第22章 一元二次方程（考点专练，13考点）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第22章 一元二次方程（考点专练） 考点一 一元二次方程的定义（共4题） 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（    ） A． B． C． （a、b为常数） D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的识别，形如（其中a、b、c为常数且）的方程叫作一元二次方程，由此逐项判断即可． 【详解】解：A．关于x的方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．（a、b为常数），当时，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）若是一元二次方程，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确理解只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方次方程．根据一元二次方程的定义即可判断． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且． 解得． 故选：A． 3．（22-23八年级下·浙江·期末）若方程是关于的一元二次方程，则应满足________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的不等式，然后解不等式即可．熟知一元二次方程的定义是关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 4．（2024八年级上·上海·专题练习）判断下列方程是否为一元二次方程： ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义逐个判定即可求解．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【详解】解：①是一元二次方程； ②中有2个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④中未知数在分母上，是分式方程，不是一元二次方程； ⑤，即不是一元二次方程； ⑥是一元二次方程； 综上，①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是． 考点二 一元二次方程的一般形式（共4题） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别是（　　 ） A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据完全平方公式、移项把原方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：， 则， ∴， 由题意得：， 解得：， 故选：A． 2．（22-23九年级上·海南海口·期中）一元二次方程的二次项系数是________；一次项系数是________；常数项是________． 【答案】 1 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式：，首先把一元二次方程化为一般形式，然后进行解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为， 故答案为：；1；． 3．（23-24九年级下·辽宁鞍山·开学考试）方程化为一般式是________________． 【答案】 【分析】去括号，移项后即可得出答案．本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是、、为常数，． 【详解】解：， ， ， 即方程化为一般式是， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1)；(2),一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是 【分析】本题考查了一元二次方程，一元一次方程的定义；熟练掌握定义是解答本题的关键． （1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案； （2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案． 【详解】（1）解：由是一元一次方程，得 根据题意，得且． 解得． 所以当时，此方程是一元一次方程； （2）根据题意，得． 解得． 此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是． 考点三 一元二次方程的解（共4题） 1．（2023·山西晋城·模拟预测）若关于x的一元二次方程的解是，则关于y的一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，根据题意两个方程可得出的解是，进而可求出． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的解是， ∴关于的一元二次方程的解是， ∴关于y的一元二次方程的解是． 故选：D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零．把代入方程，解得的值．注意：二次项系数不为零． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得， 解得或1； 又， 即； 所以． 故选：C 3．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是________． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．利用一元二次方程的解的定义得到，再根据，代入求解即可求． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， 即， ， 将代入得：原式， 故答案为：0． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）关于的方程的一个实数根是，并且和恰好是等腰三角形的两边长，求△ABC的周长． 【答案】21或24 【分析】利用一元二次方程的解先求解m的值，再按照两种情况分类讨论即可． 本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关系的应用，一元二次方程的解的含义，遇到等腰三角形要注意分类讨论是解本题的关键． 【详解】解：把代入中， 得， 解得． 因为m和6恰好是等腰三角形的两边长， ①当腰长为6，底为9 时，三边长为6、6、9，满足三角形三边之间的关系，此时的周长为； ②当腰长为9，底为6 时，三边长为6、9、9，满足三角形三边之间的关系，此时的周长为． 综上所述，△ABC的周长为21或24． 考点四 一元二次方程的解的估算（共4题） 1．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的近似根．根据表格得出近似根的取值范围． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴当在1与之间取某一个数时，可使， 即方程的其中一个解满足的范围是． 故选：B． 2．（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（    ） X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 3．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以______＜x＜______ 第二步：                          所以______＜x＜______． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析；(2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 考点五 直接开平方法解一元二次方程（共4题） 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直接开方法解方程，根据完全平方的非负性，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选C． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）若，则的值为（　 　） A．4 B．4或 C． D． 【答案】A 【分析】把看成一个整体，利用直接开平方法求解方程，再根据，即可得到的值． 本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，注意把看成一个整体是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ， ， 故选：A． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的解为____________． 【答案】 【分析】本题考查直接开方法解方程，利用直接开方法，求解即可． 【详解】解： ∴． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)，；(2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴，； （2） ∴，． 考点六 因式分解法解一元二次方程（共4题） 1．（23-24九年级下·江苏苏州·开学考试）方程的根是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ∴，， 解得： 故选：C． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）方程 的解为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查用因式分解法解一元二次方程，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得或， 故选：D． 3．（2024·山东泰安·二模）关于y的方程的解是____________． 【答案】，， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 4．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴或 ∴ 考点七 配方法解一元二次方程（共4题） 1．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）将一元二次方程配方后，可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 把常数项移到方程右侧，二次项的系数化为1，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】 ． 故选：B． 2．（23-24九年级上·河北承德·期中）用配方法解关于x的方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，根据一元二次方程的解法--配方法的过程，移项、配方(等式左右两边加上一次项系数一半的平方)、再结合完全平方公式将式子合并起来，即可解题． 【详解】解： ． 故选：B． 3．（22-23八年级下·广西崇左·期中）已知方程可以配方成的形式，那么___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据配方法即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键：配方法解方程即可； 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ∴； （3） ∴； （4） ， ∴． 考点八 配方法的应用（共4题） 1．（23-24九年级上·福建厦门·开学考试）已知点，点，下列关于点与点的位置关系说法正确的是（    ） A．点在点的右边 B．点在点的左边 C．点与点有可能重合 D．点与点的位置关系无法确定 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，配方法的应用；熟练掌握配方法的应用是解题的关键；根据题意，点，点，两点纵坐标相等，得是平行于轴的一条直线，点与点根据横坐标大小即可确定左右的位置，再由作差法得到，这个式子正负情况，从而得到答案． 【详解】解：点，点，两点纵坐标相等， 是平行于轴的一条直线， ， 点在点的右边， 故选：A． 2．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为__________． 【答案】36 【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 将代入求出，再代入化简即可得即可求解； 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值为36． 故答案为：36． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）对于二次三项式，学完配方法后，小李同学得到如下结论：无论取何值，它的值都大于你是否同意他的说法？请你用配方法加以说明． 【答案】同意，理由见解析 【分析】本题考查配方法的应用，非负数的性质，同意，理由为：已知多项式变形后，配方得到结果，根据完全平方式大于等于即可得解．掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：同意． 理由： ， ∴无论取何值，它的值都大于 4．（22-23九年级上·河南鹤壁·开学考试）“题载思想”，马明同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自他的一篇究错日记，请你对马明所编的习题进行解答． 【错题日期】 9月18日 【错题来源】 当堂测验 【错题重现】 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值很小，最小值是多少？ 【所属考点】 配方法的应用 【错因分析】 误把代数式变形等同于方程变形，把二次项系数化为1时，直接除以二次项系数，导致本题错误． 【马明编题】 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？ 【答案】证明见解析；当x取1时，这个代数式的值最大，最大值是 【分析】本题考查了配方法的应用：配方法的理论依据是公式．二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．首先将代数式变形为，根据非负数的意义即可得到结论．首先将代数式变形为，根据非负数的意义即可得到结论． 【详解】解：， 不论取何值，这个代数式的值总是正数；当取1时，这个代数式的值很小，最小值是5； ， 不论取何值，这个代数式的值总是负数；当取1时，这个代数式的值最大，最大值是． 考点九 公式法解一元二次方程（共4题） 1．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； B． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C． ， ∴，故该选项正确，符合题意； D． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是____________． 【答案】 【详解】本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可． 【解答】解：根据题意得：， 则该一元二次方程是， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列万程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)，;(2)方程无解;(3)，;(4)， 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式，，先确定 的值，判断方程是否有根，最后求得根即可． （1）运用公式法解一元二次方程即可； （2）运用公式法解一元二次方程即可； （3）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； （4）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； 【详解】（1）解： ， ， ∴， 解得，； （2） ， ， 方程无解； （3） ， ， ∴， 解得，； （4） ， ， ∴， 解得，． 4．（23-24九年级上·福建泉州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，;(2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练的根据方程的特点选择合适的解法是解题的关键． （1）根据公式法求解，先写出根的判别式的值，再代入求根公式计算即可； （2）根据公式法求解，先写出根的判别式的值，再代入求根公式计算即可． 【详解】（1）， ， ， ，； （2）， ， ， ，． 考点十 根据判别式判断一元二次方程根的情况（共4题） 1．（22-23八年级上·上海青浦·期中）下列方程中有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：．∵，∴没有实数根，故该选项不符合题意； ．∵，∴有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； ．∵，∴没有实数根，故该选项不符合题意； ．∵，∴没有实数根，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）关于的一元二次方程，根的情况是（    ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴关于的一元二次方程有两个实数根， 故选：A． 3．（23-24九年级·河南南阳·期中）若点在第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是____________________. 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了根的判别式以及点的坐标，由点P在第二象限，可得出，，进而可得出，结合，进而可得出关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】 解：点在第二象限，，， ， ， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 4．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）已知，关于的方程． (1)不解方程，判断方程根的情况；(2)若方程有一个根为，求的值． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根；(2)，． 【分析】（）移项，再求出根的判别式的值即可判断求解； （）把把代入方程得，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式及解法是解题的关键． 【详解】（1）解：方程移项得，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：把代入方程得， ， ∴， 解得，． 考点十一 根据一元二次方程根的情况求参数（共4题） 1．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义和一元二次方程的定义列解不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， 故选：C． 2．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的情况与判别式之间的关系是解题的关键．根据一元二次方程有两个相等实根，则根的判别式为0，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 或． 故选：C． 3．（2024·辽宁·模拟预测）若关于x 的一元二次方程无实数根，则整数k 的最小值为． 【答案】3 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的构成条件、解一元一次不等式等知识，解题的关键是掌握根的判别式．要使一元二次方程没有实根，只需二次项系数不等于0且根的判别式小于0，由此可求出k的范围，再找出最小值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴且＜0， 解得，， ∴， ∴整数k的最小值是3， 故答案为：3． 4．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值． 【答案】(1)且；(2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的根的判别式． （1）由方程有实数根得，可得关于的不等式，解之可得的范围； （2）由，求出的取值范围，分两种情况：①当3是腰时，3是方程的一个根，把代入方程可求得；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，由可求出，两种情况都根据三角形的三边关系检验． 【详解】（1）解：， 方程有实数根， 且， 且， 解得且； （2）解：根据题意得且， 解得且， 当时，方程的一根是3，把代入方程得， 解得， 此时方程的另一根为， ， 三角形存在； ； 当， ， 方程为． 解得， 一腰长为3， 不合题意， 综上，． 考点十二 一元二次方程的根与系数的关系（共4题） 1．（23-24九年级上·四川达州·期末）设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（）的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，再将变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：由题意得，，， 所以 ， 故选：D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 3．（2023·湖南怀化·模拟预测）已知、是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：、是方程的两个实数根， ，，， ． 故答案为：4． 4．（2024九年级上·江苏·专题练习）关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1);(2) 【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，明确，是一元二次方程的两个根时，，是答题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得，，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， 解得：； （2）∵，是这个方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ， 解得：． 考点十三 一元二次方程的应用题（共4题） 1．（23-24九年级上·福建漳州·单元测试）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动、某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据列出方程即可． 【详解】根据题意，得． 故选：A． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价x元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，即可得解． 【详解】解：设每件降价 元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得：， 故选：A 3．（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）2022年9月30日至10月9日，世界乒乓球团体竞标赛正在成都举行，本次大赛共有66支队伍参赛，本次赛事的口号为“乒世界，品成都”，赛事的举办点燃了全体市民参与乒乓球运动的热情． (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知7月共销售乒乓球拍500副，每月的月销售增长率相同，9月共销售720副，求该增长率？ (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售20副，每副盈利40元，在每副降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10副．如果每天要盈利1440元，则每副乒乓球拍应降价多少元？ 【答案】(1)该增长率为;(2)每副乒乓球拍应降价4元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每月增长率为x，利用9月销售量7月销售量 （增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，利用总利润每副的销售利润日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）解：设平均每月增长率为x， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 答：该增长率为； （2）解：设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副， 根据题意得：，即， 解得：或（舍去）， 答：每副乒乓球拍应降价4元． 4．（23-24九年级上·湖北孝感·期中）如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． (1)无盖方盒盒底的长为，宽为（用含x的式子表示）． (2)若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【答案】(1)，;(2) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据图形即可求解； （2）求解方程即可． 【详解】（1）由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为 故答案为：， （2）由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 一元二次方程（考点专练） 考点一 一元二次方程的定义（共4题） 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（    ） A． B． C． （a、b为常数） D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）若是一元二次方程，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．1 3．（22-23八年级下·浙江·期末）若方程是关于的一元二次方程，则应满足________． 4．（2024八年级上·上海·专题练习）判断下列方程是否为一元二次方程： ①；②；③；④；⑤；⑥． 考点二 一元二次方程的一般形式（共4题） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别是（　　 ） A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69 2．（22-23九年级上·海南海口·期中）一元二次方程的二次项系数是________；一次项系数是________；常数项是________． 3．（23-24九年级下·辽宁鞍山·开学考试）方程化为一般式是________________． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 考点三 一元二次方程的解（共4题） 1．（2023·山西晋城·模拟预测）若关于x的一元二次方程的解是，则关于y的一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 3．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是________． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）关于的方程的一个实数根是，并且和恰好是等腰三角形的两边长，求△ABC的周长． 考点四 一元二次方程的解的估算（共4题） 1．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（    ） X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是________． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以______＜x＜______ 第二步：                          所以______＜x＜______． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 考点五 直接开平方法解一元二次方程（共4题） 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）若，则的值为（　 　） A．4 B．4或 C． D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的解为____________． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 考点六 因式分解法解一元二次方程（共4题） 1．（23-24九年级下·江苏苏州·开学考试）方程的根是（　　 ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）方程 的解为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（2024·山东泰安·二模）关于y的方程的解是____________． 4．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程： (1) ； (2)． 考点七 配方法解一元二次方程（共4题） 1．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）将一元二次方程配方后，可化为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北承德·期中）用配方法解关于x的方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·广西崇左·期中）已知方程可以配方成的形式，那么___________． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点八 配方法的应用（共4题） 1．（23-24九年级上·福建厦门·开学考试）已知点，点，下列关于点与点的位置关系说法正确的是（    ） A．点在点的右边 B．点在点的左边 C．点与点有可能重合 D．点与点的位置关系无法确定 2．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为__________． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）对于二次三项式，学完配方法后，小李同学得到如下结论：无论取何值，它的值都大于你是否同意他的说法？请你用配方法加以说明． 4．（22-23九年级上·河南鹤壁·开学考试）“题载思想”，马明同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自他的一篇究错日记，请你对马明所编的习题进行解答． 【错题日期】 9月18日 【错题来源】 当堂测验 【错题重现】 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值很小，最小值是多少？ 【所属考点】 配方法的应用 【错因分析】 误把代数式变形等同于方程变形，把二次项系数化为1时，直接除以二次项系数，导致本题错误． 【马明编题】 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？ 考点九 公式法解一元二次方程（共4题） 1．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是____________． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列万程： (1)． (2)． (3)． (4)． 4．（23-24九年级上·福建泉州·期末）解方程： (1)； (2)． 考点十 根据判别式判断一元二次方程根的情况（共4题） 1．（22-23八年级上·上海青浦·期中）下列方程中有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）关于的一元二次方程，根的情况是（    ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．（23-24九年级·河南南阳·期中）若点在第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是____________________. 4．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）已知，关于的方程． (1)不解方程，判断方程根的情况；(2)若方程有一个根为，求的值． 考点十一 根据一元二次方程根的情况求参数（共4题） 1．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A． B． C．或 D．或 3．（2024·辽宁·模拟预测）若关于x 的一元二次方程无实数根，则整数k 的最小值为_________． 4．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值． 考点十二 一元二次方程的根与系数的关系（共4题） 1．（23-24九年级上·四川达州·期末）设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2024九年级上·全国·专题练习）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南怀化·模拟预测）已知、是方程的两个实数根，则的值为________． 4．（2024九年级上·江苏·专题练习）关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 考点十三 一元二次方程的应用题（共4题） 1．（23-24九年级上·福建漳州·单元测试）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动、某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价x元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）2022年9月30日至10月9日，世界乒乓球团体竞标赛正在成都举行，本次大赛共有66支队伍参赛，本次赛事的口号为“乒世界，品成都”，赛事的举办点燃了全体市民参与乒乓球运动的热情． (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知7月共销售乒乓球拍500副，每月的月销售增长率相同，9月共销售720副，求该增长率？ (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售20副，每副盈利40元，在每副降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10副．如果每天要盈利1440元，则每副乒乓球拍应降价多少元？ 4．（23-24九年级上·湖北孝感·期中）如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． (1)无盖方盒盒底的长为，宽为（用含x的式子表示）． (2)若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$