专题1.9 全等三角形几何模型（手拉手）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.9 全等三角形几何模型（手拉手）（专项练习） 一、单选题 1．（21-22九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连结，若，，则（    ） A． B． C．4 D． 2．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，B，D在一条直线上．给出4个结论：①AE=CD；②AB⊥FB；③∠AFC=60°；④△BGH是等边三角形．其中正确的是（ ） A．①，②，③ B．①，②，④ C．①，③，④ D．②，③，④ 3．（22-23八年级上·广东韶关·期中）如图，A、B、C在同一条直线上，△ABF和△BCE均为等边三角形，AE、FC分别交FB、EB于点M、N，下列结论中：①△ABE≌△FBC，②AB＝FN，③BM＝BN，④∠ADF＝60°，⑤DB平分∠ADC，其中正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，下列结论：；是等边三角形；平分；；≌，其中正确的结论有　　      A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，则OE的最小值是为（　　） A． B．0.25 C．1 D．2 7．（23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，与均为等腰三角形，，连接交于点F，与交于点G，与交于点H，并连接．下列结论：①；②；③；④平分；⑤，正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知和都是等腰三角形，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分．其中正确结论的个数有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（20-21八年级上·湖南娄底·期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（    ）    A．∠AOB=60° B．AP=BQ C．PQ∥AE D．DE=DP 二、填空题 11．（21-22八年级上·重庆涪陵·期末）如图，和均为等边三角形，，分别在边，上，连接，，若，则 ． 12．如图，、是两个等边三角形，连接、．若，，，则 ． 13．如图,点B,C,D在一条直线上,△ABC,△ADE是等边三角形,若CE=15cm,CD=6cm,则AC= ,∠ECD= . 14．已知：如图，和为两个共直角顶点的等腰直角三角形，连接、．图中一定与线段相等的线段是 ． 15．如图，△PAB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△PAB与△PCD的面积之差为 ． 16．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，分别以、为边在内部作等腰三角形、，点恰好在边上，使，，且，连接，，，的面积为，则的面积为 ． 17．（21-22八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点F，连接．下列结论：；；平分；．其中正确结论的个数 18．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图，等边三角形中，，为内一点，且，为外一点，且，，连接、，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（填序号） ． 三、解答题 19．（21-22八年级下·山东泰安·期末）如图，正方形和正方形有公共点A，点B在线段上．判断与的位置关系，并说明理由； 20．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，已知等腰三角形、中，，，连接、，说明： (1)； (2)． 21．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知图中和都是等边三角形，点可沿边翻折至边上的点． (1)求证：； (2)试用等式写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由； 22．（23-24八年级上·吉林松原·期中）感知：如图①，和都是等边三角形，连接、，依据_____________ ；进而得到线段，依据________； 探究：如图②，，，、相交于点M，连接． （1）线段与之间是否仍存在（1）中的结论？若存在，请证明，请直接写出与之间的数量关系； （2）_______（用含的式子表示）． 23．（20-21八年级上·广东广州·期中）如图所示：和均是等边三角形，点在的延长线上，交于，连接，求证： （1）． （2）． （3）平分． （4）． 24．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图为等腰三角形，， D为直线上一动点，以为腰向右侧作等腰三角形且，连接直线． (1)求证：； (2)若D恰好在的中点上(如图)，求证：； (3) ①若点D为线段上任一点(B，C点除外)时，试探究与的位置关系． ②若点D为直线线除点B，C外任意一点，与的位置关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C C A C C D D 1．C 【分析】在Rt△ABC中可直接运用勾股定理求出BC，然后结合“手拉手”模型证得△ABC≌△ADE，即可得到DE=BC，从而求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3，AC=5， ∴由勾股定理得：BC=4， ∵和均为等边三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD， 即：∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS)， ∴DE=BC=4， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理解三角形是解题关键． 2．C 【分析】由题中条件可得△ABE≌△CBD，得出对应边、对应角相等，进而得出△BHD≌△BGE，△ABG≌△CHB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论． 【详解】解：①根据题意可知，AB=BC，BE=BD，∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE，∴三角形ABE≌三角形CBD，∴AE=CD； ③∵三角形ABE≌三角形CBD，∴∠EAB=∠BCD，∵∠AGB=∠CGF， ∴∠AFC=∠ABC=60°； ④∵∠ABC=∠EBD=60°， ∴∠CBE=60°， ∵AB=BC，∠EAB=∠BCD， ∴三角形AGB≌三角形CHB， ∴GB=BH， ∴三角形BGH为等边三角形； ②设AB⊥FB，则FB⊥AD，易证△ABF≌△DBF，可得AB=BD，显然与已知条件矛盾，故②错误； 故答案为C. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．B 【分析】根据等边三角形的性质以及三角形内角和定理，三角形的外角的性质得出∠ABE＝∠FBC，进而证明△ABE≌△FBC（SAS），即可判断①，继而证明△ABM≌△FBN（ASA），即可判断②，由△ABE≌△FBC，得出∠AEB＝∠FCB，可得∠ADF＝60°，即可判断④，作BP⊥AD，BQ⊥CD，垂足分别为，证明△BPM≌△BQN（ASA），得到BP＝BQ，根据角平分线的判定即可判断⑤． 【详解】解：∵△ABF和△BCE均为等边三角形， ∴AB＝FB，BC＝BE，∠ABF＝∠CBE＝60°， ∴∠MBN＝180°﹣∠ABF﹣∠CBE＝60°， ∵∠ABE＝∠ABF+∠MBN＝60°+60°＝120°， ∠FBC＝∠CBE+∠MBN＝60°+60°＝120°， ∴∠ABE＝∠FBC， 在△ABE和△FBC中， ， ∴△ABE≌△FBC（SAS），故①正确； ∵△ABE≌△FBC， ∴∠BAM＝∠BFN， 在△ABM和△FBN中， ， ∴△ABM≌△FBN（ASA）， ∴AM＝FN，BM＝BN，故③正确； ∵∠MAB<60°，∠ABF=60°， ∴∠AMB≠∠ABF， ∴AB≠AP， ∴AB≠FN，故②错误， ∵△ABE≌△FBC， ∴∠AEB＝∠FCB， ∠ADF＝∠DAC+∠DCA＝∠DAC+∠AEB＝∠CBE＝60°，故④正确； 作BP⊥AD，BQ⊥CD，，垂足分别为， ∴∠BPM＝∠BQN＝90°， ∵△ABM≌△FBN， ∴BM＝BN，∠PMB＝∠QNB， 在△BPM和△BQN中， ， ∴△BPM≌△BQN（ASA）， ∴BP＝BQ，即点B到AD和DC的距离相等， ∴BD是∠ADC的角平分线，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，综合运用以上知识是解题的关键． 4．C 【分析】利用全等三角形的判定和性质一一判断即可. 【详解】连接GH，CF，作于M，于N，    ，都是等边三角形， ，，， ， ≌， ，，故正确， ，，， ≌， ，， 是等边三角形，故正确， ≌，， 平分，故正确， ，， ，故正确， ， ∽，故错误． 故选C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 5．C 【分析】和均为等边三角形，可得CA=CB，CD=CE，可证∠ACD=∠BCE，从而可证△ACD≌△BCE，得出∠DAC=∠EBC即可． 【详解】∵和均为等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD=∠BCE， ∴ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠EBC=∠DAC=∠CAE=25°， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 6．A 【分析】依题意设Q是AB的中点，连接DQ，先证得△AQD≌△AOE，得出QD=OE，根据点到直线的距离可知：当QD⊥BC时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥BC时的QD的值，即可求得线段OE的最小值. 【详解】解：设Q是AB的中点，连接DQ， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC＝2，O为AC中点， ∴ ∴AQ＝AO， 在△AQD和△AOE中， ， ∴△AQD≌△AOE（SAS）， ∴QD＝OE， ∵点D在直线BC上运动， ∴当QD⊥BC时，QD最小， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°， ∵QD⊥BC， ∴△QBD是等腰直角三角形， ∴ ∵QB＝AB＝1， ∴ ∴线段OE的最小值是为 ； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是：作出辅助线构建全等三角形. 7．C 【分析】考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． 先证明，进而得到角的关系，再由的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案． 【详解】解：∵等腰直角 ∴，， ∴， ∴， ∵等腰直角 ∴，， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 8．C 【详解】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．过点A作于点M，于点N，证明，即可判断①③④正确． 【分析】解：过点A作于点M，于点N， ∵ ∴ 在和中， ∴，故①正确， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴，故③正确， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴平分，故④正确， 在和中，， 由于无法判断， 故无法判断，故与不一定相等．故②错误． 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，①证明，再利用全等三角形的性质即可判断；②由可得，再由、证得即可判定；③分别过作、，根据全等三角形面积相等和，证得，即平分，即可判定． 【详解】解： ，即 在和中 ，，， ， ， 故①正确； ， ， 、， ， ， 故②正确；    分别过作、垂足分别为、， ， ， ， ， 平分， 故③正确； 故选：D． 10．D 【分析】利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出B正确；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D错误． 【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE， 在△ACD与△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE=∠DAC， 又∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ， 又∵AC=BC， 在△CQB与△CPA中， ， ∴△CQB≌△CPA（ASA）， ∴CP=CQ， 又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形， ∴∠PQC=∠DCE=60°， ∴PQ∥AE， 故C正确， ∵△CQB≌△CPA， ∴AP=BQ， 故B正确， ∵AD=BE，AP=BQ， ∴AD-AP=BE-BQ， 即DP=QE， ∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°， ∴∠DQE≠∠CDE，故D错误； ∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°， ∵等边△DCE， ∠EDC=60°=∠BCD， ∴BC∥DE， ∴∠CBE=∠DEO， ∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°， 故A正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量． 11．/45度 【分析】根据题意利用全等三角形的判定与性质得出和，进而依据进行计算即可. 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 12．BE=10 【分析】连接AC，根据题意易证△ACD≌△BED(SAS)，根据全等三角形的性质可得AC=BE，再根据勾股定理求出AC的值即可得出结论． 【详解】如图，连接AC， ∵、是两个等边三角形， ∴AB=BD=AD=2，CD=DE，∠ABD=∠ADB=∠CDE=60， ∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC， ∴∠ADC=∠BDE， 在△ACD与△BDE中， ∴△ACD≌△BED（SAS）， ∴AC=BE， ∵， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+30°=90°， 在Rt△ABC中，AB=6，BC=8， ∴AC=， ∴BE=10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，孰练的掌握知识点是解题关键． 13． 9cm； 60. 【分析】根据等边三角形性质得出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=∠B=60°，求出∠BAD=∠CAE，根据SAS证△BAD≌△CAE，推出∠ACE=∠B=60°，BD=CE=15cm，求出BC和∠ECD即可． 【详解】解：∵△ABC、△ADE是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=∠B=60°， ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中 ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE=∠B=60°，BD=CE=15cm， ∴BC=BD-CD=15cm-6cm=9cm， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC=9cm， ∵∠B+∠BAC=∠ACD=120°，∠ACE=∠B=60°， ∴∠ECD=60°， 故答案为9cm，60. 【点睛】本题考查了等边三角形性质和全等三角形的性质和判定，关键是推出△BAD≌△CAE，题目比较典型，是一道比较好的题目． 14．BE 【详解】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC－∠BAD=∠DAE－∠BAD， ∴∠DAC=∠BAE， ∵在△CAD和△BAE中， ， ∴△CAD≌△BAE， ∴CD=BE. 故答案为BE. 点睛：本题关键在于掌握三角形全等的判定方法. 15．10 【分析】由“SAS”可证△APC≌△BPD，可得S△APC＝S△BPD，由面积和差关系可求解． 【详解】解：∵△PAB与△PCD均为等腰直角三角形， ∴PC＝PD，∠APB＝∠CPD＝90°，AP＝BP， ∴△APC≌△BPD（SAS）， ∴S△APC＝S△BPD， ∵S△APB﹣S△PCD＝S△APC+S△ABC﹣（S△BPD﹣S△BCD）， ∴S△APB﹣S△PCD＝S△BCD+S△ABC＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△APC≌△BPD是本题的关键． 16．10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，证明是解题的关键．证明，由全等三角形的性质得出，过点作于点，由三角形的面积求出的长，则可得出答案． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ， ． 故答案为：10． 17．3/3个 【分析】作于M，于N，设交于O．证明，利用全等三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：如图，作于M，于N，设交于O． ∵， ∴， 在与中， ， （）， ∴，，故①正确， ∵， ∴， ∴，故②正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分， ∴，故④正确， 若③平分成立，则， ∵， ∴，推出，由题意知，不一定等于， ∴不一定平分，故③错误， 即正确的有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用面积证明，属于中考常考题型． 18．①③④ 【分析】连接，证≌得出；再证≌，得出；其他两个条件运用假设成立推出答案即可． 【详解】解：连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 由此得出正确． ， ， ，， 设， ， ， ， 在中三角的和为， ， ， ，这时是边上的中垂线，结论错误． 边上的高， ，结论正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 19．，见解析 【分析】由 ，有，则 则． 【详解】∵四边形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，找出 ，进一步得为关键． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，可得，从而可证，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质可得，由，并结合对顶角相等可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质： （1）根据和都是等边三角形推出和全等，然后根据全等三角形的对应边相等即可得证； （2）根据等边三角形的性质和对称的性质即可推出线段，，的数量关系． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵点C与点F关于对称， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴． 22．感知：；全等三角形的对应边相等； 探究：（1）存在，，证明见解析； （2）． 【分析】感知：根据等边三角形的性质得到，利用定理证明，根据全等三角形的性质得到； 探究：（1）证明，根据全等三角形的性质得到； （2）根据全等三角形的性质、三角形内角和定理计算即可； 【详解】感知： 解：和都是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， （）， （全等三角形的对应边相等）， 故答案为：；全等三角形的对应边相等； 探究：（1），理由如下： 证明如下：，， ， 在和中， ， （）， （全等三角形的对应边相等）； （2）， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）由SAS即可证明△ABP≌△CBE； （2）根据全等三角形的性质得到∠APB=∠CEB，在△MCP和△BCE中，由三角形的内角和为180°，即可得出结论； （3）作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，由AAS证得△BNP≌△BFE，得出BN=BF，再根据角平分线的判定即可得出结论； （4）在BM上截取BK=CM，连接AK，由SAS证得△ACM≌△ABK，得出AK=AM，即可得出结论． 【详解】证明：（1）∵等边△ABC和等边△BPE， ∴AB=BC，∠ABP=∠CBE=60°，BP=BE， 在△ABP和△CBE中，， ∴△ABP≌△CBE（SAS）； （2）∵△ABP≌△CBE， ∴∠APB=∠CEB， ∵∠MCP=∠BCE， ∴∠PME=∠PBE=60°； （3）作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，如图1所示： ∵△ABP≌△CBE， ∴∠BPN=∠FEB， 在△BNP和△BFE中，， ∴△BNP≌△BFE（AAS）， ∴BN=BF， ∴BM平分∠AME； （4）在BM上截取BK=CM，连接AK，AC、BM交于点G，如图2所示： ∵∠PME=60°， ∴∠AME=120°， ∵BM平分∠AME， ∴∠BME=60°=∠BAC， ∵∠AGB=∠MGC， ∴∠ABK=∠ACM， 在△ABK和△ACM中，， ∴△ABK≌△ACM（SAS）， ∴AK=AM，∠BAK=∠CAM， ∴∠KAM=∠BAC=60°， ∴△AKM为等边三角形， ∴KM=AM， ∴MB=BK+KM=AM+MC， 即AM+MC=BM． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，属于中考常考题型． 24．(1)见解析 (2)见解析 (3)①；②，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形外角的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先说明，再利用即可证明结论； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，即；然后运用等腰三角形三线合一的性质可得是线段的垂直平分线，最后根据垂直平分线的性质即可证明结论； （3）①先说明是等边三角形可得，进而得到，根据同旁内角互补、两直线平行即可证明结论；②如图：当点D在的延长线上，先说明可得，再说明是等边三角形可得，由三角形外角的性质可得，即；再结合可得，最后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论；同理可证点D在的延长线上的情况． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 在和中，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即是线段的垂直平分线， ∴． （3）解：①∵, ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下： 证明:a.如图：点D在的延长线上， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； b.如图：点D在的延长线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∴，，即, ∴， ∵, ∴； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$