ，，则直线的截距式方程. 【题型一：直线的点斜式方程】 例1．一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程. 【分析】倾斜角为的直线，斜率为， 所以入射光线为， 令，解得，所以入射光线与轴的交点为， 反射光线的斜率为，则反射光线的方程为. 故选：D 变式1-1．若直线l的倾斜角为，且过点，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以求出直线的斜率，再根据点斜式写出方程即可. 【详解】∵直线l的倾斜角为，∴直线l的斜率为1， 又∵直线l过点，∴直线l的方程为 故选：B. 变式1-2．已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】先写出直线AB的方程；再利用基本不等式即可求解. 【详解】由，可得：， 则直线AB的方程为：，即. 又因为动点在线段AB上运动， 所以， 则，当且仅当，即，时等号成立， 所以.最大值为3. 故选：C. 变式1-3．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切的和角公式与直线方程的点斜式求解即可 【详解】设直线的倾斜角为，则， 又直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线， 所以直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 故直线的方程是，即， 故选：D． 【方法技巧与总结】 直线的点斜式告诉我们，若知道直线的斜率和直线上一点，直线方程便可确定. 【题型二：直线过定点问题】 例2．已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【详解】由，得， 所以直线l的方程恒过定点，斜率为. 因为，， 所以，. 由题意可知，作出图形如图所示， 由图象可知，或， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 变式2-1．直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由时，可得到定点坐标. 【详解】当，即时，，直线恒过定点. 故选：B. 变式2-2．若直线与直线关于点对称，则直线恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线恒过的定点，并求出其关于点对称点即可. 【详解】直线恒过定点， 又关于点对称点为 所以直线恒过的定点为 故选：D. 【方法技巧与总结】 1 直线的点斜式告诉我们，直线方程表示的是斜率为，过点的直线； 2 直线系(其中是常数)过定点. 【题型三：直线的斜截式方程】 例3．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】倾斜角求出斜率，进而由点斜式写出直线的斜截式方程. 【详解】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）由于倾斜角，则斜率， 由斜截式可得所求直线方程为 （3）由于直线的倾斜角为，则其斜率. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 则直线在y轴上的截距或， 故所求直线方程为或. 变式3-1．已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点斜式方程求解即可. 【详解】直线在轴上的截距为，点在直线上， 又直线的斜率为,根据点斜式方程得即. 故选：B. 变式3-2．已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分析得到直线经过的象限，结合一次函数的性质求解即可. 【详解】当时，，故直线不过原点， 则直线一定通过三个象限， 而直线不过第一象限，故其必过第二，三，四象限， 得到，解得. 故答案为： 变式3-3．过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是 ． 【答案】或 【分析】由题意设直线l为，从而求得在坐标轴上的截距，再利用三角形面积公式得到关于的二次方程，解之即可. 【详解】由题意所求直线l的斜率必存在，且不为，设其斜率为，则直线l方程为， 令，得，令，得， 故所围三角形面积为，即， 当时，上式可化为，解得或； 当时，上式可化为，方程无解； 综上：直线的斜截式方程是或. 故答案为：或. 【方法技巧与总结】 直线的斜截式方程中为斜率，为直线在轴上的截距. 【题型四：截距问题】 例4．若直线经过点，且在轴上的截距的取值范围是（3，5），则其斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得出直线的点斜式方程，求得直线在x轴上的截距，建立不等式可得选项． 【详解】设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)， 令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，则3<1－<5， 解得 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：A 变式4-1．直线过点，，则直线在轴上的截距是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的方程，令可解. 【详解】由题可得直线的斜率， 再由点斜式方程可得， 化简可得，令， 则直线在轴上的截距为． 故选：D． 变式4-2．（多选）过点且在两坐标上截距的绝对值相等的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设所求的直线方程为，求出横截距，纵截距，再由过点的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，求出，即得解. 【详解】解：设所求的直线方程为， 当时，得横截距， 当时，得纵截距， 过点的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等， ， 或， ，或或， 所以直线的方程为或或. 故选：ABD． 变式4-3．已知直线l过，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】用点斜式设出直线方程，求出与坐标轴的交点为，，再由截距的绝对值相等列式，求解得的值有3个，从而得结论. 【详解】由题意，该直线斜率存在且不为，设所求直线的方程为， 令，则；令，则， 因为直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等， ，化简得或， 解得或或， 所以过并在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条. 故选：C 【方法技巧与总结】 若直线方程为，令可求直线在轴上的截距，令可求直线在轴上的截距。 【题型五：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 例5．是直线上的第一象限内的一点，为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，当面积最小时，点的坐标是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，设出点的坐标，并表示出点的横坐标，再列出三角形面积的关系式，利用均值不等式求解作答. 【详解】依题意，设，，则， 而，则有，显然，于是， 由点在x轴正半轴上，得，面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以当面积最小时，点的坐标是. 故答案为：    变式5-1．过点且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线的条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设直线的斜率为，得到，分别求得直线在坐标轴上的截距，根据题意列出方程，即，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意知，所求直线的斜率一定存在，设直线的斜率为， 则直线方程为，即， 令，可得；令，可得， 因为过点且与两坐标轴围成的三角形面积为4， 可得，整理得， 当时，可得，解得； 当时，可得，解得或， 所以满足条件的直线方程共有3条. 故选：C. 变式5-2．已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线过点的中点，若直线，及轴围成的三角形面积为6，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】求得的中点坐标为，设直线的方程为，且与轴交于点，结合三角形的面积公式，列出方程，求得或，进而求得直线的方程. 【详解】由直线，可得与轴，轴分别交于， 则的中点为，即中点坐标为， 设直线的方程为，即，且与轴交于点， 因为直线，及轴围成的三角形面积为6， 可得，即，解得或， 当时，即点，此时直线的方程为，即； 当时，即点，此时，直线的方程为， 综上可得直线的方程为或. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及三角形面积公式的应用，其中解答中熟练直线的点斜式方程，以及结合三角形的面积公式列出方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 变式5-3．如图，在两条互相垂直的道路，的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路的垂直距离为4米，到道路的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米． 【答案】10 【分析】建立平面直角坐标系，设出直线方程为，分别写出点坐标，进而根据三角形面积公式结合均值不等式求解即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系， 根据题意设人行道所在直线方程为， 所以，， 所以的面积， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 此时，， 所以人行道的长度为 米. 【方法技巧与总结】 求直线与坐标轴围成图形的面积问题，先求出直线在坐标轴上的截距，把面积用参数表示出来，再根据题意求值或利用基本不等式等方法求其最值. 一、单选题 1．下列直线中过第一、二、四象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线经过的象限确定斜率及轴截距判断选项即可. 【详解】若直线过第一、二、四象限，则， 选项A，B，D中直线的斜率都大于0，只有C满足． 故选：C. 2.直线恒过一定点，则此点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线化为点斜式为：， ∴直线恒过一定点. 故选：C. 3.经过点且斜率为2的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程写出即可. 【详解】由点斜式可得直线的方程为， 化为. 故选：C. 4.若直线l经过点，且在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将截距范围转化为直线与线段有交点，利用斜率计算公式及其意义即可得出． 【详解】取直线与轴的交点，． ，． 直线与线段相交， 或． 故选：． 【点睛】本题考查了直线在坐标轴上截距的定义、斜率计算公式及其意义，考查了转化思想与计算能力，属于基础题． 5.在平面直角坐标系中有两个定点、，若在轴有一动点，使得值最小，此时点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】同侧求最短问题，先求关于轴的对称点，由求出直线方程，令即可. 【详解】关于轴的对称点，又，，故过的直线方程为，当时，，使得值最小，故点为. 故选：D 6.直线：，直线过点，且它的倾斜角是的倾斜角的倍，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的倾斜角为，则，由正切的二倍角公式计算的值即为直线的斜率，由点斜式可得直线的方程. 【详解】由直线：，可得， 设直线的倾斜角为，则， 因为直线的倾斜角是的倾斜角的倍， 所以直线的斜率为， 因为直线过点， 所以直线的方程为：， 故选：D． 7. 已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，求出直线的倾斜角可以是或或或，从而可得直线斜率，利用点斜式可写出直线方程，最后检验即可得答案. 【详解】解：由题意，直线的倾斜角可以是或或或， 所以直线的斜率或或或， 所以直线的方程可以为或或 或， 由，整理得，此时直线过原点，无法与轴和轴围成直角三角形. 故选：D. 8.已知直线l过点，且分别交两直线于x轴上方的两点，O点为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．20 【答案】A 【分析】判断直线斜率存在并设直线l的方程为，求出两点的横坐标，表示出三角形的面积，并化简，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知直线l的斜率一定存在，斜率设为k，则直线l的方程为， 分别与联立可得两点的横坐标：， 故，两点都在x轴的上方， 故， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最小值为8， 故选：A． 二、多选题 9．（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可知直线的斜率为，分两种情况，由点斜式得到直线方程. 【详解】由题意可知直线的斜率为， 当直线的斜率为1时，直线方程为，化简得； 当直线的斜率为时，直线方程为，化简得. 故选：BC 10.已知直线交y轴于点A，将l绕点A顺时针旋转得直线m，则（    ） A．直线l与直线m关于x轴对称 B．直线l与直线m关于y轴对称 C．直线m的方程为 D．直线m的方程为 【答案】BD 【分析】先求得直线m的方程，再分别求得直线l关于x轴和关于y轴对称的直线方程即可解决. 【详解】直线交y轴于点，斜率，倾斜角为 则直线m倾斜角为，斜率，且直线m过点， 则直线m的方程为，即， 又直线关于y轴对称的直线为； 关于x轴对称的直线为 则选项AC判断错误；选项BD判断正确. 故选：BD 11.在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中是真命题的有（    ） A．存在正实数使得面积为的直线l恰有一条 B．存在正实数使得面积为的直线l恰有二条 C．存在正实数使得面积为的直线l恰有三条 D．存在正实数使得面积为的直线l恰有四条 【答案】BCD 【分析】根据直线的方程求出与坐标轴的交点坐标，然后求出的面积，作出函数的图象，利用数形结合，可确定的值的情况，即可判断各选项的正误. 【详解】由题意知，直线与轴、轴交点的坐标分别为，， 所以，作出其图象如图所示， 由图可知，当时，有两解；当时，有三解；当时，有四解. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题通过三角形面积的求解，结合函数的图象，确定取不同值时的解的个数，从而确定直线的条数，解题的关键是求出的面积，并能准确的作出函数的图象. 三、填空题 12．直线过点，且与直线：的夹角为，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】由题设可得直线的倾斜角为或，结合倾斜角与斜率关系及点斜式写出直线方程. 【详解】由题设，直线斜率为，则其倾斜角为， 所以直线的倾斜角为或，且过， 故直线的方程为或，即或. 故答案为：或 13.一条直线经过，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】先求出直线的倾斜角，从而可求得直线的倾斜角，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， 所以直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 因为直线经过， 所以直线的方程为，即， 故答案为： 14.已知过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于､两点，为坐标原点，当的面积8时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】设直线的方程为，分别令，可得直线在轴上的截距，可得，解方程即得解 【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为零， 可设直线的方程为，即. 在直线的方程中，令，可得；令，可得. 即点，，由题意可得，解得， 则, 解得, 所以，直线的方程为，即. 故答案为：. 四、解答题 15．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)斜率，在y轴上的截距1，直线与y轴交点的坐标为． 【分析】（1）利用斜截式方程直接写出方程即可. （2）利用直线的点斜式写出方程，再化成斜截式. （3）化方程为斜截式，再求出斜率、纵截距及与y轴交点的坐标. 【详解】（1）直线的斜率，纵截距， 所以该直线的斜截式方程为. （2）过点，斜率为的直线的点斜式方程为， 所以该直线的斜截式方程为. （3）直线方程化为， 所以该直线的斜率为，在y轴上的截距为1，直线与y轴交点的坐标为． 16.已知直线． (1)求证：直线l恒过一个定点； (2)当时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）变形可得，根据点斜式方程可得定点； （2）由已知得不等式，解不等式即可. 【详解】（1）证明：由，得，由直线的点斜式方程可知，直线恒过定点； （2）设， 因为当时，直线上的点都在轴上方，需满足即，解得， 所以实数的取值范围是 17.过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于A，B两点，求（O为坐标原点）面积取得最小值时的直线方程． 【答案】. 【分析】由题意设直线的方程为，然后求出直线与坐标轴的交点，从而可表示出的面积，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出直线方程. 【详解】由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即， 在直线的方程中，令，可得； 令，可得. 所以点， 由已知条件可得，得， 所以的面积为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线的方程为. 18.如图，四边形是平行四边形，，，，动直线由轴起向右平移，分别交两边于不同两点､. (1)求点和点的坐标，写出用表示的面积的函数解析式； (2)当为何值时，有最大值？并求出此时的最大值. 【答案】(1)，， (2)当时，取最大值为 【分析】（1）由题意求出点和点的坐标，进而求出直线的方程，讨论t的取值范围，结合三角形面积公式，即可求得答案. （2）分段求解函数的最值或取值范围，即可确定答案 【详解】（1），， 点的坐标为，即， 而，由此可求得点坐标为， 则的方程为，直线的方程为. 当时，点､分别在边和上，两点分别为､， ； 当时，点､分别在边和上， ， 综上所述，； （2）当时，，当时，取最大值为. 当时，， 此时在上单调递减，， 故当时，取最大值为. 19．如图，一载着重危病人的火车从地出发，沿北偏东射线行驶，其中，在距离地10公里北偏东角的处住有一位医学专家（其中），现有紧急征调离地正东公里的处的救护车赶往处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在处相遇，经计算当两车行驶的路线与围成的三角形面积最小时，抢救最及时． （1）求关于的函数关系； （2）当为何值时，抢救最及时． 【答案】（1）当时，，当且时，，（2） 【分析】（1）根据题意可建立如图所示的直角坐标系，分别求出直线的方程和点的坐标，进而可以关于的函数关系； （2）将问题转化为求函数的最小值，根据（1）中的函数解析式，利用基本不等式，可求出函数的最小值，进而可得答案 【详解】解：（1）建立如图所示的直角坐标系， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以射线的方程为， 因为，所以直线的斜率为（）， 所以直线的方程为（）， 当时，点，则， 当时，由，得（）， 所以点（）， 所以（）， 综上，当时，，当且时， （2）由（1）得当且时， ， 当且仅当，即时取等号， 而当时，， 所以当时，有最小值，即抢救最及时. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1 直线的点斜式方程 课程标准 学习目标 （1）根据确定直线位置的几何要素, 探索并掌握直线方程的几种形式 (点斜式、两点式及一般式)。 （1）理解直线的点斜式方程; （2）理解直线的斜截式方程; （3）会利用点斜式求直线的方程，并处理一些几何问题.（难点) 知识点01 直线的点斜式方程 若直线的斜率为，且过定点，则直线方程为，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 解释 ① 点斜式告诉我们：给定一点和斜率便可唯一确定一条直线，确定其方程. 当倾斜角为时，，方程为; 当倾斜角为时，斜率不存在，不能用点斜式表示，方程为; ② 建立直线的方程，就是利用确定直线位置的几何要素，建立直线上任意一点的横坐标，纵坐标所满足的关系式； ③ 证明：直线经过点，且斜率为，设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式可得，即. 因此显然可得直线上每一点的坐标都满足关系式. 反过来呢？坐标满足关系式的每个点都在直线上. 事实上，若点的坐标满足关系式，即 当时，点与重合，显然点在直线上； 当时，有，这说明过点，的直线的斜率为， 因为直线的斜率均为，且都过点，所以它们重合，所以点在直线上. 故坐标满足关系式的每个点都在直线上. 【即学即练1】 求经过点，倾斜角为的直线方程. 知识点02 直线的斜截式方程 我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式，其中为直线斜率，为直线在轴上的截距. 【即学即练2】 已知直线在轴上的截距为，且斜率为2，求直线的截距式方程. 【题型一：直线的点斜式方程】 例1．一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．若直线l的倾斜角为，且过点，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 变式1-3．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 直线的点斜式告诉我们，若知道直线的斜率和直线上一点，直线方程便可确定. 【题型二：直线过定点问题】 例2．已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 变式2-2．若直线与直线关于点对称，则直线恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 直线的点斜式告诉我们，直线方程表示的是斜率为，过点的直线； 2 直线系(其中是常数)过定点. 【题型三：直线的斜截式方程】 例3．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 变式3-1．已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 变式3-3．过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是 ． 【方法技巧与总结】 直线的斜截式方程中为斜率，为直线在轴上的截距. 【题型四：截距问题】 例4．若直线经过点，且在轴上的截距的取值范围是（3，5），则其斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．直线过点，，则直线在轴上的截距是（   ） A． B．3 C． D． 变式4-2．（多选）过点且在两坐标上截距的绝对值相等的直线是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知直线l过，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【方法技巧与总结】 若直线方程为，令可求直线在轴上的截距，令可求直线在轴上的截距。 【题型五：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 例5．是直线上的第一象限内的一点，为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，当面积最小时，点的坐标是 . 变式5-1．过点且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线的条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-2．已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线过点的中点，若直线，及轴围成的三角形面积为6，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 变式5-3．如图，在两条互相垂直的道路，的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路的垂直距离为4米，到道路的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米． 【方法技巧与总结】 求直线与坐标轴围成图形的面积问题，先求出直线在坐标轴上的截距，把面积用参数表示出来，再根据题意求值或利用基本不等式等方法求其最值. 一、单选题 1．下列直线中过第一、二、四象限的是（    ） A． B． C． D． 2.直线恒过一定点，则此点是（    ） A． B． C． D． 3.经过点且斜率为2的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4.若直线l经过点，且在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.在平面直角坐标系中有两个定点、，若在轴有一动点，使得值最小，此时点坐标为（    ） A． B． C． D． 6.直线：，直线过点，且它的倾斜角是的倾斜角的倍，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7. 已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程不可以是（    ） A． B． C． D． 8.已知直线l过点，且分别交两直线于x轴上方的两点，O点为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．20 二、多选题 9．（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10.已知直线交y轴于点A，将l绕点A顺时针旋转得直线m，则（    ） A．直线l与直线m关于x轴对称 B．直线l与直线m关于y轴对称 C．直线m的方程为 D．直线m的方程为 11.在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中是真命题的有（    ） A．存在正实数使得面积为的直线l恰有一条 B．存在正实数使得面积为的直线l恰有二条 C．存在正实数使得面积为的直线l恰有三条 D．存在正实数使得面积为的直线l恰有四条 三、填空题 12．直线过点，且与直线：的夹角为，则直线的方程为 ． 13.一条直线经过，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为 ． 14.已知过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于､两点，为坐标原点，当的面积8时，直线的方程为 . 四、解答题 15．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 16.已知直线． (1)求证：直线l恒过一个定点； (2)当时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 17.过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于A，B两点，求（O为坐标原点）面积取得最小值时的直线方程． 18.如图，四边形是平行四边形，，，，动直线由轴起向右平移，分别交两边于不同两点､. (1)求点和点的坐标，写出用表示的面积的函数解析式； (2)当为何值时，有最大值？并求出此时的最大值. 19．如图，一载着重危病人的火车从地出发，沿北偏东射线行驶，其中，在距离地10公里北偏东角的处住有一位医学专家（其中），现有紧急征调离地正东公里的处的救护车赶往处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在处相遇，经计算当两车行驶的路线与围成的三角形面积最小时，抢救最及时． （1）求关于的函数关系； （2）当为何值时，抢救最及时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$