24.1.1圆（九大类型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

24. 1. 1圆（九大类型提分练） 类型一、圆的基本概念 1．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦，反之弦也是直径 B．度数相等的弧是等弧 C．半圆是弧，但弧不一定是半圆 D．平分弦的直径等于弦 【答案】C 【分析】本题考查了圆的有关概念，判断命题的真假，根据圆的有关概念进行排除即可，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键． 【详解】、直径是弦，但是弦不一定是直径，原选项说法错误，不符合题意； 、在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧是等弧，度数相等的弧不一定能完全重合，原选项说法错误，不符合题意； 、半圆是弧，但弧不一定是半圆，原选项说法正确，符合题意； 、平分弦的直径不一定等于弦，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题题考查了圆周角定理、以及弦、弧、圆心角的概念和联系．解题的关键是熟记与正确理解定义与定理．根据相关概念与知识点之间的联系，逐项判断．即可解题． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故选项错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； D、等弧一定是在同圆或等圆中， 等弧所对的弦相等，故选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的相关知识点，利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①根据弦的概念，直径是一条线段，且两个端点在圆上，满足弦是连接圆上两点的线段这一概念，所以①正确； ②圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．所以②正确； ③半径相等的两个圆是等圆；正确； ④能够完全重合的两条弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，所以④错误； ⑤在同圆中任意两条直径都互相平分，所以⑤正确； ∴符合题意的是①②③⑤，共4个． 故选：D． 类型二、弦的认识 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合，根据弦的定义进行判断即可，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题关键 【详解】 解：弦为，共有3条， 故选：B． 6．（22-23九年级上·北京·单元测试）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有，共2条． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键． 类型三、圆中最长弦长问题 7．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知的半径3，则中最长的弦长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了圆的性质，根据直径是圆中最长的弦解答即可． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，的半径为3， ∴最长的弦为6， 故选：B． 8．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若点P为内一点，过点P的最长弦长为8，最短弦长为4，则线段长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是8；最短弦即是过点且垂直于过点的直径的弦；根据垂径定理即可求得的长，再根据勾股定理求得的长． 【详解】解：连接，如图所示： 根据题意得：，，于点， 则， ， ， ， 故选：D． 9．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 类型四、点到圆的最长（短）距离 10．（2023九年级下·全国·专题练习）已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（　　） A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm 【答案】A 【分析】圆外一点，直径所在直线经过此点， 直径的远端点与此点的距离最远，近端点与此点距离最近． 【详解】解：P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为1cm，到圆上点的最远距离为7cm，则圆的直径是（cm），因而半径是3cm． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆外一点与圆上点的距离问题，理解何时距离最远、最近是解题的关键． 11．（23-24九年级上·江苏·周测）点P到上点的最短距离为2，最长距离为6，则半径为 ． 【答案】或 【分析】先分类讨论，当点在圆外时，根据圆外一点到圆上各点的最长距离减去最小距离等于圆的直径，当点在圆内时，根据圆内一点到圆上各点的最长距离加上最小距离等于圆的直径即可求解． 【详解】解：当点在圆外时， ∵外一点到上各点的最长距离为，最小距离为， ∴的直径为， ∴的半径为， 当点在圆内时， ∵内一点到上各点的最长距离为，最小距离为， ∴的直径为， ∴的半径为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离求出直径是解答的关键． 12．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）一个点到圆上的点的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 cm． 【答案】8或2/2或8 【分析】由于点与圆的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：分为两种情况：    ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， ∴半径； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， ∴半径， 综上所述，圆的半径为或， 故答案为：8或2． 【点睛】考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 类型五、圆的周长与面积问题 13．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和．如果大圆的半径为，两个小圆的半径分别为和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基础知识，掌握圆面积的计算方法是解题的关键． 根据小圆的半径，计算出两个小圆的面积，再根据一个大圆的面积是两个小圆的面积之和，由此即可求解． 【详解】解：已知两个小圆的半径分别为和， ∴两个小圆的面积之和为：， ∵一个大圆的面积是两个小圆的面积之和，大圆的半径为， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为： ． 14．（23-24八年级上·四川绵阳·开学考试）滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力．如图，直径为4分米的铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，则 分米．    【答案】 【分析】根据铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，可知为圆的周长，即可得出答案． 【详解】∵铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点， ∴分米 故答案为： 【点睛】本题考查圆的周长，正确理解题意，理解圆的周长的公式是解题的关键． 15．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成（取）．    (1)求这个运动场的周长是多少米? (2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为,每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用圆周长公式及矩形周长公式解答即可; （2）根据题意利用圆面积公式及矩形面积公式解答即可． 【详解】（1）解:∵一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成, ∴运动场的周长为:（米）, 故答案为:． （2）解:根据题意,运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成, ∴运动场的面积为:（平方米）, ∵塑胶跑道和草坪的面积比为, ∴塑胶跑道面积为：（平方米）, ∴草坪面积为：（平方米）, ∵每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高, ∴每平方米草坪的价格为:（元）, ∴总费用为:（元）, 故答案为:． 【点睛】本题考查圆周长计算,矩形周长计算,圆面积计算,矩形面积计算． 类型六、小圆绕图形的滚动问题 16．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆的基础知识，根据正方形的边长可得正方形的周长，结合圆的周长计算，即可求解，掌握圆的基础知识是解题的关键． 【详解】解：的周长为：，正方形的周长为：， ∴自身转动的圈数是， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·广西河池·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2024秒时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标规律问题，解题的关键是得出点的坐标规律即可． 由题意易知圆的周长为个单位长度，然后可得点P运动半圆所需2秒，即可求解． 【详解】解：由题意得：圆的周长为个单位长度， 点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， 点P运动半圆所需（秒）， 第1秒时，点P的坐标为；第2秒时，点P的坐标为；第3秒时，点P的坐标为；第4秒时，点P的坐标为；； 综上可知：第2024秒时，点P的坐标是； 故答案为：． 18．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图,这是一个供滑板爱好者使用的型池,该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为m的半圆,其边缘,点在上,,一位滑行爱好者从A点到E点,则他滑行的最短距离是 m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取）    【答案】 【分析】本题考查平面展开图-最短路径问题,利用圆周长公式及勾股定理求解本题即可． 【详解】解:其侧面展开图如下图所示:    ∴, ∵, ∴, 在中, , 故他滑行的最短距离是20m． 类型七、圆的有关角度的计算与证明 19．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，点在的延长线上，交于点，，且．若，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，连接，则，又则，然后根据等腰三角形的性质和外角性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点，在上，为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）如图，是的直径，，交于点 B ，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质．首先设，由，可得，然后利用等腰三角形的性质与三角形外角的性质，求得，继而求得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，点，，都在上，且，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的基本知识，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质定理是解题的关键． （1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； （2）根据等边三角形的性质解答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，连接，    ∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 同理， ∴． 类型八、圆中有关线段的计算与证明 22．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知：如图，是的直径，点在上，于E，于F，且与相等吗？为什么？ 【答案】与相等，理由见解析 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了直角三角形全等的判定与性质．连接，由，，得到，由得到，再根据“HL”可判断，则，所以弧弧，． 【详解】解：与相等．理由如下： 连接，如图， ∵， ∴ ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（19-20九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径以及上，并且，若．    (1)求的长； (2)求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质和等腰三角形的判定可得，再根据勾股定理求解即可； （2）连接，根据勾股定理求出即得答案． 【详解】（1）∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接，则为直角三角形， ∵ ∴． 即的半径为．    【点睛】本题考查了圆的基本知识、正方形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 类型九、共点问题的证明 24．（23-24九年级上·全国·课后作业）求证：任意三角形的三个顶点一定在一个圆上． 【答案】见解析 【分析】设为任意三角形，作出线段、的垂直平分线，交于点，连接，求证即可． 【详解】证明：设为任意三角形，作出线段、的垂直平分线，交于点，连接 如下图：    由线段垂直平分线的性质可得： ∴的三个顶点是在以为圆心，以长为半径的圆上． 【点睛】此题考查了圆的有关证明，涉及了垂直平分线的性质，解题的关键是理解圆的概念以及掌握垂直平分线的性质． 25．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是矩形．求证：，，，四点在同一个圆上． 【答案】见解析 【分析】连接，，交于点，证明，即可求证， 【详解】证明：连接，，交于点， ∵四边形是矩形 ∴， ∴，，，四点在以为圆心，以长为半径的同一个圆上． 【点睛】此题考查了与圆有关的证明，涉及了矩形的性质，解题的关键是掌握圆的概念以及矩形的性质． 1．（2024·黑龙江大庆·二模）下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等弧所对的弦必相等 【答案】D 【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆是轴对称图形以及垂径定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．根据圆的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故该选项错误； B．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故该选项错误； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误； C．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，故该选项错误； D．同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项正确； 故选：D． 2．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，点A、B、C是上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的有关概念及其性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理，准确识图，熟练掌握圆的有关概念及其性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理是解题的关键．连接并延长交于点D，根据得出，，再根据三角形外角定理可得，，从而可得，据此即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点D， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 即， 故选：B． 3．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，是半的直径，是的中点，，交半于点，是弧上的一点，是弦延长线上一点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形、圆的性质、等腰三角形的性质、四边形内角和，连接、，解直角三角形得出，由等边对等角得出，，由四边形内角和求出，即，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 故选：B． 4．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交边于点P，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，圆的基本性质，由勾股定理得到，由题意得到，即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点B为圆心，为半径画弧交边于点P， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2024·山东淄博·一模）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于两点．若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（    ） A．12 B．24 C．14 D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置． 连接，根据直角三角形的性质得出，说明要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点P位于位置时，取得最大值，过点M作轴于点Q，根据勾股定理求出，得出答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， 点A、点B关于原点O对称， ， ， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点P位于位置时，取得最大值， 过点M作轴于点Q， 则， ， 又， ， ． 故选：D． 二、填空题 6．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在扇形中，为弧上的点，连接并延长与的延长线交于点，若，，则 °． 【答案】66 【详解】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，解题的关键是正确添加辅助线构造等腰三角形．连接，根据等腰三角形的性质得出，进而求出，再利用三角形的内角和求出． 【解答】解：连接， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：66． 7．（2024·安徽六安·一模）如图，将圆形纸片折叠后，弧恰好经过圆心O，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查折叠的性质，解直角三角形，设点的对称点为，连接，交与点，根据折叠的性质，得到垂直平分，得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：设点的对称点为，连接，交与点， 由折叠的性质可知：垂直平分， ∴， 由题意，得：， 在中，， ∴， ∴， ∴的度数为； 故答案为：． 8．（2024·贵州·一模）平面直角坐标系中，若某圆的圆心在坐标原点，且圆的半径为1．那我们就可以用来表示这个圆，于是我们把叫做圆的标准方程，其中r是圆的半径，如图．已知的圆心在坐标原点，且半径为24，则的标准方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查阅读理解，根据示例写出的标准方程即可． 【详解】解：根据题意得，的圆心在坐标原点，且半径为24的的标准方程为， 故答案为： 三、解答题 9．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【答案】见解析 【分析】求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以．此题主要考查了确定圆的条件，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等． 【详解】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， 和都是直角三角形． ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 10．（14-15九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的直径，是的弦，，．在图中作弦，使，并求的度数．    【答案】图见解析，的度数为或 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，以及圆有关的概念，注意有两种情况，不要漏解 以点A为圆心，以长为半径画圆交于点、，连接，，则或即为所求作的弦．由作图与圆的的有关概念得出，从而得是等边三角形，进而得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图，以点A为圆心，以长为半径画圆交于点、，连接，，则或即为所求作的弦．    连接，． ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴． 同理：． 综上所述，的度数为或． ( 24 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24. 1. 1圆（九大类型提分练） 类型一、圆的基本概念 1．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦，反之弦也是直径 B．度数相等的弧是等弧 C．半圆是弧，但弧不一定是半圆 D．平分弦的直径等于弦 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 3．（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型二、弦的认识 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 6．（22-23九年级上·北京·单元测试）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 类型三、圆中最长弦长问题 7．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知的半径3，则中最长的弦长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若点P为内一点，过点P的最长弦长为8，最短弦长为4，则线段长为（    ） A．2 B． C．3 D． 9．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 类型四、点到圆的最长（短）距离 10．（2023九年级下·全国·专题练习）已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（　　） A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm 11．（23-24九年级上·江苏·周测）点P到上点的最短距离为2，最长距离为6，则半径为 ． 12．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）一个点到圆上的点的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 cm． 类型五、圆的周长与面积问题 13．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和．如果大圆的半径为，两个小圆的半径分别为和，则 ． 14．（23-24八年级上·四川绵阳·开学考试）滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力．如图，直径为4分米的铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，则 分米． 15．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成（取）． (1)求这个运动场的周长是多少米? (2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为,每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元? 类型六、小圆绕图形的滚动问题 16．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ．（用含的代数式表示） 17．（23-24七年级下·广西河池·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2024秒时，点P的坐标是 ． 18．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图,这是一个供滑板爱好者使用的型池,该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为m的半圆,其边缘,点在上,,一位滑行爱好者从A点到E点,则他滑行的最短距离是 m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取）    类型七、圆的有关角度的计算与证明 19．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，点在的延长线上，交于点，，且．若，求的度数． 20．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）如图，是的直径，，交于点 B ，且，求的度数． 21．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，点，，都在上，且，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)求的度数． 类型八、圆中有关线段的计算与证明 22．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知：如图，是的直径，点在上，于E，于F，且与相等吗？为什么？ 23．（19-20九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径以及上，并且，若．    (1)求的长； (2)求的半径． 类型九、共点问题的证明 24．（23-24九年级上·全国·课后作业）求证：任意三角形的三个顶点一定在一个圆上． 25．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是矩形．求证：，，，四点在同一个圆上． 一、单选题 1．（2024·黑龙江大庆·二模）下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等弧所对的弦必相等 2．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，点A、B、C是上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，是半的直径，是的中点，，交半于点，是弧上的一点，是弦延长线上一点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交边于点P，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2024·山东淄博·一模）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于两点．若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（    ） A．12 B．24 C．14 D．28 二、填空题 6．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在扇形中，为弧上的点，连接并延长与的延长线交于点，若，，则 °． 7．（2024·安徽六安·一模）如图，将圆形纸片折叠后，弧恰好经过圆心O，则的度数为 ． 8．（2024·贵州·一模）平面直角坐标系中，若某圆的圆心在坐标原点，且圆的半径为1．那我们就可以用来表示这个圆，于是我们把叫做圆的标准方程，其中r是圆的半径，如图．已知的圆心在坐标原点，且半径为24，则的标准方程为 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 10．（14-15九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的直径，是的弦，，．在图中作弦，使，并求的度数．    ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$