专题03 有理数的运算技巧九种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪科版2024）

专题03 有理数的运算技巧九种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲解 4 类型一、对消法 4 类型二、凑整法 4 类型三、归类法 5 类型四、组合法 6 类型五、观察法 6 类型六、变序法 7 类型七、逆用法 7 类型八、拆项法 9 类型九、裂项法 10 压轴能力测评 12 1 有理数的加法 利用法则进行加法运算的步骤： ①判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． ②确定和的符号(是“+”还是“－”)． ③求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 有理数加法的运算律 1）加法交换律：a+b=b+a 2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用加法运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到简化运算的目的，通常有下列运算技巧： (1)互为相反数的两个数先相“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加同号结合法”； (3)分母相同（或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加“同分母结合法”； (4)几个数相加得到整数的数先相加—“凑整法”； (5)整数与整数、小数与小数先相加—“同形结合法”； (6)带分数相加时，可先将其拆成整数与分数的和，再分别相加—“拆分法” 2 有理数的减法运算 (1)被减数与差的大小关系：一个数减去一个正数，所得的差小于被减数；一个数减去0，所得的差等于被减数；一个数减去一个负数，所得的差大于被减数 (2)差的正负性：较大的数减去较小的数，差为正；较小的数减去较大的数，差为负；相等的两个数相减，差为0. 3 有理数加减混合运算 (1)根据有理数减法法则把有理数加减混合运算统一为加法运算，即转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式； (2)按照自左向右的顺序计算，有括号的先算括号里面的，能运用运算律的题目应利用运算律简化运算 4.有理数的乘法法则 （1） 有理数的乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数同0相乘，都得0． 注意： 1 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． ②当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3． （2） 有理数的乘法运算律： ①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． ③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 注意： ①在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． ②乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． ③运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 5 有理数的除法 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 注意： ①一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． ②因为0没有倒数，所以0不能当除数． ③法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 6.有理数的乘方 有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方. 乘方的结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次方（将看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂); (2)乘方的法则：正数的任何次幂都是正数：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数：0的任何正整数次幂都是0. (3)方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值;. ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减. 类型一、对消法 将相加得0的数结合计算。 例．用简便方法计算： 【变式训练1】．计算下列各式： (1) (2)． 【变式训练2】．计算： ； 【变式训练3】．计算（能使用简便方法的使用简便方法）： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型二、凑整法 将和为整数的数结合计算 例．计算： (1)． (2)． 【变式训练1】．计算 (1) (2) 【变式训练2】．计算： (1) (2) 【变式训练3】．计算：． 类型三、归类法 将同类数（如正数或负数）归类计算。 例．用简便方法计算： (1)； (2) 【变式训练1】．计算： (1)； (2)． 【变式训练2】．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． (1)； (2)． 【变式训练3．计算：． 类型四、组合法 将分母相同或易于通分的数结合计算。 例．用简便方法计算：． 【变式训练1】．计算： (1) (2) 【变式训练2】．计算： (1) (2). 【变式训练3】．用简便方法计算：． 类型五、观察法 将0、1、-1在运算中的特性，观察算式特征，找到结果为0、1、-1的部分优先计算。 例．计算： (1) (2) 【变式训练1】．计算： (1)； (2) 【变式训练2】．计算： (1)； (2)． 【变式训练3】．计算 (1)； (2)． 类型六、变序法 运用运算律改变运算顺序。 例．用简便方法计算：． 【变式训练1】．计算： (1)； (2)． 【变式训练2】．计算 (1) (2) 【变式训练3】． 类型七、逆用法 除以一个数，等于乘以这个数的倒数，先将括号里的每一项乘以这个数，最后求出结果的倒数即可。 例．计算：． 【变式训练1】．用简便方法计算： 【变式训练2】．阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算： 【变式训练3】．阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式=． 解法②：原式=． 解法③：原式的倒数为， ∴原式= 解法④：原式= (1)上述解法中，肯定有错误的解法．你认为解法 是错误的； (2)在正确的解法中，选择一种解法计算： 类型八、拆项法 将复杂的项拆开来算。将带分数形式的式子拆为整数＋分数的形式，然后在将整数和分数分别相加即可。 例．阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【变式训练1】．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式， ， ， ，以上解题方法叫做拆项法． 拆项法常用在带分数中，将带分数转化为整数与真分数的和，再将所有的真整数和所有的真分数分别相加，从而达到简便运算的目的．仿照上面的方法，计算： (1) ； (2)． 【变式训练2】．阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程： (2)类比上面的方法计算：． 【变式训练3】．阅读下面文字 对于可以如下计算： 原式＝ 上面这种方法叫拆项法，仿照上面的方法，计算： (1)−1+（−2）+7+（−4） (2)（−2020）+2019+（−2018）+2017 类型九、裂项法 例．观察下列式子：；；；将这三个式子相加得到． (1)计算：． (2)探究并直接写出计算结果： ①______． ②______． 【变式训练1】．小丽在做题时发现了一种规律：，，，． 请运用上面发现的规律计算下式的值： (1) (2)计算： 【变式训练2】．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【变式训练3】．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)　　． (2)根据以上观察，聪明的你发现　　． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 1．计算：已知，在此条件下，计算：… ． 2．计算： ． 4．的值的整数部分为 ． 5．计算： ． 6．阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 7．计算． (1) (2) 8．计算下列两道题． (1)； (2)． 9．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：______； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 有理数的运算技巧九种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、对消法 4 类型二、凑整法 6 类型三、归类法 9 类型四、组合法 11 类型五、观察法 13 类型六、变序法 16 类型七、逆用法 18 类型八、拆项法 21 类型九、裂项法 25 压轴能力测评 31 1 有理数的加法 利用法则进行加法运算的步骤： ①判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． ②确定和的符号(是“+”还是“－”)． ③求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 有理数加法的运算律 1）加法交换律：a+b=b+a 2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用加法运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到简化运算的目的，通常有下列运算技巧： (1)互为相反数的两个数先相“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加同号结合法”； (3)分母相同（或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加“同分母结合法”； (4)几个数相加得到整数的数先相加—“凑整法”； (5)整数与整数、小数与小数先相加—“同形结合法”； (6)带分数相加时，可先将其拆成整数与分数的和，再分别相加—“拆分法” 2 有理数的减法运算 (1)被减数与差的大小关系：一个数减去一个正数，所得的差小于被减数；一个数减去0，所得的差等于被减数；一个数减去一个负数，所得的差大于被减数 (2)差的正负性：较大的数减去较小的数，差为正；较小的数减去较大的数，差为负；相等的两个数相减，差为0. 3 有理数加减混合运算 (1)根据有理数减法法则把有理数加减混合运算统一为加法运算，即转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式； (2)按照自左向右的顺序计算，有括号的先算括号里面的，能运用运算律的题目应利用运算律简化运算 4.有理数的乘法法则 （1） 有理数的乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数同0相乘，都得0． 注意： 1 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． ②当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3． （2） 有理数的乘法运算律： ①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． ③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 注意： ①在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． ②乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． ③运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 5 有理数的除法 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 注意： ①一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． ②因为0没有倒数，所以0不能当除数． ③法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 6.有理数的乘方 有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方. 乘方的结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次方（将看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂); (2)乘方的法则：正数的任何次幂都是正数：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数：0的任何正整数次幂都是0. (3)方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值;. ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减. 类型一、对消法 将相加得0的数结合计算。 例．用简便方法计算： 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数的加法运算律计算，即可求解． 【详解】解：原式 【变式训练1】．计算下列各式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算法，解决本题的关键是利用加法运算律进行简算． （1）根据有理数的加减运算法则计算，即可解答； （2）利用加法的结合律和交换律，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练2】．计算： ； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．通常将分母相同的两个数分别结合为一组求解． 【详解】解： ； 【变式训练3】．计算（能使用简便方法的使用简便方法）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得到答案； （2）先将小数化为分数，再将式子变形为，计算即可得到答案； （3）将式子变形为，进行计算即可得到答案； （4）将式子变形为，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 类型二、凑整法 将和为整数的数结合计算 例．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)-7 (2)-1 【分析】（1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的加减法则计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则及运算律是解题的关键． 【变式训练1】．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化为加法，再根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）将整数部分和分数部分分开计算即可； 【详解】（1） ； （2） ； 【点睛】该题主要考查了有理数的加减法运算，解题的关键是掌握简便运算的运算法则． 【变式训练2】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加法交换律和加法结合律进行简便计算； （2）将整数部分和小数部分分开计算，然后利用加法交换律和加法结合律进行简便计算； 【详解】（1） ． （2） ． 【点睛】该题主要考查了有理数的加减法运算，解题的关键是熟悉加减法运算法则以及简便运算． 【变式训练3】．计算：． 【答案】5 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算的运算顺序和运算法则，以及加法运算律在有理数范围依旧适用． 类型三、归类法 将同类数（如正数或负数）归类计算。 例．用简便方法计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）将和为整数的两个数，分别结合为一组求解； （2）先去绝对值符号和括号，再将分母相同的两个数，分别结合为一组求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减运算法则及加法运算律计算即可； （2）利用有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练2】．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1.9 【分析】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算． （1）把互为相反数的数和相加为整数的分别结合相加，便可得出结果； （2）把互为相反数的数结合相加，同号的结合相加，便可求得结果． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式训练3．计算：． 【答案】20 【分析】先化简符号，再正数结合负数结合，最后相加． 本题主要考查了有理数的加减混合运算．熟练掌握化简符号，加法结合律，是解决问题的关键． 【详解】 ． 类型四、组合法 将分母相同或易于通分的数结合计算。 例．用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】解； 【变式训练1】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算等知识． （1）先将减法转化为有理数加法运算，再进行计算即可求解； （2）先根据加法交换律和结合律进行同分母分数加法运算，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式训练2】．计算： (1) (2). 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算是解题的关键． （1）去括号进行计算即可； （2）去括号再将同分母的分数结合进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式训练3】．用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，先化为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律把分母相同的两个数先加即可． 【详解】解： ． 类型五、观察法 将0、1、-1在运算中的特性，观察算式特征，找到结果为0、1、-1的部分优先计算。 例．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的乘方，有理数的混合运算，即可． （1）先计算有理数的乘方，然后根据有理数的加减运算，即可； （2）先计算有理数的乘方，然后算小括号，中括号，最后化除为乘，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【变式训练1】．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式训练2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）根据乘法分配律将原式展开，然后进行有理数的乘法运算，最后进行加减运算即可； （2）先计算乘方，再计算括号内的减法，然后计算乘法，最后进行加减运算； 掌握相应的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式训练3】．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算 （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先算括号里面的，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型六、变序法 运用运算律改变运算顺序。 例．用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律进行计算即可得；掌握乘法分配律，有理数混合运算的运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式训练1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)19 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数四则混合运算法则，结合乘法分配律，进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练2】．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的有理数的加减乘除乘方和立方的混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解题的关键． （1）先将分数通分，再计算括号里面的，之后计算乘法，最后加减运算即可得到答案； （2）先计算平方和立方，再计算括号里面的，之后计算乘法，最后加减运算即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式训练3】． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键．根据乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： 类型七、逆用法 除以一个数，等于乘以这个数的倒数，先将括号里的每一项乘以这个数，最后求出结果的倒数即可。 例．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的除法，乘法分配律是解题的关键． 根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，根据乘法分配律，可得答案． 【详解】解：原式 ． 【变式训练1】．用简便方法计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，把除法变为乘法后，利用乘法分配律进行计算即可. 【详解】解： 【变式训练2】．阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算： 【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误； (2)过程见解析，． 【分析】本题考查了有理数的除法乘法分配律； （1）根据有理数的运算法则进行判断，可得答案； （2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，和按照先计算括号内的，最后计算除法，两种方法求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）解法一：原式的倒数为： ， ； 所以原式； 解法二：原式 ． 【变式训练3】．阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式=． 解法②：原式=． 解法③：原式的倒数为， ∴原式= 解法④：原式= (1)上述解法中，肯定有错误的解法．你认为解法 是错误的； (2)在正确的解法中，选择一种解法计算： 【答案】(1)① (2) 【分析】（1）根据有理数的运算法则以及运算顺序观察，由于除法没有分配律，即可求解； （2）选取解法中正确的一种解法进行解题即可． 【详解】（1）解：解法①是错误的，除法没有分配律； 故答案为：①． （2）原式的倒数为 ， ∴原式 【点睛】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律，能够根据题目中几种方式进行计算是解题的关键． 类型八、拆项法 将复杂的项拆开来算。将带分数形式的式子拆为整数＋分数的形式，然后在将整数和分数分别相加即可。 例．阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 【变式训练1】．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式， ， ， ，以上解题方法叫做拆项法． 拆项法常用在带分数中，将带分数转化为整数与真分数的和，再将所有的真整数和所有的真分数分别相加，从而达到简便运算的目的．仿照上面的方法，计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）根据“拆项法”以及加法交换律和结合律计算即可． （2）根据“拆项法”以及加法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：； （2）解：原式 ． 【变式训练2】．阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程： (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据有理数的加减法计算即可得； （2）先拆分，再计算有理数的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题关键． 【变式训练3】．阅读下面文字 对于可以如下计算： 原式＝ 上面这种方法叫拆项法，仿照上面的方法，计算： (1)−1+（−2）+7+（−4） (2)（−2020）+2019+（−2018）+2017 【答案】(1) (2)−2 【分析】（1）仿照题示解题过程，将整数部分相加减、分数部分相加减，再计算可得； （2）仿照题示解题过程，将整数部分相加减、分数部分相加减，再计算可得． 【详解】（1）−1（−2）+7（−4） ＝（−1）+（−2）+（7）+（−4） ＝（−1−2+7−4）+（） ＝0； （2）（−2020）+2019（−2018）+2017 ＝（−2020）+（2019）+（−2018）+（2017） ＝（−2020+2019−2018+2017）+（） ＝−2 ＝−2． 【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的加减运算法则，本题属于基础题型． 类型九、裂项法 例．观察下列式子：；；；将这三个式子相加得到． (1)计算：． (2)探究并直接写出计算结果： ①______． ②______． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了有理数的运算、数字的规律型， （1）根据已知等式的方法即可求解； （2）①根据已知等式的方法进行计算即可求解；②结合已知进行有理数的混合运算即可求解； 准确理解题意，发现规律是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2）①原式 ； ②原式 ． 【变式训练1】．小丽在做题时发现了一种规律：，，，． 请运用上面发现的规律计算下式的值： (1) (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，正确得出规律是解题的关键． （1）根据题目所给的规律求解即可； （2）把各数拆成整数与分数的和，然后分别计算整数的和与分数的和即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练2】．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键． （1）利用规律，将转化为进行计算即可； （2）利用规律，将转化为进行计算即可； （3）将转化为，再利用规律解题即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【变式训练3】．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)　　． (2)根据以上观察，聪明的你发现　　． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题中的例子进行求解即可； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3） 【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． 1．计算：已知，在此条件下，计算：… ． 【答案】 【分析】由绝对值的结果为非负数，且两非负数之和为可得两个绝对值同时为，可得且，把代入可求出的值为，把求出的与代入所求的式子中，利用把所求式子的各项拆项后，去括号合并即可求出值． 【详解】解：，，且， 且， 解得且， 把代中， 解得， 则 ． 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握裂项相加是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．的值的整数部分为 ． 【答案】1 【分析】观察发现原式的每一个因式都有相同的结构，都可以写成的形式，因此先将原式写成 ，再根据分式的乘法法则进行计算，再将结果化成带分数的形式，即可得出其结果的整数部分． 本题主要考查了分数的乘法运算，找到规律是解题的关键． 【详解】解： ， ∴整数部分为1， 故答案为：1． 5．计算： ． 【答案】135 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，可以将分成，再利用乘法的分配律，通过约分恰好是整数．同理将可以分为，可以分为，最后利用分配律得出几个整数相加． 【详解】解： ． 6．阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 7．计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，有理数乘法运算律，分数四则混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先把带分数化成假分数，用算式表示分子和分母，即，之后对假分数的分子使用乘法分配律，变为，然后计算出括号里面的加法；再根据分数除法的计算方法，即除以一个数相当于乘这个数的倒数，将算式变为，然后将和分母的用约分消去，最后算加法即可； （2）把化成分数，带分数化成假分数，再根据分数除法的计算方法，即除以一个数相当于乘这个数的倒数，将算式变为，之后再利用乘法分配律即可简便运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．计算下列两道题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数运算法则与运算顺序是解题的关键． （1）先计算除法，再计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后许加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)0； (3)； (4)85． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，按照有理数的混合运算法计算即可． （1）根据有理数乘方运算法则计算即可． （2）把分数化成小数，然后再按照有理数加减混合运算法则计算即可． （3）先计算括号里面的，然后再计算乘除法． （4）先计算乘方，然后再按照有理数四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 10．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：______； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由（1）得： ； （3） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$