专题02 绝对值五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪科版2024）

专题02 绝对值五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲解 2 类型一、求一个数的绝对值 2 类型二、化简绝对值 2 类型三、绝对值方程 3 类型四、绝对值数形结合 3 类型五、绝对值分类讨论…………………………………………………………………………………………...5 压轴能力测评 7 1. 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作． 2. 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：． 互为相反数的两个数绝对值相等． 3. 绝对值与数的大小 1. 正数大于0，0大于负数． 1. 理解：绝对值是指距离原点的距离． 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大． 4. 绝对值的非负性 绝对值的非负性：|a|≥0， 若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0. 类型一、求一个数的绝对值 1.正数大于0，0大于负数． 2.理解：绝对值是指距离原点的距离． 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大． 例．如果，那么 ；如果 ，那么 ． 【变式训练1】．已知，则a的绝对值为 ． 【变式训练2】．若|a|=3，|b|=4，且a，b异号，则|a+b|= ． 【变式训练3】．善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]|3|＝3，|﹣3|＝3，22＝4，（﹣2）2＝4； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值 ； ② ； [知识应用] （2）已知|x|＝7，y2＝9，则x＝ ，y＝ ，若x＜y，则x﹣y＝ ． 类型二、化简绝对值 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：． 互为相反数的两个数绝对值相等． 例．如图，若实数，，在数轴上的对应点如图所示，则化简 ． 【变式训练1】．若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【变式训练2】．已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴，若另外两点互相重合，则点表示的数是 ． 【变式训练3】．规定：，，例如，，则式子的最小值是 ． 类型三、绝对值方程 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：． 互为相反数的两个数绝对值相等． 例．若，则 ． 【变式训练1】．已知，且，，则的值为 ． 【变式训练2】．如果，那么a的值为 ． 【变式训练3】．数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；若，则x= 类型四、绝对值数形结合 零点分段法步骤： 求零点； 分段；在各区段内分别进行化简； 将各区段内的情况综合起来，得到答案。 例．阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）． 同样的，数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示-3的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一： 请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离； 任务二： 根据绝对值的意义求字母的值： （1）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x表示的有理数是______． （2）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示_______的点的距离是4个单位长度，x表示的有理数是______． 任务三： 设点P在数轴上表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题： （1）当x取哪些有理数时，的值最小？最小值是多少？ （2）若，求x所表示的有理数； （3）若，求x所表示的有理数． 【变式训练1】．先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为　　；如果，那么为_____； (2)若点表示的数为，则当为　　时，与的值相等； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． 【变式训练2】．数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为 根据以上材料回答下列问题： (1)若，则______，，则______ (2)若，则x能取到的最小值是______，最大值是______ (3)若，则x的值为多少？ 【变式训练3】．阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则．    回答下列问题： (1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)①时，那么 ， ； ②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ①当 时，； ②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 类型五、绝对值的分类讨论 例．请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【变式训练1】．我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【变式训练2】．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当a在数轴上位于原点的右侧时，；当a在数轴上位于原点时，；当a在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题：    (1)当时，求 ，当时，求 ； (2)请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求的值． (3)若有三个均不为零的数n，m，p，求的值． 【变式训练3】．问题探究：若，求的值． (1)请补充以下解答过程（直接填空） ①当两个字母中有2个正，0个负时，______； ②当两个字母中有1个正，1个负时，______； ③当两个字母中有0个正，2个负时，______， 综上，当均不为零，______． (2)请仿照解答过程完成下列问题： ①若均不为零，求的值． ②若均不为零，且，直接写出的值． 1．已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 2．下列各组数中，互为相反数的组是(   ) A．和 B．2023和 C．和2023 D．和 3．三个有理数，，在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．，则化简的结果为（　　） A． B． C．0 D．2 5．若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 6．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 7．若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 9．已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．已知，则的最大值是（      ） A．－12 B．20 C．－20 D．－6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 绝对值五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲解 2 类型一、求一个数的绝对值 2 类型二、化简绝对值 4 类型三、绝对值方程 7 类型四、绝对值数形结合 9 类型五、绝对值分类讨论 15 压轴能力测评 20 1. 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作． 2. 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：． 互为相反数的两个数绝对值相等． 3. 绝对值与数的大小 1. 正数大于0，0大于负数． 1. 理解：绝对值是指距离原点的距离． 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大． 4. 绝对值的非负性 绝对值的非负性：|a|≥0， 若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0. 类型一、求一个数的绝对值 1.正数大于0，0大于负数． 2.理解：绝对值是指距离原点的距离． 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大． 例．如果，那么 ；如果 ，那么 ． 【答案】 3 【分析】根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：， ； ， ， ， 故答案为：，3． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题关键是明确绝对值是在数轴上，表示这个数的点到原点的距离． 【变式训练1】．已知，则a的绝对值为 ． 【答案】1 【分析】先算出a的值，再计算a的绝对值即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 【变式训练2】．若|a|=3，|b|=4，且a，b异号，则|a+b|= ． 【答案】1 【分析】根据题意可得：a=±3，b=±4，根据a、b异号可得：当a=3时，b=-4，a+b=-1；当a=－3时，b=4，则a+b=1. 【详解】∵|a|=3，|b|=4， ∴a=±3，b=±4， ∵a、b异号， ∴当a=3时，b=-4，； 当a=-3时，b=4，. 故答案为1 【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，是解此类问题的关键． 【变式训练3】．善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]|3|＝3，|﹣3|＝3，22＝4，（﹣2）2＝4； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值 ； ② ； [知识应用] （2）已知|x|＝7，y2＝9，则x＝ ，y＝ ，若x＜y，则x﹣y＝ ． 【答案】（1）①相等；②互为相反数的两个数的平方相等；（2）±7，±3，或 【分析】（1）①根据绝对值的运算性质即可判断； ②根据运算的规律，观察得出相应结论； （2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解． 【详解】解：（1）①相等； 理由：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是本身； ②互为相反数的两个数的平方相等； 理由：根据平方的非负性即可得出结论； 故答案为：相等，互为相反数的两个数的平方相等； （2）， 由（1）知：， ； ， 由（1）知：， ， 若， 当， ， 当， ， 故答案为：，，或． 【点睛】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． 类型二、化简绝对值 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：． 互为相反数的两个数绝对值相等． 例．如图，若实数，，在数轴上的对应点如图所示，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，掌握利用数轴判断式子或字母的符号、绝对值的性质和二次根式的性质是解题关键．由数轴可知：，，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由图可知：，， ， 故答案为：． 【变式训练1】．若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【答案】 1 1 1 【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数． 根据实数绝对值的性质，根据的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ①， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 【变式训练2】．已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴，若另外两点互相重合，则点表示的数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了数轴上的两点之间的距离，偶次方和绝对值的非负性，熟练掌握相关概念是解题的关键．先根据偶次方和绝对值的非负性，可得和b的值，再按照三种情况分类讨论：①若沿点折叠，点与点重合，②若沿点折叠，点与点重合，③若沿点折叠，点与点重合，分别求得点表示的数即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，； ①若沿点折叠，点与点重合， ∵， ∴点表示的数为：； ②若沿点折叠，点与点重合， ∵， ∴点表示的数为：； ③若沿点折叠，点与点重合， ∵， ∴， 点表示的数为：； 故答案为：或或． 【变式训练3】．规定：，，例如，，则式子的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查求代数式的最值问题及绝对值的几何意义，根据题意将和表示出来，然后利用绝对值得几何意义求解即可，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 【详解】∵， ∴， ∵可以看作数轴上表示数的点与表示数和之间的距离之和， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 类型三、绝对值方程 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：． 互为相反数的两个数绝对值相等． 例．若，则 ． 【答案】2010或2036 【分析】本题主要考查绝对值的性质，根据绝对值的意义进行化简即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∴或2010． 故答案为：2010或2036． 【变式训练1】．已知，且，，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据进行化简，判断、的取值，代值计算即可． 【详解】解：因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，， 当，时， ； 当，时， ； 故答案：或． 【点睛】本题考查了利用绝对值的性质进行化简，掌握性质是解题的关键． 【变式训练2】．如果，那么a的值为 ． 【答案】6或/或6 【分析】根据“互为相反数的两个数的绝对值相等”进行计算即可. 【详解】∵， 或，     解得或， 故答案为：6或. 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质：互为相反数的两个数的绝对值相等，熟练掌握这一性质是解题的关键. 【变式训练3】．数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；若，则x= 【答案】 3 或3 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式计算即可求解； （2）分情况讨论，去绝对值，再解方程即可求解． 【详解】（1）， 故答案为：3； （2）当时， ； 当时， ， 此时方程无解，舍去； 当时， ， 故答案为：或3． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离以及解绝对值方程的知识，注重分类讨论的思想是解答本题的关键． 类型四、绝对值数形结合 零点分段法步骤： 求零点； 分段；在各区段内分别进行化简； 将各区段内的情况综合起来，得到答案。 例．阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）． 同样的，数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示-3的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一： 请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离； 任务二： 根据绝对值的意义求字母的值： （1）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x表示的有理数是______． （2）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示_______的点的距离是4个单位长度，x表示的有理数是______． 任务三： 设点P在数轴上表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题： （1）当x取哪些有理数时，的值最小？最小值是多少？ （2）若，求x所表示的有理数； （3）若，求x所表示的有理数． 【答案】任务一：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离为9个单位长度；任务二：（1）1或5；（2）；3或；任务三：（1）x取与4之间（包含和4）的有理数时，+的值最小；最小值是5；（2）x所表示的有理数是或；（3）x所表示的有理数的值是 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数和绝对值的含义和求法，熟练掌握数形结合是解题关键． 任务一，阅读：数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用表示， ，可求出． 任务二∶（1）数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x有两个值；（2）数轴上表示必的点到表示的点的距离是4个单位长度，必有两个值，计算即可． 任务三∶（1）指数轴上表示必的点到表示4和的两点的距离的和； （2）指数轴上表示x的点到表示4和的两点的距离的和等于8；(3) 指数轴上表示必的点到表示2和-3的两点的距离相等． 【详解】任务一： ， 所以，数轴上表示2的点和表示的点之间的距离为9个单位长度； 任务二： （1）， 数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度， ， ， 故答案为：1或5 （2）， 数轴上表示x的点到表示-1的点的距离是4个单位长度， ， ， 故答案为：；3或 任务三： （1）指数轴上表示x的点到表示4和的两点的距离和， x取与4之间（包含和4），的值最小； 最小值是； （2）①当点P在和4之间时，， ∴点P表示的数不在和之间， ②当点P在左边时，，， ③当点P在4右边时， ， ， 所以x的值是或， （3）即数轴上点P到2表示的点的距离与到表示的点的距离相等， 2到的距离是5个单位长度， ， ， 所以x的值是． 【变式训练1】．先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为　　；如果，那么为_____； (2)若点表示的数为，则当为　　时，与的值相等； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． 【答案】(1)，2或 (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和数轴上两点的距离； （1）根据数轴上两点间的距离公式，可得到的值两个； （2）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （3）根据题意结合数轴计算可得答案； 弄清题意熟知数轴上两点之间的距离与绝对值的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点和之间的距离表示为：， 如果，即， 或， 那么为或2； 故答案为：，2或； （2），表示点到和2的距离相等，即点A为其中点， 若点表示的数为，则当为时，与的值相等； 故答案为：； （3）如图， 若数轴上表示数的点位于与之间，由题意可得： ， 的值为； 故答案为：． 【变式训练2】．数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为 根据以上材料回答下列问题： (1)若，则______，，则______ (2)若，则x能取到的最小值是______，最大值是______ (3)若，则x的值为多少？ 【答案】(1)5或，1 (2)，3 (3)或5 【分析】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键． （1）根据表示数轴上表示x的点到2的距离为3，表示数轴上表示x的点到表示4和的距离相等，得出答案； （2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值； （3）根据所提供的绝对值意义，即可解答． 【详解】（1）解：表示数轴上表示x的点到2的距离为3， 或， 解得或， 表示数轴上表示x的点到表示4和的距离相等，因此到4和距离相等的点表示的数为， 故答案为：5或，1； （2）解：，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 因此x的最大值为3，最小值为； 故答案为：，3； （3）解：当时， ，去绝对值为：， ； 当时，去绝对值为：（不成立）； 当时，去绝对值为：， ， 综上，或5． 【变式训练3】．阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则．    回答下列问题： (1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)①时，那么 ， ； ②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ①当 时，； ②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 【答案】(1)①；②或3； (2)①；2；②4； (3)①2或4；②当时，；当时，；当时，；当时， 【分析】此题主要考查有理数与数轴的应用， （1）①根据A、B两点之间的距离公式即可求解； ②根据及A、B两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （2）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和2的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数x的值，即可求解； （3）①先求出点D、点E所表示的数，分当点P还没到达E点时、当点P到达E点返回时两种情况讨论，可得t的值； ②根据P点位置分情况讨论，用含t的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【详解】（1）∵点A表示数x，点B表示数1， ∴A、B两点之间的距离表示为； ②点A表示数x，点B表示数1， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或3； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和2的距离之和， ∴当x的值为这4个值时，的最小值为3， 即相应的整数x的个数为4个； 故答案为：①；2；②4； （3）①在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5， ∴点D表示的数是，点E表示的数是5，D、E之间的距离， ∵点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动， ∴ ∵ ∴点P还没到达E点时，（秒）， 当点P到达E点返回时，（秒）， 故答案为：2或4； ②当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，；当时，；当时，；当时，． 类型五、绝对值的分类讨论 例．请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】(1)1； (2) (3)3或或1或 【分析】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． 【变式训练1】．我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【答案】(1) (2)2 (3)0或 (4)；7 【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可； （2）根据题意得出表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，然后求出中点到的距离为7，即可求解； （3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，得出当时，距离和即为到4的距离即可求解． 【详解】（1）解：时，， 故答案为：； （2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等， ∵与9的距离为， ∴中点到的距离为7， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵， ∴分情况讨论：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上可得：值为0或， 故答案为：0或； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和， 当时，距离和即为到4的距离， 故答案为：；7． 【点睛】题目主要考查绝对值的意义及化简，理解绝对值在数轴上的意义上解题关键． 【变式训练2】．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当a在数轴上位于原点的右侧时，；当a在数轴上位于原点时，；当a在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题：    (1)当时，求 ，当时，求 ； (2)请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求的值． (3)若有三个均不为零的数n，m，p，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）当时，，当时，； （2）由数轴可知：，根据，计算求解即可； （3）若有三个均不为零的数n，m，p，则有如下四种情况：①若n，m，p都为正数；②若n，m，p有两个正数；③若n，m，p有一个正数；④若n，m，p都为负数；分别化简绝对值，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 故答案为：，； （2）解：由数轴可知：， ∴， ∴的值为； （3）解：若有三个均不为零的数n，m，p，则有如下四种情况： ①若n，m，p都为正数，即，，，则； ②若n，m，p有两个正数，不妨设，，，则； ③若n，m，p有一个正数，不妨设，，，则； ④若n，m，p都为负数，即，，，则； 综上，若有三个均不为零的数n，m，p，则的值为或． 【点睛】本题考查了化简绝对值，利用数轴比较有理数的大小．解题的关键在于分情况求解． 【变式训练3】．问题探究：若，求的值． (1)请补充以下解答过程（直接填空） ①当两个字母中有2个正，0个负时，______； ②当两个字母中有1个正，1个负时，______； ③当两个字母中有0个正，2个负时，______， 综上，当均不为零，______． (2)请仿照解答过程完成下列问题： ①若均不为零，求的值． ②若均不为零，且，直接写出的值． 【答案】(1)①2；②0；③；0或2或 (2)①1或或3或；②1或 【分析】（1）①当两个字母中有2个正，0个负时，；②当两个字母中有1个正，1个负时，；③当两个字母中有0个正，2个负时，；然后作答即可． （2）①由题意知，当中有3个正，0个负时，；当中有2个正，1个负时，；当中有1个正，2个负时，；当中有0个正，3个负时，；然后作答即可；②由，可得，，，则，当中有2个正，1个负时，原式；当中有1个正，2个负时，原式；然后作答即可． 【详解】（1）解：①当两个字母中有2个正，0个负时，； 故答案为：2； ②当两个字母中有1个正，1个负时，； 故答案为：0； ③当两个字母中有0个正，2个负时，； 综上，当均不为零，0或2或， 故答案为：；0或2或． （2）①解：由题意知，当中有3个正，0个负时，； 当中有2个正，1个负时，； 当中有1个正，2个负时，； 当中有0个正，3个负时，； 综上所述，的值为1或或3或； ②解：∵， ∴，，， ∴， 当中有2个正，1个负时，原式； 当中有1个正，2个负时，原式； ∴的值为1或． 【点睛】本题考查了绝对值的化简．解题的关键在于正确的化简并分情况求解． 1．已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．根据，，得出，，然后分情况进行讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为1或3． 故选：C． 2．下列各组数中，互为相反数的组是(   ) A．和 B．2023和 C．和2023 D．和 【答案】A 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可． 【详解】解：A．和互为相反数，故A选项符合题意； B．2023和互为倒数，故B选项不符合题意； C．和2023不互为相反数，故C选项不符合题意； D．和不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查相反数，正确理解相反数的定义是解答的关键． 3．三个有理数，，在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断，的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】由数轴可得，，， ∴ ， ， 故选：． 4．，则化简的结果为（　　） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，掌握负数的绝对值等于这个数的相反数是解题的关键． 先根据已知条件化简绝对值，然后进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 5．若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查绝对的意义和性质，绝对值的非负性，据此逐项判定 即可求解． 【详解】解：A、若，则，原说法错误，故此选项不符合题意； B、若，则，原说法错误，故此选项不符合题意； C、若，则或，正确，故此选项符合题意； D、若，不一定成立；原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 7．若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意分类讨论．分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的范围，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 综上分析可知：当时，方程无解； 故选：D． 8．已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及绝对值求值，熟练掌握绝对值求解是解题的关键．将代入方程，根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， 解得或． 故选：C． 9．已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察可发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案. 【详解】解： 当时，有最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思. 10．已知，则的最大值是（      ） A．－12 B．20 C．－20 D．－6 【答案】D 【分析】根据绝对值的定义，|4+a|+|a+2|可表示为a到-4与-2两点距离的和，|b-3|+|5-b|可表示为b到3与5两点距离的和，结合|4+a|+|a+2|+|b-3|+|5-b|=4即可求出ab的最大值. 【详解】∵|4+a|+|a+2|可表示为a到-4与-2两点距离的和，|b-3|+|5-b|可表示为b到3与5两点距离的和， ∴可变形为：|4+a|+|a+2|+|b-3|+| b -5 |=4， ∴-2≤a≤-4，3≤b≤5 ∴ab的最大值=-2×3=-6. 故选D. 【点睛】考查了绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A-B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$