精品解析：重庆市南开中学2022-2023学年九年级上学期数学开学考试模拟试题

重庆市南开中学2022-2023学年九年级上学期开学考试模拟卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 在实数，3，0，中，最小的数是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数都大于零，负数都小于零，正数都大于负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小，即可得出答案． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴最小的数是， 故选：D． 2. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 3. 如图，直线、被直线所截，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等和邻补角定义解答即可． 【详解】解：∵，， ， ， 故选：B． 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答． 4. 估计（）×的结果应在（　　） A. 9.5至10之间 B. 10至10.5之间 C. 10.5至11之两 D. 11至11.5之间 【答案】B 【解析】 【分析】先把无理数式子进行简化，化简到6﹣3，后根据≈2.236进行计算即可求解． 【详解】解：（）× ＝6﹣3 ≈6×2.236﹣3 ＝13.416﹣3 ＝10.416． 故（）×的结果应在10至10.5之间． 故选：B． 【点睛】此题考查估算无理数的大小及实数的运算，解题关键在于掌握运算法则. 5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若的周长与的周长比是，则与之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， 的周长与的周长比是， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 6. 下列命题中，错误的是( ) A. 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 两条对角线相等的平行四边形是菱形 C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 四边形相等的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题； B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题； D、四边形相等的四边形是菱形是真命题； 故选B. 【点睛】本题考查了命题与定理，掌握菱形的判定定理是解题的关键. 7. 日前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2020年底有用户2万户，计划到2022年底全市用户数达到9.68万户.设全市用户数年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全市用户数2020年底有2万户，全市用户数年平均增长率为x，计划到2022年底全市用户数达到9.68万户，即可列出关于x的一元二次方程． 本题主要考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题．熟练掌握“现在用户数与原来用户数和增长率及增长次数”的关系，是解决问题的关键． 【详解】∵2020年底有用户为2万户，全市用户数年平均增长率为x， ∴2021年底有用户达到万户， 2022年底有用户达到万户， ∵计划到2022年底全市 用户数达到9.68万户 ∴． 故选：D． 8. 下列图形是由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字，其中第①个“山”字中有7颗棋子，第②个“山”字中有12颗棋子，第③个“山”字中有17颗棋子，…，按照此规律，第⑥个“山”字中棋子颗数为（ ）颗． A. 32 B. 37 C. 22 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】设第n个“山”字中有an个棋子，观察图形，根据图形中“山”字中棋子的变化可得出“an=5n+2（n为正整数）”，再代入n=6即可得出结论．（因为只找第⑥个“山”字中棋子颗数，用列举法直接找出a6亦可） 【详解】解：设第n个“山”字中有an个棋子， 观察图形，可知：a1=7，a2=a1+5=12，a3=a1+5×2=17，a4=a1+5×3=22，…，（可直接利用列举法，找出第⑥个“山”字中棋子颗数） ∴an=a1+5（n-1）=5n+2（n为正整数）， ∴a6=5×6+2=32． 故选：A． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中棋子数量的变化找出变化规律“an=5n+2（n为正整数）”是解题的关键． 9. 如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长，交的延长线于点，根据矩形的性质可得，，，可证，根据全等三角形的性质可得，可知垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，进一步可得，根据，可得，可表示出的度数，进一步可得的度数，再根据，可得的度数． 【详解】解：延长，交的延长线于点，如图所示： 在矩形中，，， ， 为边中点， ， 在和中， ， ∴， ， ， 垂直平分， ， ， ∵， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10. 对于整式：、、、，在每个式子前添加“＋”或“－”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，，所以或． 下列相关说法正确的个数是：（ ） ①至少存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数； ②若一种“全绝对”操作的化简结果为为常数），则； ③所有可能的“全绝对”操作后的式子化简后有16种不同的结果， A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，找出一种“全绝对”操作使操作后化简结果为常数，即为正确，可判定①． ，凑“全绝对”操作后得到或，去掉绝对值变成的形式求得的取值范围，可判定②．利用排列组合的方法，每一个整式添“”或“”所以每一个整式有两种变化情况，共4个整式，就有，但是有重复结果，可判定③． 【详解】解：使操作后化简的结果为常数，即使的系数为0， 有， ①正确． ， ； ． ：当，时． ：当，时．符合题意． ②正确． （种， 而当时，， ，结果相同， ③错误． 故选：C． 【点睛】本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和相反数定义，考核了学生对绝对值和相反数定义的理解及灵活运用，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果解题事半功倍． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据0次幂和绝对值的意义进行化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了0次幂和绝对值的化简，解题的关键是掌握任何非0数的0次幂均为1；负数的绝对值是它的相反数；即可进行解答． 12. 若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】八（或8） 【解析】 【分析】根据正多边形的每一个内角为，求出正多边形的每一个外角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数． 【详解】解：根据正多边形的每一个内角为 正多边形的每一个外角为： 多边形的边数为： 故答案为八． 【点睛】考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是解题的关键． 13. 一个不透明的口袋中有2个红球和1个白球，它们除了颜色其他完全相同．从中随机取出一个小球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机取出一个小球，记下颜色，则两次取出的小球颜色相同的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，求得所有等可能的结果和两次取出的小球颜色相同的结果，利用概率公式求得即可． 【详解】画出树状图： 由图可得，共有9种等可能的结果，其中两次取出的小球颜色相同的结果有5种， 两次取出的小球颜色相同的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率，解题的关键是注意此题是放回实验还是不放回实验． 14. 股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票原价为每股元，之后两天时间涨到每股元，若这两天此股票股价的平均增长率为，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设这两天此股票股价的平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设这两天此股票股价的平均增长率为，根据题意得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 15. 如果关于y的分式方程有整数解，且关于x的不等式组有且只有两个整数解，那么符合条件的所有整数a的值之和是______． 【答案】22 【解析】 【分析】根据分式方程的解法、一元一次不等式组的解法解决此题． 【详解】解：由可得：， ∵，即， ∴， 解得， 由可得：， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴的取值有，，，，，，0，，3，，5，，8，，26； ∵关于x的不等式组有且只有两个整数解， ∴，解得：， ∴满足题意a的值有14和8， ∴符合条件的所有整数a的值之和是22 故答案为：22. 【点睛】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 16. 如图，函数的图象经过矩形的边的中点E，交于点D，若四边形的面积为6，则k的值为 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的关系式，系数k的几何意义，矩形的性质，先设点B的坐标，可得点E的坐标，进而得出与k的关系式，即可得出点D是的中点，再根据得出k即可． 【详解】设， ∵点E是的中点，四边形是矩形， ∴． ∵函数的图象经过矩形的边的中点E， ∴． ∵点D在函数的图象上，且纵坐标为， ∴点D的坐标为， ∴点D是的中点， ∴， ∴或（舍去）． 故答案为：4． 17. 在矩形中，，，点M在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点N，若点N为的中点，则的长度为 __________________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，即，再利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：点N为的中点， ∴， ∵是矩形， ∴，， ∴， 又∵沿翻折，得到， ∴，，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，掌握图形翻折的性质是解题的关键． 18. 若一个四位自然数M的千位数字的平方恰好等于百位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数M为“君和数”．若“君和数”且，将“君和数”M的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数N，规定，，若，均为整数，则的值为______，M的值为______． 【答案】 ①. 7 ②. 3162 【解析】 【分析】根据给出的新定义来化简，即可求出；表示出M、N，从而表示出，根据为整数即可求解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵，为整数， ∴； 设，， ∴， ∵， ∴，为整数， ∴ ∴； 故答案为：7；3162． 【点睛】本题主要考查整式的计算，通过新定义来推导对应的关系，用a、b、c、d来表示，通过讨论求出最终的解． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 在学习矩形的过程中，小靓遇到一个问题：在矩形中，F是边上一点，E是边的一点，平分，．求证：．她的思路是：连接，过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等使问题得到解决．请根据小舰的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规，过点E作的垂线，垂足为点G，连接（只保留作图痕迹）． ∵在矩形中， ∴． ∵， ∴， ∵平分． ∴． ∵______， ∴（HL）， ∴______ ∵， ∴． ∵， ∴______（HL） ∴______． ∵， ∴． 【答案】 证明：用直尺和圆规，过点E作的垂线，垂足为点G，连接，如图．     ∵在矩形中， ∴． ∵， ∴， ∵平分． ∴． ∵， ∴（HL）， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴（HL） ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】连接，以点E为圆心，长为半径画弧，交于点M，再以M、F为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，进而辅助线可作出，然后根据全等三角形的性质与判定及矩形的性质可进行求证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查垂线的尺规作图、矩形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂线的尺规作图、矩形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 20. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算幂的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式，再计算同底数幂的除法，然后计算加减法即可得； （2）先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了幂的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式、同底数幂的除法、分式的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键． 21. 为了迎接中考体考，在临考前初三年级进行了全真模拟考试，并对各个项目进行了统计和分析．某数学兴趣小组从初三年级男、女同学中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析（跳绳个数记为x，共分为五组：，，，，）．下面给出了部分信息： 被抽取的男同学的跳绳个数在C组的数据是：192 195 195 195 195 194 被抽取的女同学的跳绳个数在C组的数据是：193 196 193 192 196 196 196 196 被抽取的男、女同学跳绳个数的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 男同学 196 a 195 女同学 196 196 b （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校初三______（男、女）同学一分钟跳绳更优秀，请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校初三年级参加此次体育模拟考试的男生有800人，女生有1000人，请你估计全年级跳绳个数不少于200个的人数． 【答案】（1）193，196，20 （2）女同学跳绳成绩较好；理由： 因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生跳绳个数． （3）500人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得、的值，先求出被抽取的女同学跳绳个数在组人数所占百分比，再根据百分比之和为1可得的值； （2）根据众数、中位数及平均数的意义求解即可得出答案； （3）总人数分别乘以男、女生跳绳个数不少于200个的人数所占比例，再求和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，被抽取的男同学跳绳个数数据的第10、11个数据分别为192、194， 所以其中位数， 被抽取的女同学跳绳个数在组人数所占百分比为， 组人数所占百分比，即， 被抽取的女同学跳绳个数的众数． 【小问2详解】 解：认为该校初三女同学一分钟跳绳更优秀， 因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生跳绳个数， 所以女生跳绳个数的高分分数多于男生， 所以认为该校初三女同学一分钟跳绳更优秀（答案不唯一，合理均可）． 【小问3详解】 解：（人， 答：估计全年级跳绳个数不少于200个的人数约为500人． 【点睛】本题考查用样本估计总体、扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键． ． 22. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，即，， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质和中位线定理可得，．利用勾股定理可知，从而得到，最后利用矩形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴． 在中，，， ∴， ∴ ∴四边形的面积是：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 23. 八年级学生到距学校150km的景区游览．景区提供了快车和慢车两种车型前往学校接学生到景区，所有车辆均沿同一路线往返． （1）由于快车有其他接送任务，八年级（1）班学生乘慢车从学校出发时，快车才从景区出发前往学校接八年级（2）班学生，1.2小时后快车在前往学校的途中与慢车相遇．若快车每小时比慢车多行驶25km，求慢车的平均速度； （2）有四名学生负责准备活动道具，在八年级（2）班学生乘快车出发0.5小时后，他们四人才完成准备工作，学校立即安排一辆小车送他们前往景区．为安全起见，快车接上学生返回景区时速度减慢，结果和小车同时抵达景区，若小车速度是快车返回景区的速度的1.25倍，求快车返回景区的平均速度． 【答案】（1）慢车的平均速度为 （2）快车返回景区的平均速度为 【解析】 【分析】（1）设慢车的平均速度为，则快车的平均速度为，然后可列方程进行求解； （2）设快车返回景区的平均速度为，则小车的速度为，然后根据题意可列方程进行求解． 【小问1详解】 解：设慢车的平均速度为，则快车的平均速度为，由题意得： ， 解得：； 答：慢车的平均速度为； 【小问2详解】 解：设快车返回景区的平均速度为，则小车的速度为，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解； 答：快车返回景区的平均速度为． 【点睛】本题主要考查一元一次方程及分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系式． 24. 如图，四边形中，，，，．点从出发，沿着折线运动，到达点停止运动．设点运动的路程为，连接，记的面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合图象，当的面积大于四边形面积的时，直接写出x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2） 略 （3）2.7≤x＜6（答案不唯一，只要误差不超过0.2即可） 【解析】 【分析】（1）分当时，当时两种情况列出函数解析式，写出自变量的取值范围即可； （2）根据函数解析式，画出函数图象，可从增减性方面写出一条性质即可； （3）先求出四边形面积的是4，再根据图象中时，自变量的取值范围写出即可． 【小问1详解】 解：当时， ， 当时， ，， ． ， ， 关于的函数关系式为： 【小问2详解】 解：列表： 0 4 7 0 6 3 画该函数的图象如下： 函数性质：答案不唯一，比如： ①当时，随的增大而增大， ②当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：四边形面积， 四边形面积的， 观察图象，时，自变量的取值为：． （答案不唯一，只要误差不超过0.2即可）． 【点睛】本题考查研究函数的一般方法，解答时涉及分段函数，一次函数，图形面积计算，代数式运算，掌握研究函数的一般方法是解题的关键． 25. 如图，已知直线lAC：y=﹣交x轴、y轴分别为A、C两点，直线BC⊥AC交x轴于点B． （1）求点B的坐标及直线BC的解析式； （2）将△OBC关于BC边翻折，得到△O′BC，过点O′作直线O′E垂直x轴于点E，F是y轴上一点，P是直线O′E上任意一点，P、Q两点关于x轴对称，当|PA﹣PC|最大时，请求出QF+FC的最小值； （3）若M是直线O′E上一点，且QM=3，在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以Q、F、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）B（6，0）；y=x﹣2；（2）5；（3）（6，3）或（0，）或（0，7）或（6，9）. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出A、C两点坐标，再根据两直线垂直k的乘积为-1，求出直线BC的解析式即可解决问题； （2）首先证明∠ACO=30°，如图，作QH⊥AC于H，交y轴于F．则FH=CF，根据垂线段最短可知，QF+FC的最小值为线段HQ的长； （3）求出点M坐标分两种情形分别讨论求解即可. 【详解】解：（1）由题意A（﹣2，0），C（0，﹣2）， ∵直线lAC：y=﹣，BC⊥AC， ∴直线BC的解析式为y=x﹣2， 令y=0，解得x=6， ∴B（6，0）． （2）∵△OBC关于BC边翻折，得到△O′BC， ∴可得O′（3，﹣3）， 当|PA﹣PC|最大时，点P在直线AC上，此时P（3，﹣5）， ∵P、Q关于x轴对称， ∴Q（3，5）， 在Rt△AOC中，∵tan∠ACO==， ∴∠ACO=30°， 如图，作QH⊥AC于H，交y轴于F． 则FH=CF， 根据垂线段最短可知，QF+FC的最小值为线段HQ的长， 在Rt△PQH中，∵∠HPQ=∠ACO=30°，PQ=10， ∴HQ=PQ=5， ∴QF+FC的最小值为5． （3）由（2）可知：F（0，4）， ∵QM=3， ∴M（3，2）或（3，8）， 当M（3，2）时，如图，以Q、F、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形，可得满足条件的点N坐标为（6，3）或（0，）或（0，7）, 当M为（3，8）时，同法可得满足条件的点N坐标为（6，9）或（0，7）或（0，）． 【点睛】本题考查一次函数综合题、待定系数法、解直角三角形、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 26. 在中，，，，点是边上任意一点，点是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，得到线段，连接． （1）如图1，，，点在射线上，求的长； （2）如图2，，于点，，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，，点在射线上，点是上一点且满足，连接，直接写出当最小时，点到的距离． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，由特殊三角函数值求出，进而得出的长，证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）由平行线的性质结合题意求出，进而得出，作于，则，证明，得出，证明，得出，即可得证； （3）由题意易得、是等边三角形，则点在的外接圆上，作的外接，链接，并延长交于点，则垂直平分，作点关于的对称点，则，连接，，证明，得出，连接、，在上截取，作，交于点，则，求出，得出，推出点在以为圆心，以为半径的圆上，当、、三点共线时，的值最小，作于点，作于点，则，推出，由相似三角形的性质得出，解直角三角形得出，再由勾股定理得出，进而得出，代入计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：， 证明如下：∵，，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 如图，作于，则， 在和中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 【小问3详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， 同理可得是等边三角形， ∴，， ∴点在的外接圆上， 如图，作的外接，链接，并延长交于点，则垂直平分，作点关于的对称点，则，连接，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 连接、，在上截取，作，交于点，则， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，是的外接圆，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上，当、、三点共线时，的值最小，作于点，作于点，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市南开中学2022-2023学年九年级上学期开学考试模拟卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 在实数，3，0，中，最小的数是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 2. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线、被直线所截，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 估计（）×的结果应在（　　） A. 9.5至10之间 B. 10至10.5之间 C. 10.5至11之两 D. 11至11.5之间 5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若的周长与的周长比是，则与之比为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，错误的是( ) A. 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 两条对角线相等的平行四边形是菱形 C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 四边形相等的四边形是菱形 7. 日前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2020年底有用户2万户，计划到2022年底全市用户数达到9.68万户.设全市用户数年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 下列图形是由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字，其中第①个“山”字中有7颗棋子，第②个“山”字中有12颗棋子，第③个“山”字中有17颗棋子，…，按照此规律，第⑥个“山”字中棋子颗数为（ ）颗． A. 32 B. 37 C. 22 D. 42 9. 如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 对于整式：、、、，在每个式子前添加“＋”或“－”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，，所以或． 下列相关说法正确的个数是：（ ） ①至少存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数； ②若一种“全绝对”操作的化简结果为为常数），则； ③所有可能的“全绝对”操作后的式子化简后有16种不同的结果， A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 计算：______． 12. 若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是__________． 13. 一个不透明的口袋中有2个红球和1个白球，它们除了颜色其他完全相同．从中随机取出一个小球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机取出一个小球，记下颜色，则两次取出的小球颜色相同的概率为______． 14. 股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票原价为每股元，之后两天时间涨到每股元，若这两天此股票股价的平均增长率为，则可列方程为______． 15. 如果关于y的分式方程有整数解，且关于x的不等式组有且只有两个整数解，那么符合条件的所有整数a的值之和是______． 16. 如图，函数的图象经过矩形的边的中点E，交于点D，若四边形的面积为6，则k的值为 _____． 17. 在矩形中，，，点M在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点N，若点N为的中点，则的长度为 __________________． 18. 若一个四位自然数M的千位数字的平方恰好等于百位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数M为“君和数”．若“君和数”且，将“君和数”M的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数N，规定，，若，均为整数，则的值为______，M的值为______． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 在学习矩形的过程中，小靓遇到一个问题：在矩形中，F是边上一点，E是边的一点，平分，．求证：．她的思路是：连接，过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等使问题得到解决．请根据小舰的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规，过点E作的垂线，垂足为点G，连接（只保留作图痕迹）． ∵在矩形中， ∴． ∵， ∴， ∵平分． ∴． ∵______， ∴（HL）， ∴______ ∵， ∴． ∵， ∴______（HL） ∴______． ∵， ∴． 20. 计算 （1） （2） 21. 为了迎接中考体考，在临考前初三年级进行了全真模拟考试，并对各个项目进行了统计和分析．某数学兴趣小组从初三年级男、女同学中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析（跳绳个数记为x，共分为五组：，，，，）．下面给出了部分信息： 被抽取的男同学的跳绳个数在C组的数据是：192 195 195 195 195 194 被抽取的女同学的跳绳个数在C组的数据是：193 196 193 192 196 196 196 196 被抽取的男、女同学跳绳个数的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 男同学 196 a 195 女同学 196 196 b （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校初三______（男、女）同学一分钟跳绳更优秀，请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校初三年级参加此次体育模拟考试的男生有800人，女生有1000人，请你估计全年级跳绳个数不少于200个的人数． 22. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 23. 八年级学生到距学校150km的景区游览．景区提供了快车和慢车两种车型前往学校接学生到景区，所有车辆均沿同一路线往返． （1）由于快车有其他接送任务，八年级（1）班学生乘慢车从学校出发时，快车才从景区出发前往学校接八年级（2）班学生，1.2小时后快车在前往学校的途中与慢车相遇．若快车每小时比慢车多行驶25km，求慢车的平均速度； （2）有四名学生负责准备活动道具，在八年级（2）班学生乘快车出发0.5小时后，他们四人才完成准备工作，学校立即安排一辆小车送他们前往景区．为安全起见，快车接上学生返回景区时速度减慢，结果和小车同时抵达景区，若小车速度是快车返回景区的速度的1.25倍，求快车返回景区的平均速度． 24. 如图，四边形中，，，，．点从出发，沿着折线运动，到达点停止运动．设点运动的路程为，连接，记的面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合图象，当的面积大于四边形面积的时，直接写出x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 25. 如图，已知直线lAC：y=﹣交x轴、y轴分别为A、C两点，直线BC⊥AC交x轴于点B． （1）求点B的坐标及直线BC的解析式； （2）将△OBC关于BC边翻折，得到△O′BC，过点O′作直线O′E垂直x轴于点E，F是y轴上一点，P是直线O′E上任意一点，P、Q两点关于x轴对称，当|PA﹣PC|最大时，请求出QF+FC的最小值； （3）若M是直线O′E上一点，且QM=3，在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以Q、F、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在中，，，，点是边上任意一点，点是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，得到线段，连接． （1）如图1，，，点在射线上，求的长； （2）如图2，，于点，，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，，点在射线上，点是上一点且满足，连接，直接写出当最小时，点到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $