1.2 空间向量基本定理讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（山东专用）

专题 空间向量基本定理 【基本知识梳理】 知识点一：空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 知识点二：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 知识点三：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【题型1 空间向量基底的判断】 1.（2023-2024学年青岛市西海岸新区期中）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ） A. B. C. D. 2.（山东省临沂市郯城县郯城第一中学2023-2024学年高二上学期9月月考）已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 3.（山东省聊城市第二中学2022-2023学年高二上学期阶段考试）若：，，是三个非零向量；：，，为空间的一个基底，则p是q的  （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.（山东省临沂市临沭县临沭第一中学2023-2024学年高二上月考）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 用空间基底表示向量】 1.（山东省临沂市沂水县2023-2024学年高二上期中）已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量的是（ ） A. B. C. D. 2.（山东省临沂市临沭县2023-2024学年高二上期中）正方体中，M是棱的中点．记，，，那么用，，表示为_______． 3.（山东省潍坊市临朐县第一中学2023-2024学年高二上学期期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 4.（山东省烟台市2022-2023学年高二上学期期中）如图，在三棱柱中，点是底面的重心，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 1.（山东省淄博市临淄中学2023-2024学年高二上学期期中）如图，平行六面体中，为的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 2.（山东省聊城市2023-2024学年高二上学期期末）在三棱锥中，，，分别为，，的中点，若，则（ ）． A. B. 1 C. 2 D. 3 3.（山东省东营市2022-2023学年高二上学期期末）在三棱锥中，G是△ABC的重心，M是线段的中点，若，则（    ） A． B． C． D．1 4.（山东省泰安市泰安一中2023-2024学年高二上学期12月月考）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 空间向量的正交分解】 1.（山东省临沂市沂水县2023-2024学年高二上期中）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 2.（山东省滕州市第五中学2023-2024学年高二上学期10月月考）若向量在空间的的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 3.（山东省菏泽市第一中学2023-2024学年高二上学期第三次月考）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 4.（山东省临沂市2023-2024学年高二上学阶段练习）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【题型5 利用空间向量基本定理求夹角、证垂直】 1.（山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期9月月考）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 2.（2023-2024学年青岛市西海岸新区期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与AC所成角的余弦值为 3.（山东省邹平市第一中学2023-2024学年高二上月考）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 【题型6 利用空间向量基本定理求线段长】 1.（山东省2023-2024学年高二上学期10月适应性联考）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 2.（山东省泰安市泰安第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考）如图，在平行四边形中，，，把沿对角线折起，使与夹角为，则= ．    3.（山东省济宁市邹城市2022-2023学年高二上学期期末）如图，在平行六面体中，为的中点，，则 ；若该六面体的棱长都为2，，则 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 空间向量基本定理 【基本知识梳理】 知识点一：空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 知识点二：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 知识点三：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【题型1 空间向量基底的判断】 1.（2023-2024学年青岛市西海岸新区期中）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共面定理逐一判断即可. 【详解】因为，所以，，共面， 所以不是空间的另一个基底，A错误． 因为，所以，，共面， 所以不是空间的另一个基底，B错误． 假设存在m，n，使得， 则，显然无解，所以，，不共面， 所以是空间的另一个基底，C正确． 因为，所以，，共面， 所以不是空间的另一个基底，D错误． 故选：C 2.（山东省临沂市郯城县郯城第一中学2023-2024学年高二上学期9月月考）已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间基底的概念，结合选项，判断每组向量是否共面，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以不能作为一组空间基底； 对于B中，假设共面，则存在，使得， 即，可得，此时方程组无解，所以不共面，所以向量可以作为空间的一组基底； 对于C中，由，所以不能作为空间的一组基底； 对于D中，由，所以不能作为空间的一组基底. 故选：B. 3.（山东省聊城市第二中学2022-2023学年高二上学期阶段考试）若：，，是三个非零向量；：，，为空间的一个基底，则p是q的  （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用基底的判定方法和充分不必要条件的定义进行判定. 【详解】空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底， 若，，是三个共面的非零向量，则，，不能作为空间的一个基底； 但若，，为空间的一个基底，则，，不共面， 所以，，是三个非零向量，即p是q的必要不充分条件. 故选：B. 4.（山东省临沂市临沭县临沭第一中学2023-2024学年高二上月考）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意可知，向量、、共面，则存在实数、使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得的值. 【详解】 因为向量，，不能构成空间的一个基底， 所以、、共面，故存在实数、使得， 即， 因为是空间的一个基底，则，解得. 故选：D. 【题型2 用空间基底表示向量】 1.（山东省临沂市沂水县2023-2024学年高二上期中）已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由、分别是边、的中点以及，根据向量加减法的运算法则即可求得结果. 【详解】根据题意可得， 又可得， 所以 ， 即可得. 故选：C 2.（山东省临沂市临沭县2023-2024学年高二上期中）正方体中，M是棱的中点．记，，，那么用，，表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,,,2,,,2,,,0,,,2,,,， 所以， 设， 故，解得 所以， 故答案为： 3.（山东省潍坊市临朐县第一中学2023-2024学年高二上学期期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为P是的中点， 所以， 又因为点Q在上，且， 所以 ， 所以， 故选：C. 4.（山东省烟台市2022-2023学年高二上学期期中）如图，在三棱柱中，点是底面的重心，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，并延长交于点D，根据重心的定义可得D为的中点，，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意知，如图，连接，并延长交于点D， 则D为的中点，， 有， 故选：A. 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 1.（山东省淄博市临淄中学2023-2024学年高二上学期期中）如图，平行六面体中，为的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加减法公式，对向量进行分解，进而求出，，的值. 【详解】，故，，，即 故选：. 2.（山东省聊城市2023-2024学年高二上学期期末）在三棱锥中，，，分别为，，的中点，若，则（ ）． A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何关系，找到向量的等式，即可求解，即可求解. 【详解】连结和，并交于点，点是和的中点， 所以，以及， 所以，即， 所以，则. 故选：D 3.（山东省东营市2022-2023学年高二上学期期末）在三棱锥中，G是△ABC的重心，M是线段的中点，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据空间向量的运算，用基底表示出相关向量，根据空间向量基本定理，即可求得答案. 【详解】如图在三棱锥中，连接并延长交于D， 则D为的中点， M是线段的中点，G是的重心， 则 , 故，故. 故选：A 4.（山东省泰安市泰安一中2023-2024学年高二上学期12月月考）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值. 【详解】，， ， ，，，. 故选：A. 【题型4 空间向量的正交分解】 1.（山东省临沂市沂水县2023-2024学年高二上期中）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，结合向量坐标的意义即可求解. 【详解】由向量在基底下的坐标为， 得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：B. 2.（山东省滕州市第五中学2023-2024学年高二上学期10月月考）若向量在空间的的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的坐标为，得到，求得的值，即可求解. 【详解】因为在基底下的坐标是，所以， 设在基底下的坐标为， 则， 因此，所以， 即， 即向量在基底下的坐标为． 故选：C． 3.（山东省菏泽市第一中学2023-2024学年高二上学期第三次月考）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量在基底下的坐标为得到，即可得到向量在基底下的坐标. 【详解】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为. 故选：C. 4.（山东省临沂市2023-2024学年高二上学阶段练习）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1. 【解答过程】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内， 所以，. 因为，，，所以，又SA=1， 所以空间的一个单位正交基底可以为. 故选：A. 【题型5 利用空间向量基本定理求夹角、证垂直】 1.（山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期9月月考）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基底运算即可得到结果. （2）分别求出的值，再结合向量的夹角公式即可求得结果. 【详解】（1） （2）由题意知，，，， 则， ， 所以 2.（2023-2024学年青岛市西海岸新区期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与AC所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量法，根据空间向量的线性运算和数量积运算，逐项分析即得. 【详解】以为基底，则 对A：∵ 则 ∴，A正确； 对B：∵， 则 ∴，B正确； 对C：∵ 则，即 ∴，则，C错误； 对D：∵ 则 即 ∴，即直线与AC所成为，D正确； 故选：ABD. 3.（山东省邹平市第一中学2023-2024学年高二上月考）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2） 【解析】（1）由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明即可； （2）用基向量求解向量的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可. 【详解】设，， 由题可知：两两之间的夹角均为，且， （1）由 所以即证. （2）由，又 所以， 又 则 又异面直线夹角范围为 所以异面直线夹角的余弦值为. 【点睛】本题考查用基向量求解空间向量的问题，涉及异面直线的夹角，以及线线垂直的证明，是难得的好题，值得总结此类方法. 【题型6 利用空间向量基本定理求线段长】 1.（山东省2023-2024学年高二上学期10月适应性联考）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用基底法表示出，再根据向量模的计算公式和向量数量积的运算律即可得到答案. 【详解】由题意得 ， 而， ， ， 则 . 故选：A. 2.（山东省泰安市泰安第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考）如图，在平行四边形中，，，把沿对角线折起，使与夹角为，则= ．    【答案】 【分析】根据空间向量基本定理得到，利用空间向量数量积公式得到，从而得到. 【详解】由题意得，其中⊥， 故 ， 故. 故答案为： 3.（山东省济宁市邹城市2022-2023学年高二上学期期末）如图，在平行六面体中，为的中点，，则 ；若该六面体的棱长都为2，，则 . 【答案】 /2.5 【分析】由空间向量基本定理和已知条件可得；由结合向量的数量积运算可得． 【详解】 ， ∴，∴； ∵ ， ∴，即． 故答案为：；． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$