第21章 二次函数与反比例函数 单元测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第21章（二次函数与反比例函数）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数关系式是（ ） A． B． C． D． 3．如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点P向x轴作垂线，垂足为M，连接，则的面积为（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 4．如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是（      ） A． B．图象也经过点 C．若时，则 D．，y随x的增大而减小 5．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数（a、b为常数）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．二次函数的图象仅与x轴负半轴有一个公共点，则此公共点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 8．已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，平行四边形的顶点A、在轴的正半轴上，顶点在第一象限内，顶点在轴的正半轴上，对角线和相交于点且，函数的图象经过点．若平行四边形的面积为8，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．已知，则下列说法正确的个数是（   ） ①若的解集是，则； ②若，则二次函数的图象与轴始终有2个交点； ③若，则的解集是； ④若二次函数的图象上有两个点分别为，则方程的一个解为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．将二次函数化为的形式，则 ． 12．如图，过轴正半轴上一点作轴的平行线，分别与反比例函数和图象相交于点和点，是轴上一点．若的面积为4，则的值为 ． 13． 如图，直线与双曲线的图象在第一象限内交于点A，过A点的另一直线交双曲线于第三象限内的点B，则不等式的解集是 ． 14．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是； ④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．学校课外生物兴趣小组打算自己动手用旧围栏在一个长为的墙边围出一个面积为10的长方形饲养场，饲养场平行于墙的长为，垂直于墙的长为．求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． 16．已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围． 17．（1）画出函数的图象． ①列表： x … … y … … ②描点并连线． （2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 18．世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度．是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值，并解释它的实际意义． 19．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根 (2)写出不等式的解集 (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 20．如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 21．【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 刹车后行驶的距离 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若汽车刹车后，行驶了多长距离； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 22．加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地，2023年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元． (1)当______时，元． (2)设2023年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ (3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？ 23．【建立模型】 （1）在数学课上，老师出示这样一个问题：如图，在中，，直线经过点，，，垂足分别为点和点，兴趣小组很快发现：（此处不需证明）． 【类比迁移】 （2）勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题，如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过点，请直接写出反比例函数的解析式； 【拓展延伸】 （3）创新小组受到勤奋小组的启发，请你结合抛物线的图象继续深入探究下面的问题并给出解答： 综合与探究：如图，抛物线与x轴交于两点，，与轴交于点，其对称轴（直线）为交轴于点． ①求抛物线的函数表达式及两点的坐标； ②点是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，，设点的横坐标为，求的面积的最大值以及此时点的坐标； ③如图，在的条件下，连接，在抛物线是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次函数与反比例函数 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第21章（二次函数与反比例函数）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义“形如（为常数，）的函数”即可求解． 【详解】解：A、，是二次函数，符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，不是二次函数，不符合题意； D、，当时，不是二次函数，不符合题意； 故选：A ． 2．二次函数的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数关系式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答． 【详解】解：二次函数的图象向右平移3个单位， 得：． 故选：D． 3．如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点P向x轴作垂线，垂足为M，连接，则的面积为（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，该知识点是中考的重要考点．根据反比例函数系数k的几何意义可知，的面积． 【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得， 面积等于， 故选：D． 4．如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是（      ） A． B．图象也经过点 C．若时，则 D．，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要考查反比例函数的性质，题目较好，难度适中． 把代入反比例函数的解析式能求出k，把A的坐标代入一次函数的解析式得出关于k的方程，求出方程的解即可． 【详解】】 解：把代入反比例函数的解析式得：，故A正确； ∵反比例函数的解析式为， 把代入求得， ∴图象也经过点，故B正确； 由图象可知时，则，故C错误； ， 随x的增大而减小， ，y随x的增大而减小，故D正确； 故选：C． 5．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数解析式可得对称轴为，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为，， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； ∵， ∴， ∵，则，， ∴时的函数值与的函数值相等，且， ∴， ∴， 故选：B ． 6．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数（a、b为常数）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．根据a、b的正负确定反比例函数图象经过的象限是解题的关键．根据一次函数图象经过的象限即可得出a、b的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A、观察一次函数图象得：，此时，观察反比例函数图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数图象得：，此时，观察反比例函数图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数图象得：，此时，观察反比例函数图象得：，相符合，故本选项符合题意； D、观察一次函数图象得：，此时，观察反比例函数图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C 7．二次函数的图象仅与x轴负半轴有一个公共点，则此公共点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，关键是掌握对于二次函数，，是常数，，决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 根据判别式的意义得到关于的方程，然后解方程求出的值，然后解关于的方程即可． 【详解】解：二次函数的图象仅与x轴负半轴有一个公共点， ， 解得， ， ， ， 解得， 即此公共点的坐标是． 故选：B． 8．已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∵二次函数的对称轴为直线且开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点， 故选：D． 9．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，平行四边形的顶点A、在轴的正半轴上，顶点在第一象限内，顶点在轴的正半轴上，对角线和相交于点且，函数的图象经过点．若平行四边形的面积为8，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数综合．熟练掌握平行四边形性质，矩形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，是解决本题的关键． 过E作轴于点F，根据平行四边形性质得到，根据，得到，结合，推出四边形和都是矩形，得到，根据，即得． 【详解】过点E作轴于点F， ∵平行四边形中，，且， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形和都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．已知，则下列说法正确的个数是（   ） ①若的解集是，则； ②若，则二次函数的图象与轴始终有2个交点； ③若，则的解集是； ④若二次函数的图象上有两个点分别为，则方程的一个解为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． ①根据的解集，找到函数图象与轴的交点，将两个交点代入函数表达式，求得的值；②判断函数图象与轴的交点个数应判断的正负性，根据，计算，因为，所以图象与轴始终有两个交点；③将代入函数表达式，整理表达式可得，当时，并不能确定函数的正负性，所以并不符合题意；④将已知点代入函数表达式，求得函数表达式，将代入，可以发现此时，所以并不符合题意． 【详解】解：①若的解集是，则抛物线的开口应向下，且与轴的交点为， ∴函数可写作：， ∴即， ∴解得：；故①符合题意； ②若，则， ， ∴二次函数的图象与轴始终有2个交点，故②符合题意； ③若，则函数表达式为：， 整理可得：， 当时，不能确定正负号，故③不符合题意； ④将代入函数表达式，即 ，解得：， 即函数表达式为：， 将代入，解得：，故④不符合题意； 综上所述：符合题意的是：①②； 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．将二次函数化为的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握配方法是解决本题的关键． 利用配方法整理即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．如图，过轴正半轴上一点作轴的平行线，分别与反比例函数和图象相交于点和点，是轴上一点．若的面积为4，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数比例系数值得几何意义，由题意可知轴，，根据反比例函数值的几何意义，，所以，求解即可．掌握反比例函数图象上的点与坐标轴及原点围成三角形面积是解题的关键，解题难点是构造同底等高的三角形面积相等． 【详解】解：连接，，如图所示， 轴， ， 反比例函数图象上的点与坐标轴及原点围成三角形面积， ， ，解得， ， ， 故答案为：6． 13．如图，直线与双曲线的图象在第一象限内交于点A，过A点的另一直线交双曲线于第三象限内的点B，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的数学思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．先求出，从而求出得到即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线的图象在第一象限内交于点A，A点的横坐标是2 把代入解析式，解得： 则 把代入得： 在中，令，则 则 ∴不等式的解集是或 故答案为：或． 14．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是； ④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值问题．根据“倍值函数”的定义，逐一判断即可． 【详解】解：①函数中，令，则，无解，故函数不是“倍值函数”，故①说法错误； ②函数中，令，则， 解得或， 经检验或都是原方程的解， 故函数的图象上的“倍值点”是和，故②说法正确； ③在中， 令，则， 整理得， ∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”， ∴且， 解得且，故③说法错误； ④在中， 令，则， 整理得， ∵该函数的图象上存在唯一的“倍值点”， ∴， 整理得， ∴对称轴为，此时n的最小值为， 根据题意分类讨论， ，解得； ，无解； ，解得或（舍去）， 综上，k的值为0或，故④说法错误； 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．学校课外生物兴趣小组打算自己动手用旧围栏在一个长为的墙边围出一个面积为10的长方形饲养场，饲养场平行于墙的长为，垂直于墙的长为．求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．    【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式的知识，属于基础题，熟练掌握矩形的面积公式是关键．根据矩形的面积=长×宽，结合题意即可得出另一边的长y（米）与x的函数关系式． 【详解】解：由长方形的面积公式得， ∴y关于x的函数表达式为． ∵墙的长度为8米， ，即， ∴自变量x的取值范围为． 16．已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为 (2) 或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，也考查了观察图象的能力．（1）把点代入反比例函数求出，即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，由待定系数法求出一次函数解析式；（2）由题意得出函数的图象总在函数的图象上方，即可得出结果． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为 ， 点在反比例函数的图象上， ， 点B的坐标为 ， 一次函数的图象经过点A、B，将A、B两个点的坐标代入， 得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）画出图象： 观察函数图象可知：符合条件的x取值范围是： 或． 17．（1）画出函数的图象． ①列表： x … … y … … ②描点并连线． （2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）上升；变大 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，画反比例函数图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． （1）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象； （2）根据反比例函数的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）列表： x … … y … 1 2 3 6 … 函数图象如答图： （2）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当x由小变大时随之变大． 故答案为：上升；变大． 18．世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度．是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值，并解释它的实际意义． 【答案】(1) (2)，且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为 【分析】本题考查了反比例函数的应用：正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求反比例函数，即可作答； （2）依题意，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为：， 将代入可得：， 与之间的函数表达式为； （2）解：点在反比例函数上， ， 解得：， ， 且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为． 19．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根 (2)写出不等式的解集 (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1或3 (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． （1）看二次函数与x轴交点的横坐标即可； （2）看x轴下方的二次函数的图象相对应的x的范围即可； （3）在对称轴的右侧即为y随x的增大而减小； （4）得到相对应的函数看是怎么平移得到的即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的交点为，， ∴方程的两个根为； （2）∵由图象可知或时，二次函数的图象在x轴下方， ∴不等式的解集为或； （3）∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是； （4）∵由图象可知二次函数图象的顶点坐标为， 当直线在的下方时，一定与抛物线有两个不同的交点， ∴当时，方程有两个不相等的实数根． 20．如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据题意求出点，将点和点代入即可求解； （2）过点作轴，设点，则，根据即可求解； （3）分类讨论时、时、时即可求解； 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴ ∴点 将点和点代入得： ， 解得： ∴ （2）解：过点作轴，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大； （3）解：设点， 时， 解得： ∴； 时， 解得：或 ∴或； 时， 解得： ∴； 综上所述，或或或 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与面积问题、二次函数与特殊三角形问题，掌握二次函数的函数与性质是解题关键． 21．【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 刹车后行驶的距离 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若汽车刹车后，行驶了多长距离； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1)关于的函数解析式为； (2)汽车刹车后，行驶了米； (3)该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车，理由见解析． 【分析】（）利用待定系数法即可求出关于的函数解析式； （）将 代入（）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； （）求出（）中函数的最大值，与比较，即可解决问题； 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，将，，代入， ，解得：， ∴关于的函数解析式为； （2）解：由（）得关于的函数解析式为， 当时，， ∴汽车刹车后，行驶了米； （3）解：由（）得关于的函数解析式为， ∴， ∴当时，汽车停下，行驶了米， ∵， ∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 22．加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地，2023年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元． (1)当______时，元． (2)设2023年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ (3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？ 【答案】(1)500 (2)当种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，使最小 (3)当a为20时，2025年的总种植成本为28920元 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值； （1）先求出当时，与的函数关系式，然后将代入求出相应的的值即可； （2）分别讨论两段对应的的最小值，然后比较大小即可解答本题； （3）根据2025年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）当时，设与的函数关系式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即当时，与的函数关系式为， 当时，， 解得， 即当为时，是35元． 故答案为：500； （2）当时，， 当时，取得最小值42000，此时； 当时，， 当时，取得最小值43000，此时； ， 当种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，使最小． （3）由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为（元）， 则甲种蔬菜的种植成本为（元）， 由题意得：， 设， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：当a为20时，2025年的总种植成本为28920元． 23．【建立模型】 （1）在数学课上，老师出示这样一个问题：如图，在中，，直线经过点，，，垂足分别为点和点，兴趣小组很快发现：（此处不需证明）． 【类比迁移】 （2）勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题，如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过点，请直接写出反比例函数的解析式； 【拓展延伸】 （3）创新小组受到勤奋小组的启发，请你结合抛物线的图象继续深入探究下面的问题并给出解答： 综合与探究：如图，抛物线与x轴交于两点，，与轴交于点，其对称轴（直线）为交轴于点． ①求抛物线的函数表达式及两点的坐标； ②点是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，，设点的横坐标为，求的面积的最大值以及此时点的坐标； ③如图，在的条件下，连接，在抛物线是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明过程见详解；（2）；（3）①，，；②当时，的面积最大，且最大值为，；③存在点，使得，点的坐标为或 【分析】（1）直接根据角角边证明三角形全等即可； （2）先求出，坐标，如图所示，过点作轴于点，可证，可得，再利用待定系数法求解即可； （3）①根据点，对称轴，运用待定系数法即可求解析式，再根据抛物线与坐标轴的交点的计算方法即可求解；②根据题意设，且，运用待定系数法可得直线的解析式为，图形结合，可得，分类讨论：当点在抛物线对称轴右边时，；当点在抛物线对称轴左边时，；由此即可求解；③根据题意，运用待定系数法可得直线的解析式为：，运用（1）的证明方法，将绕点顺时针旋转至点，可得点三点共线，，分类讨论：第一种情况，点在的下方，联立方程组求解即可；第二种情况，点在上方，联立方程组求解即可． 【详解】（1）证明：在中，，直线经过点，，， ∴， ∴， 在中， ， ∴； （2）解：在直线中，令，则；令，则； ∴， ∴， 如图2所示，过点作轴于点， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴把点代入反比例函数解析式中得，， ∴反比例函数的解析式为：； （3）解：①∵抛物线与x轴交于两点，，与轴交于点，其对称轴（直线）为交轴于点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：， 令得，，即， 解得，， ∴， 令，则， ∴； ②由①可知抛物线的解析式为，且对称轴为， ∴， ∵点是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，设点的横坐标为， ∴，且， 设直线的解析式为：，， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 如图3所示，设直线于抛物线对称轴交点为， ∴， ∴，， ∴ 当点在抛物线对称轴右边时，， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，且最大值为； 当点在抛物线对称轴左边时，， ∴， ∴，此时点不在第一象限，不符合题意，舍去； 综上所述，当时，的面积最大，且最大值为， ∴， ∴； ③存在点，使得，理由如下， 由②可得，，，， ∴直线的解析式为：， 如图4所示，将绕点顺时针旋转至点，连接，过点作轴于点， 由（2）的证明可得，， ∴， ∴， 当时，代入直线的解析式， ∴点在直线的图象，即点三点共线， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴第一种情况，点在的下方，当点在直线与抛物线的交点处，即点， ∵直线的解析式为：，抛物线的解析式为：， ∴， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； 第二种情况，点在上方， 由上述可得，，将线段绕点逆时针旋转得线段，交抛物线与点，过点作轴于点， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为, ∴联立方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，存在点，使得，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，反比例函数图象的性质，旋转的性质，二次函数与三角形的综合，掌握全等三角形的判定，反比例函数图象的性质，二次函数图象的性质，几何图形面积的与二次函数的综合，等腰三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$