专题02全等三角形6大经典模型-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

专题02 全等三角形经典模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、一线三等角模型 4 类型二、倍长中线模型 12 类型三、截长补短模型 19 类型四、手拉手模型 26 类型五、角平分线模型 32 类型六、半角模型 36 压轴能力测评（10题） 44 一、一线三等角模型 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.这个模型称为一线三等角模型. 一线三等角类型： （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 二、倍长中线模型 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移. 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE, 1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE 2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE 三、截长补短模型 该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 (1)截长: 在较长线段上截取一段等于某一短线段, 再证剩下的那一段等于另一短线段。 例: 如图, 求证BE+DC=AD； 方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短:将短线段延长,证与长线段相等 四、手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”. 应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题； ②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。 五、角平分线模型 形式1：如下图，角平分线+对称型 利用角平分线图形的对称性, 在角的两边构造对称全等三角形, 可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移, 这是经常使用的---种解题技巧。 【理论依据】: 三边对应相等的三角戏是全等三角形(SSS)、全等三角形对应角相等 形式2：如下图，角平分线+垂直两边型 【几何语言】:∵OC为∠AOB的角平分线, D为OC上一点DE⊥OA, DF⊥OB ∴△CED≌△OFD(AAS), ∴DE=DF 形式3：如下图，角平分线+垂直平分线型 【说明】构造此模型可以利用等腰三角形的 三线合一, 也可以得到两个全等的直角三角形, 进而 得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。 形式4：如下，角平分线+平行线型 六、半角模型 当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 类型一、一线三等角模型 例1．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 变式1-1．综合与实践： 在中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D． (1)问题情境：如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是_________________，此时之间的数量关系是_________________． (2)探究证明：如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：在直线l上任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作于点N，请直接写出在图3、图4中之间的数量关系． 变式1-2．在中，，，．是经过点的直线，于，于． (1)求证： (2)若将绕点旋转，使与相交于点（如图，其他条件不变，求证：． (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点（如图，连接，求证：． 类型二、倍长中线模型 例2．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是____． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    变式2-1．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 变式2-2．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 类型三、截长补短模型 例3．如图，在中，是的中线，延长点，使，．    (1)求证：； (2)如图，平分交于点，交于点，若，试探究的数量关系，并说明理由． 变式3-1．【阅读材料】 “截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题．    【问题解决】 （1）如图①，在中，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段之间的数量关系； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，为的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，为的补角的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由． 变式3-2．如图1，在中，，点D在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若点F为的中点，的延长线交于点G，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 类型四、手拉手模型 例4．如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)试猜想与有何特殊关系，并证明； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）． 变式4-1．在和中，，，． (1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，； (2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 变式4-2．在和中，，，，，连接，交于点 (1)求证． (2)连接，判断是否平分，并证明你的结论． 类型五、角平分线模型 例5．如图，在中，P是的平分线上一点，且，则PB，PC，AB，AC之间有什么数量关系？ 变式5-1．如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．    （1）求出的度数； （2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．） （3）如图2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由． 变式5-2．观察发现：如图1，平分，在上分别取，使，再在上任取一点，连接．请你猜想与之间的数量关系，并说明理由． 拓展应用：如图2，在中，是直角，，分别是的平分线，相交于点，请你写出与之间的数量关系，并说明理由．    类型六、半角模型 例6．已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F． （1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：． （2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 小明第（1）问的证明步骤是这样的： 延长到Q使，连接， 证出得到，； 再证，得到，证出，即． 请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明． 变式6-1．如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 变式6-2．在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． (1)如图1，射线，都在内部． ①若，，则　 　； ②作点关于直线的对称点，在图1中找出与线段相等的线段，并证明． (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段之间的数量关系，并证明． 1．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是中线，是的中线，且，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是 ． ①；②；③；④； 【问题拓展】 （3）如图3，，与互补，连接，E是的中点，求证： ． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 2．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 3．在中，，直线经过点C，且于D， 于E， (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，试问具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 4．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 ； （填“＞”，“＜”或“=”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立； (2)如图3，若直线经过的外部，，请写出三条线段、、的数量关系的合理猜想 （不要求证明）． (3)拓展应用：如图④，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，与的面积之和是 ． 5．如图在和中， ，，． (1)当点D在AC上时，如图（1），求证： ． (2)将图（1）中的绕点A顺时针旋转角（），如图（2），线段BD、CE仍相等吗？请说明理由． (3)在图（2）中线段BD、CE有怎样的位置关系？请说明理由． 6．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 7．探究与运用： 角是我们学习的简单轴对称图形中较常见图形之一，我们已学过“角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴”在探究角的对称性这一特征时“智慧”小组的四名同学展开深入的讨论： 【探究】： （1）小慧同学设计了如下的一个问题（如图①）：若是的角平分线，点P是上一点，，连接，则和是关于直线成轴对称的两个三角形，即和全等，请帮助智慧小组说明和全等的理由； （2）在小慧同学的基础上继续探究，是的平分线，请你利用图形②画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，画出图形，写出添加的全等条件标，并写出全等的理由． 【运用】： （3）如图③，在中，是直角，，分别是和的平分线，相交于点F． ①求的度数； ②请判断与之间的数量关系，并说明理由． 8．在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动． 【初步探索】 （1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________； 【灵活运用】 （2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由． 9．如图1，在中，点D、E在边上，连接、，满足，且，点F在上，连接交于点G．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图2，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图3，于点Q，点M、N在边上，且，连接、，已知，，，，直接写出的最小值． 10．【了解概念】如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线的一点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． (1)【理解运用】如图2，在中，D为上一点，点D，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D，F关于直线的“等角点”，并说明理由； (2)【拓展提升】 如图2，在（1）的条件下，若，，点Q是射线上一点，且点D，Q关于直线的“等角点”为点C，请利用尺规在图2中确定点Q的位置，并求出的度数； (3)【拓展提升】 如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到AC的距离为1，直线l垂直平分边，点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为 　　． 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三边对应相等的三角戏是全等三角形(SSS)、全等三角形对应角相等 形式2：如下图，角平分线+垂直两边型 【几何语言】:∵OC为∠AOB的角平分线, D为OC上一点DE⊥OA, DF⊥OB ∴△CED≌△OFD(AAS), ∴DE=DF 形式3：如下图，角平分线+垂直平分线型 【说明】构造此模型可以利用等腰三角形的 三线合一, 也可以得到两个全等的直角三角形, 进而 得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。 形式4：如下，角平分线+平行线型 六、半角模型 当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 类型一、一线三等角模型 例1．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， 证明如下： ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）如图3， 过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 变式1-1．综合与实践： 在中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D． (1)问题情境：如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是_________________，此时之间的数量关系是_________________． (2)探究证明：如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：在直线l上任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作于点N，请直接写出在图3、图4中之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型是解答本题的关键． （1）根据证明，得，，进而可证； （2）过点B作于点H，根据证明，得，由三线合一得，进而可得； （3）如图3，作于点H，作，作于点F，作于点E，可证四边形和四边形都是矩形，从而，．结合，可证；如图4，作于点H，由，，得，，进而可证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：，； （2） 理由如下：过点B作于点H，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，作于点H，作，作于点F，作于点E， ∴四边形和四边形都是长方形， ∴，． 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图4，作于点H， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴． 变式1-2．在中，，，．是经过点的直线，于，于． (1)求证： (2)若将绕点旋转，使与相交于点（如图，其他条件不变，求证：． (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点（如图，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）首先证明，再证明，然后根据全等三角形的性质可得； （2）首先证明，再证明，根据全等三角形对应边相等可得； （3）首先证明，然后再证明，再根据全等三角形对应角相等可得，再根据等量代换可得结论． 【详解】（1）如图1，，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）如图2，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）如图3，过作交于， ， ， ， ， 由（2）得：， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，其中涉及到了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质定理当知识点，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 类型二、倍长中线模型 例2．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是____． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由且即可求解； （2）证可推出即可求解； （3）延长到Q使得，连接，延长交于点，证、即可求解． 【详解】（1）解：∵且 ∴ 故答案为： （2）解：，理由如下： ∵是边上的中线 ∴ ∴ （3）解：，理由如下： 延长到Q使得，连接，延长交于点    ∵是边上的中线 ∴ 变式2-1．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 变式2-2．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点， 为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, 同理可得: , ∴， 此时, 延长交于 点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型三、截长补短模型 例3．如图，在中，是的中线，延长点，使，．    (1)求证：； (2)如图，平分交于点，交于点，若，试探究的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明解析； (2)，理由见解析． 【分析】()延长至点，使，可证，由全等三角形的性质从而得出，根据题目已知，可证，由全等三角形的性质从而得出，等量代换即可得出答案； ()如图所示，作，可证，由全等三角形的性质对应角相等角从而得出，进而得出，故可证，得到，等量转化即可求得； 本题考查了全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）如图所示，延长至点，使，    在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵平分，， ， ∴，， ∴， 作，如图，    在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式3-1．【阅读材料】 “截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题．    【问题解决】 （1）如图①，在中，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段之间的数量关系； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，为的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，为的补角的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析． 【分析】（1）在上截取，连接，可证明，得，，则，由，求得，则，所以，即可证明； （2）在上截取，连接，可证明，得，，由，，得，则，所以，即可证明； （3）在的延长线上取一点，使，连接，可证明，得，，所以，而，可推导出，则，所以． 【详解】解：（1）， 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）， 理由：如图②，在上截取，连接，    为平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． （3）， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接，    是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 变式3-2．如图1，在中，，点D在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若点F为的中点，的延长线交于点G，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)80 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据，可得，然后根据 ，可证明，继而可得出 ； （2）延长至，使，连接，证，可得出，证 ，从而证得，通过，得到； （3）求出，由（2）可求出，则的面积可求出． 【详解】（1）证明：∵， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：延长至，使，连接， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 即； （3）解：如图，∵， ， ， ， ， ， ． 类型四、手拉手模型 例4．如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)试猜想与有何特殊关系，并证明； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）． 【答案】(1)见解析 (2)且，理由见解析 (3)② 【分析】本题考查了常见的全等三角形模型――“手拉手模型”，熟记模型的构成条件、推理过程及结论是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）由可得，结合可得，即可得； （3）作，由可得，，即可推出，从而结论②正确；假设结论①正确，可得出，，与条件不符． 【详解】（1）证明：∵，， ， ∴ ∵ ∴ （2）解：且，理由如下： ∵， ∴， ， ， ， ， ∴ （3）解：作，如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴平分 假设①正确，即平分， 则有： ∴ 即： ∵平分， ， ， ， ， 故只有当时，①才成立； 故答案为：② 变式4-1．在和中，，，． (1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，； (2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)是， 【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答； （2）证明，得到，又由，得到，即可解答； （3），如图3，过点作，，垂足分别为、，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到． 【详解】（1）解：证明：如图1， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （2）成立，证明：如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． （3）， 如图3，过点作，，垂足分别为、， ， ，， ， ， ， ，， 平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等． 变式4-2．在和中，，，，，连接，交于点 (1)求证． (2)连接，判断是否平分，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)不平分，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识； （1）证明，即可得证； （2）作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，则不平分，据此即可求解． 【详解】（1）∵， ∴，即， 又∵，， ∴ ∴； （2）不平分，理由如下， 作于，于，如图2所示：    则， 在和中， ， ， ， ∴平分， ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴假设不成立，即不平分． 类型五、角平分线模型 例5．如图，在中，P是的平分线上一点，且，则PB，PC，AB，AC之间有什么数量关系？ 【答案】，理由详见解析 【分析】在AC上取点G，使，证得，在中，由三边关系得到，即可得到． 【详解】如图，在AC上取点G，使，连接PG． 平分， ． 在和中， ， ， ． 在中，由三边关系定理得． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 变式5-1．如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．    （1）求出的度数； （2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．） （3）如图2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析． 【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题; （2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD； （3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题． 【详解】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°， ∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120° （2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF． 理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，    ∵CE是∠BCA的平分线， ∴∠DCF＝∠GCF， 在△CFG和△CFD中， ， ∴△CFG≌△CFD（SAS）， ∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG 由（1）∠AFC＝120°得， ∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°， ∴∠AFG＝60°， 又∵∠AFE＝∠CFD＝60°， ∴∠AFE＝∠AFG， 在△AFG和△AFE中， ， ∴△AFG≌△AFE（ASA）， ∴EF＝GF， ∴DF＝EF； （3）结论：AC＝AE+CD． 理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，    同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS）， ∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE ∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120° ∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-×120°=120°， ∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC， ∴∠CFG＝∠CFD＝60°， 同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA）， ∴CD＝CG， ∴AC＝AG+CG＝AE+CD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形． 变式5-2．观察发现：如图1，平分，在上分别取，使，再在上任取一点，连接．请你猜想与之间的数量关系，并说明理由． 拓展应用：如图2，在中，是直角，，分别是的平分线，相交于点，请你写出与之间的数量关系，并说明理由．    【答案】观察发现：，见解析；拓展应用：，见解析 【分析】（1）证明即可； （2）在上截取，连接，证明得到，由是直角，得到，由角平分线的性质可得，，由三角形外角的性质可得，从而得到，再证明，即可得证． 【详解】解：观察发现：， 理由：平分， ， ， ， ， 拓展应用：， 理由：如图2，在上截取，连接， ， 平分， ， ， ， ， 是直角， ， ， ， 分别是的平分线， ，， ， ， ， ， 为公共边， ， ， ． 类型六、半角模型 例6．已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F． （1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：． （2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 小明第（1）问的证明步骤是这样的： 延长到Q使，连接， 证出得到，； 再证，得到，证出，即． 请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明． 【答案】(1)见解析(2)图2成立；图3不成立，见解析 【分析】（1）延长到Q使，连接，先证明，证出得到，；再证，得到，证出，即 （2）在图2仿照（1）的解法证明即可，图3也可以仿照（1）证明，只是结论不成立． 本题考查了三角形全等的判定和性质，半角模型的应用，熟练掌握半角模型，构造半角模型是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长到Q使，连接， ∵，，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． （2）图2成立，图3不成立． 证明：如图2，延长到K使，连接， ∵，，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 如图3，如图，延长到Q使，连接， ∵，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 变式6-1．如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)结论不成立，应当是，理由见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）如图中，延长到，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】（1）解：如图中，延长到G，使，连接，   ，， ． ． ． ． 又， ， ， ． ． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至M，使，连接．   ，， ， 在与中， ， ． ． ， ． ，即． 在与中， ， ． ，即， ． （3）解：结论不成立，应当是． 证明：如图中，在上截取，使，连接．   ，， ． 在与中 ， ． ． ． ． ， ∴． ， ， ． 变式6-2．在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． (1)如图1，射线，都在内部． ①若，，则　 　； ②作点关于直线的对称点，在图1中找出与线段相等的线段，并证明． (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①20；②，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）①先根据角的运算得出的度数，根据三角形内角和求出的度数；再根据直角三角形两锐角互余可得出的度数，作差可得结论； ②连接，可得出，再根据，，可得出，，所以；进而可得，再由全等三角形的性质可得结论； （2）在延长线上取点，使．连接．由垂直平分线的性质可得，；设，，所以，由此表达，由，可得，所以，即；由此可得，所以，由此可得结论． 【详解】（1）解：①，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：20； ②，理由如下： 证明：如图1，连接， ， ∵点与点关于直线对称，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如图2，在延长线上取点，使，连接， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 1．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是中线，是的中线，且，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是 ． ①；②；③；④； 【问题拓展】 （3）如图3，，与互补，连接，E是的中点，求证： ． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1）；（2）①④；（3）见解析；（4） 【分析】（1）由题意知，，则，，，由，可得，求解作答即可； （2）如图2，延长到，使，连接，证明，则，，，由，，可得，进而可证，则，，可判断①、④的正误；由，可知当时，，由，的关系未知，可判断②、③的正误； （3）如图3，延长到点P，使，连接，证明，则，可证，则，由与互补，可得，则，证明，可得，进而可得； （4）如图4，由，，可得，，，由，可得，即，，由，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）解：如图2，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，，①④正确，故符合要求； ∵， ∴当时，， ∵，的关系未知， ∴②③错误，故不符合要求； 故答案为：①④； （3）证明：如图3，延长到点P，使，连接， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4） 解：如图4，            ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 2．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点，    ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （3），，理由如下： 如图，延长，使，连接，      ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 3．在中，，直线经过点C，且于D， 于E， (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，试问具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）根据余角的性质可得，可证明，可得，即可求证； （2）根据余角的性质可得，可证明，可得，即可求证； （3）根据余角的性质可得，可证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：在中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 4．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 ； （填“＞”，“＜”或“=”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立； (2)如图3，若直线经过的外部，，请写出三条线段、、的数量关系的合理猜想 （不要求证明）． (3)拓展应用：如图④，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，与的面积之和是 ． 【答案】(1)①=，=；② (2) (3)6 【分析】（1）①求出，，根据证，推出，即可得出结果； ②求出，由证，推出，即可得出结果； （2）求出，由证，推出，即可得出结果； （3）由，的面积为，可求出的面积为6，再由证得，得出与的面积之和等于的面积，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：=，=； ②添加一个关于与关系的条件：，理由如下： 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：三条线段、、的数量关系的合理猜想为：，理由如下： ∵，，，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， 故答案为：； （3）解：∵的面积为，， ∴ ∵，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， 即， ∴， 故答案为：6． 5．如图在和中， ，，． (1)当点D在AC上时，如图（1），求证： ． (2)将图（1）中的绕点A顺时针旋转角（），如图（2），线段BD、CE仍相等吗？请说明理由． (3)在图（2）中线段BD、CE有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（1）利用SAS证明即可得； （2）易证，即可证明，可得，即可解题； （3）延长BD交CE于F，由得 ，根据，可以求得，即可解题． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴ ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴； （3）解：，理由如下： 延长BD交CE于F，如图②： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 6．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）8 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）根据点是的中点，延长到点，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到中的两个角相等，然后用等角对等边证明等于． （3）延长交于，证明，则，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点，使得，连接． ∵是边上的中线(已知)， ∴， 在和中， ， ， 又， ， ， ， ， 即：， ． （3）解：如图3，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴． 7．探究与运用： 角是我们学习的简单轴对称图形中较常见图形之一，我们已学过“角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴”在探究角的对称性这一特征时“智慧”小组的四名同学展开深入的讨论： 【探究】： （1）小慧同学设计了如下的一个问题（如图①）：若是的角平分线，点P是上一点，，连接，则和是关于直线成轴对称的两个三角形，即和全等，请帮助智慧小组说明和全等的理由； （2）在小慧同学的基础上继续探究，是的平分线，请你利用图形②画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，画出图形，写出添加的全等条件标，并写出全等的理由． 【运用】： （3）如图③，在中，是直角，，分别是和的平分线，相交于点F． ①求的度数； ②请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）①；②，理由见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． （1）根据是的平分线，得出，根据“”即可证明； （2）如图，添加的条件并画出图形：作于M，于N，根据是的平分线得出，再结合，根据“”即可证明； （3）①如图，根据，．得出，再根据、分别是和的平分线，得出，．根据三角形内角和定理即可求出，即可求解； ②如图，在上截取，连接．证明，得出，，即可得．，再证明，即可得出，． 【详解】解：（1）∵是的平分线， ， 在和中 ， ∴； （2）如图，添加的条件并画出图形：作于M，于N， 解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴； （3）解：①如图， ∵，． ∴， ∵、分别是和的平分线， ∴，． ∴， ∴． ②．理由如下：（答案不唯一） 如图，在上截取，连接． ∵是的平分线， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∴． 8．在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动． 【初步探索】 （1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________； 【灵活运用】 （2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3），证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，则，从而得出，证明得出，证明得出，即可证明； （2）延长到点，使，连接，则，从而得到，证明得出，证明得出，即可证明； （3）延长到点，使，连接，则，证明得出，证明得出，从而得到，即可得解． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）成立， 理由：如图，延长到点，使，连接，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）， 证明：如图，延长到点，使，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图1，在中，点D、E在边上，连接、，满足，且，点F在上，连接交于点G．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图2，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图3，于点Q，点M、N在边上，且，连接、，已知，，，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由，根据三角形内角和定理，得到，由，在中，根据三角形内角和定理，求出，，由平分，在中，根据三角形内角和定理，即可求解， （2）， 由，，根据平行线的性质，得到，，结合，得到，，结合，，得到，，在和根据三角形内角和定理，得到，，即可求解， （3）作，，作，由，，得到，结合，，得到，，根据，，，，得到，由（2）得，，，由，得到，由，得到，在中，根据三边关系得到，即可求解， 本题考查了，角平分线，三角形内角和定理，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，即：，解得：， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：作，交于点，    ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, （3）解：作，，连接，作 交延长线于点，    ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， 由（2）得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．【了解概念】如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线的一点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． (1)【理解运用】如图2，在中，D为上一点，点D，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D，F关于直线的“等角点”，并说明理由； (2)【拓展提升】 如图2，在（1）的条件下，若，，点Q是射线上一点，且点D，Q关于直线的“等角点”为点C，请利用尺规在图2中确定点Q的位置，并求出的度数； (3)【拓展提升】 如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到AC的距离为1，直线l垂直平分边，点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为 　　． 【答案】(1)点B是点D，F关于直线AB的“等角点”； (2) (3) 【分析】（1）D、E关于对称，得出，角的等量替换可得即可证明． （2），求出，根据等角点求出，再求出； （3）连接，直线l垂直平分，求出，点P为点O，B关于直线“等角点”， 证得O、P、C共线，作于D，平分，平分，即可证得． 【详解】（1）点B是点D，F关于直线的“等角点”，理由如下： ∵D、E关于对称， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴点B是点D，F关于直线的“等角点”； （2）如图2， ∵， ， ∴． ∵点D，Q关于直线，的“等角点”分别为点B和点C， ∴， ∴， ∴； （3）如图3， 连接， ∵直线l垂直平分， ∴， ∴， ∵点P为点O，B关于直线“等角点”， ∴， ∴， ∴O、P、C共线， ∴， 作于D， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$