专题1.10 全等三角形几何模型（半角模型）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.10 全等三角形几何模型（半角模型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【定义】把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型。 【特征】（1）大角内部有一个小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的两边相等。 【类型】如下图，有三类型半角模型 【解题思路】 半角模型解题思路是构造旋转型全等，应用两次全等（两次全等判定都是SAS型）解题，具体步骤如下： （1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形（但要注意解题 时通常不一定是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）； （2）证明（1）中构造的三角形与原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通过旋转方式得到三角形，则没有这一步）； （3）证明合并形成的新三角形与原半角形成的三角形全等（SAS）； （4）通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】含、的半角模型 【例1】（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式】（22-23七年级下·河南驻马店·期末）【自主探究】（1）如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，，请计算线段的长度． 小明同学的做法是延长至点，使得，连接，他发现根据条件可证明，得到，，又和同学讨论发现，利用可证明，就能解决问题．那么他的结论是：线段的长度为______ 【灵活运用】（2）如图2，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若和都不是直角，但满足，请猜想线段、、之间的数量关系：__________________；    【拓，展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，，请问（2）中线段、、之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由．    【题型2】含、的半角模型 【例2】（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【变式】（2024八年级上·全国·专题练习）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【题型3】含、的半角模型 【例3】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：． （2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【变式】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【题型4】含的半角模型 【例4】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且. （1）求证：； （2）连结AC，若，求的度数. 【变式】（2020九年级·全国·专题练习）（2019秋•九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 第三部分【拓展延伸】 【例1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）【问题背景】如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论______； 【探索延伸】如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【灵活变通】如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，请直接写出与的数量关系．    【例2】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.10 全等三角形几何模型（半角模型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【定义】把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型。 【特征】（1）大角内部有一个小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的两边相等。 【类型】如下图，有三类型半角模型 【解题思路】 半角模型解题思路是构造旋转型全等，应用两次全等（两次全等判定都是SAS型）解题，具体步骤如下： （1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形（但要注意解题 时通常不一定是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）； （2）证明（1）中构造的三角形与原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通过旋转方式得到三角形，则没有这一步）； （3）证明合并形成的新三角形与原半角形成的三角形全等（SAS）； （4）通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】含、的半角模型 【例1】（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 【变式】（22-23七年级下·河南驻马店·期末）【自主探究】（1）如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，，请计算线段的长度． 小明同学的做法是延长至点，使得，连接，他发现根据条件可证明，得到，，又和同学讨论发现，利用可证明，就能解决问题．那么他的结论是：线段的长度为______ 【灵活运用】（2）如图2，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若和都不是直角，但满足，请猜想线段、、之间的数量关系：__________________；    【拓，展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，，请问（2）中线段、、之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由．    【答案】（1）8；（2）；（3）成立，见解析 【分析】（1）延长至点，使得，连接，证明，则，，再证明，即可得结论； （2）延长到点G，使得，先证明，则，，再证明，得到； （3）延长至，使得，连接，证明，则，，证明，则，由，，即可得到结论． 解：（1）延长至点，使得，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：8 （2）延长到点G，使得，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 故答案为：． （3）成立，理由如下： 延长至，使得，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴即， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型2】含、的半角模型 【例2】（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法． （1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在截取，连接，证，推出，，证，推出即可． （1）解：， 证明：延长到，使， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：延长到，使，连接， 由（1）知：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明：在截取，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式】（2024八年级上·全国·专题练习）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法． （1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在截取，连接，证，推出，，证，推出即可． （1）解：， 证明：延长到，使， ，， ，， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：延长到，使，连接， 由（1）知：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明：在截取，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【题型3】含、的半角模型 【例3】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：． （2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）结论仍然成立；理由见解析 【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键． （1）延长到，使，连接，根据证明可得，再证明，可得，即可得出结论； （2）延长到，使，连接，根据证明可得，再证明，可得，即可得出结论． 解：证明：如图，延长到，使，连接， 则， 又， ∴， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用、、证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据题目中的条件和可证，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：过点D作交于点G，从而可以得到，然后即可得到，再证明，即可得到，即可确定具有的数量关系． （1）解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过点D作交于点G， 在和中，, ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． 【题型4】含的半角模型 【例4】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且. （1）求证：； （2）连结AC，若，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）20° 解：（1）旋转△BCF使BC与CD重合， ∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形， ∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°， ∴∠ADC+∠ABC=180°， 由旋转可知：∠ABC=∠CDF′， ∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角， ∴A，D，F′共线， ∵ ∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD， ∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF， ∴△FCE≌△F′CE， ∴EF′=EF=DF′+ED， ∴BF=EF-ED； （2）∵AB=BC，∠B=80°， ∴∠ACB=50°， 由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， 又∵AD//BC， ∴∠ECB=70°， 而∠B=∠BCD=80°， ∴∠DCE=10°， ∴∠BCF=30°， ∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式】（2020九年级·全国·专题练习）（2019秋•九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据SAS证明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根据∠EAF∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可证明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF． 解：证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS）． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助线求解． 第三部分【拓展延伸】 【例1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）【问题背景】如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论______； 【探索延伸】如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【灵活变通】如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，请直接写出与的数量关系．    【答案】【初步探索】；【探索延伸】仍成立，理由见析；【结论运用】210海里；【灵活变通】，理由见解答过程． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 〖初步探索〗延长到，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论； 〖探索延伸〗延长到，使，连接，证明，再证明，则结论可求； 〖结论运用〗连接，延长、交于点，利用已知条件得到：四边形中：，且，符合“探索延伸”具备的条件，则． 〖灵活变通〗在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 解：〖初步探索〗如图1，延长到点，使，连接，    在和中， ， ， ，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； 〖探索延伸〗仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接，    ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； 〖结论运用〗连接，延长、交于点，如图3，    ，， ， ，， 在四边形中：，且， 四边形符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 〖灵活变通〗结论：． 理由：如图4，在延长线上取一点，使得，连接，    ，， ，即 在和中， ， ， ，， ∵点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论， 即， ∴ 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【例2】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（）；（）（）中的结论仍然成立，理由见解析；（）（）中的结论不成立，． 【分析】()延长至，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，再证明，根据全等三角形的性质得出，结合图形计算，即可证明结论； ()延长至，使，连接 ，仿照()的证明方法解答； ()在上截取，连接，仿照()的证明方法解答． 解：（）， 理由如下： 如图，延长至，使，连接，    在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）（）中的结论仍然成立， 理由如下： 如图，延长至，使，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （）（）中的结论不成立，， 理由如下：如图，在上截取，连接，    同（）中证法可得，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理、灵活运用类比思想是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$