24.1.3弧、弦、圆心角（七大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

24.1.3弧、弦、圆心角（七大题型提分练） 类型一、圆心角的概念 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A．  B．  C．   D．   类型二、弧、弦、圆心角的关系 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弦心距相等 C．度数相等的两条弧相等 D．相等的圆心角所对的弧的度数相等 4．（2023·江苏扬州·三模）下列各项命题中，属于真命题的是（   ） A．相等的弦，所对的圆周角相等 B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．相等的弦，所对的弧相等 5．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，如果，那么与线段相等的线段有 ，与相等的弧有 ． 类型三、利用弧、弦、圆心角的关系求角度 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，是的直径，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 类型四、圆弧的度数 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 10．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 11．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 类型五、最短路径问题 12．（2023·云南大理·一模）如图，在中，是的直径，，、为弧的三等分点，是上一动点，的最小值是 ．    13．（22-23九年级下·江苏南通·期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．    类型六、有关弧、弦、圆心角的计算问题 14．（21-22九年级上·福建厦门·期中）已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数． 15．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，求的度数． 16．（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长． 17．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形内接于，连结，，． (1)，，分别为多少度． (2)若等边三角形的边长为，求的半径． 类型七、有关弧、弦、圆心角的证明问题 18．（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，D，E分别是半径，的中点，点C在圆上，．求证： 19．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，点C、D在上，，，垂足分别为E，F，且，与相等吗？为什么？ 20．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知为的直径，，绕点旋转，，两点不与，重合． (1)求证：； (2)成立吗？为什么． 一、单选题 1．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，等腰三角形的顶点是圆的等分点，且腰，所对的劣弧（不包括，，）上分别有个等分点，若等腰三角形是钝角三角形．则至少是（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．（2020·河北唐山·二模）已知锐角．如图（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点．连接；（2）分别以点、为圆心，长为半径作弧，交于点、；（3）连接，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（） A． B．若，则 C． D．点与点关于对称 二、填空题 4．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ． 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，的半径为，点是半圆的中点，点是的一个三等分点（靠近点），点是直径上的动点，则的最小值 ．    6．（20-21九年级上·江苏南京·阶段练习）在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是上一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是 ． 三、解答题 7．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，是的直径， 弦于点E， 点 F在延长线上，连结交于点 G， 连结，．      (1)若弧度数是， 求的度数． (2)求证：． 8．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 9．（22-23九年级上·云南红河·期末）如图， 已知、是的直径，交于点，交于点． (1)求证：； (2)写出图中4组不同的且相等的劣弧（不要求证明）． 10．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为． (1)求的度数． (2)若，，求点A，B到直线的距离的和． ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.3弧、弦、圆心角（七大题型提分练） 类型一、圆心角的概念 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 类型二、弧、弦、圆心角的关系 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弦心距相等 C．度数相等的两条弧相等 D．相等的圆心角所对的弧的度数相等 【答案】D 【分析】本题考查了圆形角，弧，弦心距之间的关系，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，相等的圆心角所对的弦心距相等，度数相等的两条弧相等，以及相等的圆心角所对的弧的度数相等逐个判断即可． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故A不正确，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦心距相等， B不正确，不符合题意； C、在同圆或等圆中，度数相等的两条弧相等，故C不正确，不符合题意； D、相等的圆心角所对的弧的度数相等，故D正确，符合题意； 故选：D． 4．（2023·江苏扬州·三模）下列各项命题中，属于真命题的是（   ） A．相等的弦，所对的圆周角相等 B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．相等的弦，所对的弧相等 【答案】B 【分析】本题考查了弦、弧、圆周角、圆心角的关系，理解 “在同圆或等圆中，弦、弧、圆周角、圆心角一组量相等，其它都相等”是解题的关键． 【详解】解：A.同圆或等圆中相等的弦，所对的圆周角相等；结论错误，故不符合题意； B.同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长；符合题意，故结论正确； C.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；结论错误，故不符合题意； D.同圆或等圆中，相等的弦，所对的弧相等；结论错误，故不符合题意； 故选：B． 5．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，如果，那么与线段相等的线段有 ，与相等的弧有 ． 【答案】 ，，，， ， 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，由是的直径得，从而得出，，是全等的等边三角形，再根据性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径，， ∴； 又∵， ∴，，是全等的等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：，，，，；，． 类型三、利用弧、弦、圆心角的关系求角度 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，平行线的基本性质，根据平行得出（内错角相等）即可求出答案． 【详解】连接， ∵弦平行于直径， ∴， 又∵，则， ∴， ∵ ∴． 故选：A． 7．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角，弧，弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由此即可得到答案． 【详解】解：，， ． 故选：D． 8．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，是的直径，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 类型四、圆弧的度数 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 10．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 11．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出的度数，根据等边对等角得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出的度数，则结果可得． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧的度数，熟练掌握相关知识点是解本题的关键． 类型五、最短路径问题 12．（2023·云南大理·一模）如图，在中，是的直径，，、为弧的三等分点，是上一动点，的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆心角与弧的关系及垂径定理，作点关于的对称点，连接与相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，    此时，点为的最小值时的位置， 由题意得， 则， ∴， ，为直径， 为直径．则． 故答案是：． 13．（22-23九年级下·江苏南通·期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时最小，连接，根据点是半圆上一个三等分点、点是的中点，即可得出，再利用勾股定理即可求出的值，此题得解． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，轴对称中最短路线问题，三角形的三边关系以及勾股定理，根据三角形的三边关系确定取最小值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时最小，连接，如图所示．   点和点关于对称， ． 点是半圆上一个三等分点，点是的中点， ，， ． ， ． 故答案为：． 类型六、有关弧、弦、圆心角的计算问题 14．（21-22九年级上·福建厦门·期中）已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数． 【答案】． 【分析】由题意易知，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解． 【详解】解：∵A，B，C，D是上的点，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键． 15．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据，得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据点是弧的中点，得到；根据为的直径，，得到，从而得到，得到，得到 【详解】解：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∴． ∴． ∴． 17．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形内接于，连结，，． (1)，，分别为多少度． (2)若等边三角形的边长为，求的半径． 【答案】(1)； (2)的半径为． 【分析】（）由等边三角形的三条边相等，且同一个圆中，等弦所对的圆心角相等求解； （）由等边三角形的性质可得的度数，由直角三角形的性质可得 ，同理可得，在中，结合勾股定理可解得与之间的关系，进而求解； 此题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）过点作，垂足为，则， 取的中点，连接，则， 又∵ ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴的半径为． 类型七、有关弧、弦、圆心角的证明问题 18．（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，D，E分别是半径，的中点，点C在圆上，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，证明，得出，即可得证． 【详解】证明：∵D，E分别是半径，的中点， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 19．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，点C、D在上，，，垂足分别为E，F，且，与相等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质及圆心角、弧、弦的关系．在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．连接，欲证与相等，先证、关系，证明即可． 【详解】，连接 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵， ∴． 20．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知为的直径，，绕点旋转，，两点不与，重合． (1)求证：； (2)成立吗？为什么． 【答案】(1)证明见解析； (2)不成立，理由见解析． 【分析】（）直接利用弧度与圆心角的关系得出答案； （）利用三角形三边关系以及圆心角、弧、弦的关系得出即可； 此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系，正确把握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵为直径，， ∴， ∴； （2）不成立，理由： 如图，在上截取，则， 则，， 在中，， ∴． 一、单选题 1．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键． 直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答． 【详解】解：取的中点，连接， ， ， ∵， ， ， ∵， ∴，故C正确； 故选：C． 2．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，等腰三角形的顶点是圆的等分点，且腰，所对的劣弧（不包括，，）上分别有个等分点，若等腰三角形是钝角三角形．则至少是（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的应用，弧、圆心角之间的关系，圆周角定理及圆内接四边形的性质，在优弧上取一点，连接、、、，由弧，圆心角之间的关系得，，进而利用圆周角定理及圆内接四边形的性质得 ，根据等腰三角形是钝角三角形，得>，列不等式求解即可． 【详解】解：在优弧上取一点，连接、、、， ∵等腰三角形的顶点是圆的等分点，且腰，所对的劣弧（不包括，，）上分别有个等分点， ∴，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵等腰三角形是钝角三角形， ∴，即， 解得， ∴至少是， 故选∶． 3．（2020·河北唐山·二模）已知锐角．如图（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点．连接；（2）分别以点、为圆心，长为半径作弧，交于点、；（3）连接，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（） A． B．若，则 C． D．点与点关于对称 【答案】B 【分析】由作图知，OM=OC=OD，再利用对称的性质逐一判断可得． 【详解】解：由作图知，且OM=OD，又OC=OC 故△COM≌△COD ，故选项正确； 故M与D点关于OA对称，故D选项正确； ，OM=ON 是直角等腰三角形， ， ， ，故选项错误； 设， 则， ， 又， ， ，故选项正确； 故选：． 【点睛】本题主要考查了作图，内角和定理，对称等基本性质，熟悉相关性质是解题的关键． 二、填空题 4．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，最短路径问题，熟练掌握圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，是解答本题的关键． 作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，然后根据垂径定理得到，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长. 连接, ， ∴， ∴弧的度数是， 则弧的度数是 ， 根据垂径定理得弧的度数是：， 则 又， 则 故答案为：． 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，的半径为，点是半圆的中点，点是的一个三等分点（靠近点），点是直径上的动点，则的最小值 ．    【答案】 【分析】如图，作点关于直径的对称点，根据圆的对称性可知点在圆上，连接，交直径于点，此时的最小值是的长，根据弧的度数等于它所对圆心角的度数可知，，根据对称的性质可得，，由垂径定理及推论可知，，根据角的直角三角形和勾股定理可得，即可得出答案． 【详解】解：如图，作点关于直径的对称点，则点在圆上，连接，交直径于点， ∴，则的最小值是的长， ∵点是半圆的中点，的半径为， ∴等于半圆的一半， ∴， ∵点是的一个三等分点（靠近点）， ∴等于的， ∴， ∵点与点关于直径的对称， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是． 故答案为：．    【点睛】本题考查对称的性质，弧的度数和圆心角的关系，垂径定理及推论，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，角的直角三角形和勾股定理等知识点，掌握弧的度数和圆心角的关系，垂径定理以及直角三角形的边角关系是解题的关键． 6．（20-21九年级上·江苏南京·阶段练习）在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是上一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是 ． 【答案】1﹣≤CM＜ 【分析】如图，连接OD、OC、OE，先计算出∠DOC+∠COE＝90°，则可判断△ODE为等腰直角三角形，所以DE＝OD＝，则OM＝DE＝；由C点在弧DE上，则0≤∠COM＜45°，根据三角形的性质，∠COM越大，CM越长，当O、M、C共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长，即OC-OM≤CM＜ME； 【详解】解：如图，连接OD、OC， ∵AB为直径， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， ∵D、E分别是、的中点， ∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE， ∴∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°， ∴△ODE为等腰直角三角形， ∴DE＝OD＝， ∵M是弦DE的中点， ∴OM＝DE＝， ∵C点在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°， △OMC中，OM，OC的长度确定，∴∠COM越大，CM越长， ∴O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长； ∴CM≥1﹣， 当C点在A点或B点时，CM＝， ∴CM的取值范围是1﹣≤CM＜． 【点睛】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM的长度是解题关键． 三、解答题 7．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，是的直径， 弦于点E， 点 F在延长线上，连结交于点 G， 连结，．      (1)若弧度数是， 求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理； （1）利用垂径定理和圆周角定理解答即可； （2）利用垂径定理和圆周角定理求出，可得，即可得结论． 【详解】（1）是的直径，， 的度数的度数， 的度数， 的度数的度数； （2）∵四边形是的内接四边形，   ∴， 是的直径，， 的度数的度数， ∴, ． 8．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得； （2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 9．（22-23九年级上·云南红河·期末）如图， 已知、是的直径，交于点，交于点． (1)求证：； (2)写出图中4组不同的且相等的劣弧（不要求证明）． 【答案】(1)证明见解析； (2)，，， 【分析】此题主要考查了相等的圆周角所对的弧相等、 弦相等及等弦对等弧、 等弧对等弦等知识， 有一定的综合性 ． （1）首先由平行线性质得到，然后根据相等的圆周等角所对的弧相等即可证明，进一步得到，再根据等弧对等弦即可得到； （2）根据等弦对等弧和相等的圆周等角所对的弧相等即可得到 4 组不同的且相等的劣弧 ． 【详解】（1）证明：，， ． ， 是的直径， ， ， ， ； （2）图中相等的劣弧有： ，，， ． 10．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为． (1)求的度数． (2)若，，求点A，B到直线的距离的和． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由弧与圆心角的关系可得，，再结合等腰三角形的性质可得答案； （2）过A作于Q，过B作于F，可得，再利用直角三角形的性质可得答案； 【详解】（1）解：∵在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为， ∴，，，， ∴，， ∴； （2）解：过A作于Q，过B作于F，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 由勾股定理得：，， 解得：， ， 所以点A，B到直线的距离的和是． 【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，弧与圆心角的关系，作出合适的辅助线是解本题的关键． ( 26 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$