1.3 空间向量及其运算的坐标表示讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一册）

专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示 【基本知识梳理】 要点一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 要点二、空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 要点三、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 要点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). 要点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 【题型1 求空间点的坐标】 1.（山东省枣庄市第八中学2023-2024学年高二上学期开学收心考试）=(2，-1，3)，=(-1，4，-2)，=(3，2，λ)，若，则实数等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.（山东省烟台市龙口市龙口第一中学东校2023-2024学年高二上学期开学）若点，点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3.（2023-2024·山东青岛高二校级联考期中）空间直角坐标系中，已知，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4.（2023-2024·山东青岛西海岸高一下期末）在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（ ） A B. C. D. 【题型2 空间向量数量积运算的坐标表示】 1.（山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2023-2024学年高二上学期12 月月考）已知，，. (1)求的值； (2). 2.（山东省济宁市第一中学2023-2024学年高三下月考）已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3.（山东省济南市莱芜区莱芜凤城高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考）已知正方体的棱长为，对角线与相交于点，则有（    ） A． B． C． D． 4.（山东省泰安市泰山区泰安第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考）已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据空间向量的平行、垂直、数量积求参数】 1.（山东省临沂市沂水县2022-2023学年高二上学期期中）已知空间向量，，若，则 ． 2.（山东省枣庄市滕州市2023-2024学年高二上期中）若，，三点共线，则（ ） A. 4 B. C. 1 D. 0 3.（山东省德州市2023-2024学年高二上学期期末）已知两个向量，若，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4.（山东省济南市莱芜区莱芜凤城高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考）已知，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5.（山东省德州市第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考）已知，且. (1)求； (2)求向量与夹角的大小. 6.（山东省临沂市临沭县临沭第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考）已知空间三点，，，设，． (1)求； (2)与互相垂直，求实数的值． 【题型4 投影向量】 1.（山东省枣庄市滕州市2023-2024学年高二上期中）已知，则向量在上的投影向量的坐标是______． 2.（山东省烟台市2022-2023学年高二上期中）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 3.（山东省潍坊市五县市2022-2023学年高二上期中）已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上的投影的数量为__________． 4.（山东省潍坊市2023-2024学年高二上期中）（多选）下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，，若，则 B. 已知向量，，则在上的投影的数量为 C. 在空间直角坐标系中，点关于y轴的对称点为 D. O为空间中任意一点，若，且，则P，A，B，C四点共面 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示 【基本知识梳理】 要点一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 要点二、空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 要点三、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 要点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). 要点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 【题型1 求空间点的坐标】 1.（山东省枣庄市第八中学2023-2024学年高二上学期开学收心考试）=(2，-1，3)，=(-1，4，-2)，=(3，2，λ)，若，则实数等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据向量的数乘运算和向量坐标的相等即可求解. 【详解】因为， 所以=(3，2，λ)=2(2，-1，3)+(-1，4，-2)=(3，3，4), 所以， 故选：C. 2.（山东省烟台市龙口市龙口第一中学东校2023-2024学年高二上学期开学）若点，点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设，根据列方程组即可求解. 【详解】设，则， 因为，所以，解得. 故点的坐标为. 故选:A. 3.（2023-2024·山东青岛高二校级联考期中）空间直角坐标系中，已知，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间直角坐标系中点关于yOz平面的对称点的特征可得答案. 【解答过程】根据空间直角坐标系的对称性可得关于yOz平面的对称点的坐标为， 故选：C. 4.（2023-2024·山东青岛西海岸高一下期末）在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的结构和对称性即可得解. 【详解】因为点横坐标关于y轴对称的横坐标为， 点纵坐标关于y轴对称的纵坐标为， 点竖坐标关于y轴对称的竖坐标为， 所以点关于y轴对称点的坐标为. 故选：C. 【题型2 空间向量数量积运算的坐标表示】 1.（山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2023-2024学年高二上学期12 月月考）已知，，. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）由，可得，. ，故 （2），，可得，，故 2.（山东省济宁市第一中学2023-2024学年高三下月考）已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出. 【解答过程】建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 故选：D. 3.（山东省济南市莱芜区莱芜凤城高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考）已知正方体的棱长为，对角线与相交于点，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、建立空间直角坐标系， 则、、、、、、 、、. 对于A：，，，故A正确； 对于B：，，故B错误； 对于C：，，故C错误； 对于D：，，，故D错误. 故选：A. 4.（山东省泰安市泰山区泰安第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考）已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解. 【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有， 因为，，所以，， 因此，， 于是得 ， 则当时，，此时点Q， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为. 故选：C 【题型3 根据空间向量的平行、垂直、数量积求参数】 1.（山东省临沂市沂水县2022-2023学年高二上学期期中）已知空间向量，，若，则 ． 【答案】 【分析】利用向量平行可知，然后计算即可. 【详解】由题可知，所以有，解得，所以 故答案为： 2.（山东省枣庄市滕州市2023-2024学年高二上期中）若，，三点共线，则（ ） A. 4 B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量平行坐标关系计算求解即可. 【详解】因，，所以， 解得．故． 故选：A. 3.（山东省德州市2023-2024学年高二上学期期末）已知两个向量，若，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的充要条件列出方程求解即可. 【详解】因为， ， 所以，即，解得：. 故选：B. 4.（山东省济南市莱芜区莱芜凤城高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考）已知，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出向量与的夹角的余弦值，即可求出与的夹角. 【详解】， 所以， ∴，∴， ∴， 又∵， ∴与的夹角为. 故选：B. 5.（山东省德州市第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考）已知，且. (1)求； (2)求向量与夹角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据求出坐标，进而求出的坐标，则模可求； （2）求出坐标，然后求数量积，根据数量积可得夹角. 【详解】（1）， ， ； （2）由（1）可得， ， 向量与垂直， 即向量与夹角的大小为. 6.（山东省临沂市临沭县临沭第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考）已知空间三点，，，设，． (1)求； (2)与互相垂直，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）应用向量线性关系坐标运算得，，根据向量夹角的坐标公式求夹角余弦值； （2）首先求出，的坐标，再根据向量垂直列方程求参数． 【详解】（1）由题设，， 所以． （2）由，，而， 所以， 可得或 【题型4 投影向量】 1.（山东省枣庄市滕州市2023-2024学年高二上期中）已知，则向量在上的投影向量的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得出的坐标，然后求出投影向量即可得出答案. 【详解】因为，， 所以，向量在上的投影向量是， 其坐标为. 故答案为：. 2.（山东省烟台市2022-2023学年高二上期中）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案. 【详解】根据空间中点的坐标确定方法知， 空间中点在坐标平面上的投影坐标， 横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变． 所以空间向量在坐标平面上的投影向量是： 故选：B 3.（山东省潍坊市五县市2022-2023学年高二上期中）已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上的投影的数量为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据投影的数量的定义，由求解. 【详解】解：因为，向量为单位向量，， 所以向量在向量方向上的投影的数量为， 故答案为：3 4.（山东省潍坊市2023-2024学年高二上期中）（多选）下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，，若，则 B. 已知向量，，则在上的投影的数量为 C. 在空间直角坐标系中，点关于y轴的对称点为 D. O为空间中任意一点，若，且，则P，A，B，C四点共面 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量投影的数量的含义结合数量积计算可判断B；根据空间直角坐标系中点的对称性质可判断C；根据空间向量共面的结论可判断D. 【详解】对于A，向量，，，则，A正确； 对于B，向量，，则在上的投影的数量为，B错误； 对于C，点关于y轴的对称点为，C错误； 对于D，若，且， 则， 即， 则共面，即P，A，B，C四点共面，D正确， 故选：AD 学科网（北京）股份有限公司 $$