精品解析：江苏省南通第一中学2023-2024学年高一上学期暑期检测开学考数学试卷

江苏省南通第一中学高一数学开学调研 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集定义计算即可. 【详解】，则. 故选：A． 2. 设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命题为（ ） A. p1 B. p2 C. p3 D. p4 【答案】C 【解析】 【分析】根据含量词的命题，分析其真假，即可求解. 【详解】对于p1：由于，故∃x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题； p2：∀x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题； p3：∀x∈Z，|x|是非负整数，故|x|∈N，该命题为真命题； p4：∃x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题； 故选：C 3. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案. 【详解】， 因为，所以， 又，所以，即. 故选：B 4. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙 【答案】A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 5. 某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座.则听讲座的人数为（ ） A. 181 B. 182 C. 183 D. 184 【答案】D 【解析】 【分析】 将已知条件用Venn图表示出来，由此确定听讲座的人数. 【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图所示， 所以听讲座的人数为. 故选：D 【点睛】本小题主要考查Venn图，属于基础题. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】转化为求解即可. 【详解】，即，即，解得或. 故选：D. 7. 对于任意两个正整数 ，定义某种运算，法则如下：当都是正奇数时， ；当不全为正奇数时， ，则在此定义下，集合的真子集的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，当 都是正奇数时， ；当不全为正奇数时， ； 若 都是正奇数，则由 ，可得 ，此时符合条件的数对为（ 满足条件的共8个； 若不全为正奇数时， ，由 ，可得 ，则符合条件的数对分别为 共5个； 故集合 中的元素个数是13， 所以集合的真子集的个数是 故选C． 【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举， 8. 设，，若，且不等式恒成立，则的取值范围是 A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：， ，当且仅当，即，时取等，则，解得； 考点：1．基本不等式；2．恒成立问题；3．一元二次不等式； 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知全集，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合运算直接判断即得. 【详解】依题意，图中阴影部分在集合中，不在集合中， 因此该阴影部分表示的集合为或，AC正确，BD错误. 故选：AC 10. 下列命题是真命题的有（ ） A. “至少有一个，使成立”是全称量词命题 B. 命题“”的否定是“” C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据全称量词命题的定义可判断A的正误，根据存在性命题的否定的结构形式可判断B的正误，根据两个条件之间的推出关系可判断CD的正误. 【详解】对于A，“至少有一个，使成立”为特称命题（存在性量词命题）， 故A错误. 对于B，命题“”的否定是“”，故B正确. 对于C，当时， ， 故“”可以推出“”，“”可以推出“”， 故此时“”是“”的充要条件，故C错误. 对于D，“”能推出“”， 取，则，而不成立，故“”推不出“”， 故“”是“”的充分不必要条件， 故D正确. 故选：BD. 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断． 【详解】对于A，因为，，且， 所以，即，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，根据A可知，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确． 对于D，要证明，只需要证明，由于，则只需要证明，只需证明， 由于，当且仅当时等号成立，此时，故等号不能取到，故，即，故D正确. 故选：BCD 12. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. 不等式的解集为 B. 的解集为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】先解出方程的根，然后由题意可得，，然后根据，的值以及基本不等式，一元二次不等式的解法对各个选项逐个化简即可判断求解． 【详解】不等式的解集为， 根据根与系数的关系，可得且，. 可化为，解得，B正确； ，当且仅当时等号成立，C正确； ，方程的解为，且， 不等式的解集为，A错误； ，而，当且仅当，即时取等号， 的最大值为，D错误. 故选：BC. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是_____________________（只需填满足题意的一个值即可）． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】解不等式即得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以或. 使糖水不等式不成立的的值可以是0. 故答案为：0(答案不唯一) 14. 设集合，若，则的值的集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用元素与集合之间的关系，分类讨论计算即可 【详解】若，即时，，不满足互异性， 若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立， 若，即或，验证都不满足互异性. 综上，. 故答案为： 15. 若命题“”是假命题，则实数的最大值__________. 【答案】 【解析】 【分析】由命题的否定转化为能成立问题，利用分离参数法和基本不等式即可求解. 【详解】由题知命题的否定“”是真命题． 即，即，其中， 因为，当且仅当时等号成立，则 故实数的最大值为 故答案为：. 16. 已知实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题得，解不等式即得解. 【详解】， ， 所以, 所以， 当且仅当或时等号成立. 所以，， 所以 恒成立， . 故答案为： 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知全集，. （1）列举法表示集合； （2）求； （3）求. 【答案】（1），，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）先用列举法求出集合；再用交并补的概念进行计算即可. 【小问1详解】 全集，集合， 集合； 集合 【小问2详解】 【小问3详解】 18. 设全集为，集合． （1）若，求； （2）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 选择①：的取值范围为或． 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据补集与交集的定义，计算即可； （2）选择①作为已知条件，根据得，再讨论和时，分别求出的取值范围．（选择②、③的解法同①） 【小问1详解】 ，故，解得或， ∴或，则 又 【小问2详解】 均可得， 选择①：作为已知条件．（选择②､③的解法同①） ， 由或得： 当时，，解得； 当时，或，解得或． 综上，可得的取值范围为或． 19. 设实数x满足，其中，实数x满足. （1）若，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围； （2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式分别求出命题、为真时参数的取值范围，再取交集即可得解； （2）首先解一元二次不等式求出命题所以对应的的取值范围，再根据充分条件、必要条件得到不等式组，解得即可； 【小问1详解】 解：当时，由，得，即p为真命题时，实数x的取值范围是. 由，得，即q为真命题时，实数x的取值范围是. 所以若p，q均为真命题，则实数x的取值范围为. 【小问2详解】 解：由得，因为，所以，故， 因为q是p的充分不必要条件，所以解得. 故实数的取值范围是. 20. 设二次函数. （1）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)转化自变量，为参数，根据已知条件列方程式即可求解； (2)若存在，使得成立，经变形后，只需要其最小值满足条件即可，根据不等式性质求出最小值，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 因为是关于的一次函数， 所以 所以实数的取值范围是； 【小问2详解】 存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为 所以（当且仅当时等号成立）， 则， 所以， 综上得实数的取值范围是：. 21. 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设广告牌的高为，宽为. （1）试用表示，并求的取值范围； （2）用表示广告牌的面积； （3）广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积最小？ 【答案】（1） （2） （3）140cm 【解析】 【分析】（1）运用面积之和得到等式，再写成函数表达式即可； （2）矩形面积公式写函数表达式； （3）运用换元，结合基本不等式解题即可. 【小问1详解】 每栏的高和宽分别为，其中两栏面积之和为：， 整理得，. 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 令， 则； 当时，取最小值为24500，此时； 答：当广告牌的高取140cm时，可使广告的面积S最小. 22. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求； （2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求. 【小问1详解】 不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通第一中学高一数学开学调研 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命题为（ ） A. p1 B. p2 C. p3 D. p4 3. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙 5. 某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座.则听讲座的人数为（ ） A. 181 B. 182 C. 183 D. 184 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 对于任意两个正整数 ，定义某种运算，法则如下：当都是正奇数时， ；当不全为正奇数时， ，则在此定义下，集合的真子集的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，若，且不等式恒成立，则的取值范围是 A. 或 B. 或 C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知全集，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题是真命题的有（ ） A. “至少有一个，使成立”是全称量词命题 B. 命题“”的否定是“” C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. 不等式的解集为 B. 的解集为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是_____________________（只需填满足题意的一个值即可）． 14. 设集合，若，则的值的集合为__________. 15. 若命题“”是假命题，则实数的最大值__________. 16. 已知实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知全集，. （1）列举法表示集合； （2）求； （3）求. 18. 设全集为，集合． （1）若，求； （2）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 19. 设实数x满足，其中，实数x满足. （1）若，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围； （2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 20. 设二次函数. （1）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 21. 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设广告牌的高为，宽为. （1）试用表示，并求的取值范围； （2）用表示广告牌的面积； （3）广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积最小？ 22. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $