特训02 全等三角形 解答题（含基础+重点+压轴）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训02 全等三角形 解答题（含基础+重点+压轴） 一、解答题 1．如图，点D在上，点E在上，，，求证：． 2．如图，已知平分，．求证：． 3．如图，点、在上，，，．求证：． 4．如图，四边形的对角线相交于点E，，．求证：． 5．如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，．求证：． 6．如图，点，在线段上，，，，试说明： (1)； (2)． 7．如图，已知，，，请你判断与的关系，并说明理由． 8．如图，，是上两点，且，，点，，在同一直线上，且，求证：．    9．已知：如图，在四边形中，，．求证：． 10．如图，、相交于点，，且，，，． (1)求的度数； (2)求的长度． 11．已知：如图，是的高，是上一点．，，求证：    (1) (2) 12．已知，如图，，，垂足分别为，，且，．求证：． 13．如图，在中，于点，于点，，相交于点，且．求证：． 14．在四边形中，为对角线．      (1)尺规作图：在线段上找一点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）条件下，若，求证：． 15．如图，点为和的公共顶点，已知，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线段和字母） (1)你添加的条件是______． (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 16．（1）如图①，在线段上找点O，连结，使平分的面积； （2）如图②，在线段上找点Q，连结，使； （3）如图③，已知每个小正方形的边长为1个单位，线段，是的边上的高，请直接写出_____． 17．如图，在和中，延长交于，，，．求证：． 18．已知：如图，在中，平分．在上截取，连结．若， (1)求证：； (2)求的周长． 19．如图，中，点D在边上，且．     (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 20．如图，在四边形中，，，点E在上，且满足，求证：． 21．如图，，交于点F，，点C在线段上，且，，连接、．求证：． 22．已知：如图，在中，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想有何特殊位置关系，并证明． 23．如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 24．在长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形．是格点三角形，请分别画出符合下列要求的图形（各画出一个即可）．    (1)在图甲中画格点，使与全等． (2)在图乙中画格点，使与不全等但面积相等． 25．如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． 26．如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为t秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)如图1，当t为何值时，． (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时点Q从点C向点D运动（当点Q与点D重合时停止运动）．以秒的速度沿向点D运动．当v为何值，使得与全等？若存在，求出v的值；若不存在，请说明理由． 27．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．    (1)如图，当点在线段上，求证：； (2)当点在射线上移动，如图求证 28．如图，与中，，，，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，求证：． 29．如图所示，是高，点P在的延长线上，，点Q在上，． (1)判断： 　　（用“>”、“<”、“＝”填空）； (2)探究：与之间的关系； (3)若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论． 30．如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数； (3)若与全等，点与点为对应点，求的长． 31．如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上． ①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由； ②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由． (2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由． 32．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 33．如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．    (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上． ①如图1，若，，则_____； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件_______，使①中的结论们然成立，并说明明理由； (2)如图3，若线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由． 34．在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度； (2)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 35．在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动． 【初步探索】 （1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________； 【灵活运用】 （2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训02 全等三角形 解答题（含基础+重点+压轴） 一、解答题 1．如图，点D在上，点E在上，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等即可证明． 【解析】证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 2．如图，已知平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据平分，可得，再根据边角边可证明． 【解析】证明：∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴． 3．如图，点、在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质．由平行线的性质得出，证明．由全等三角形的性质得出． 【解析】证明：， ， 在和中， ， ． ， ， ． 4．如图，四边形的对角线相交于点E，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再证明，即可证明． 【解析】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 5．如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查平行性的性质及全等三角形的判定，根据题意得出，，，再由全等三角形的判定即可证明． 【解析】证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．如图，点，在线段上，，，，试说明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定： （1）利用证明即可； （2）根据，推出，即可得出结论． 【解析】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以 即． 因为． 所以 （2）由（1）知； 所以． 因为， 所以． 所以． 7．如图，已知，，，请你判断与的关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，从而可得结论； 【解析】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴，，， ∴， ∴． 8．如图，，是上两点，且，，点，，在同一直线上，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明，即可得到，进而得到． 【解析】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ， ∴． 9．已知：如图，在四边形中，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查三角形全等证明与应用．由证得，再根据全等三角形的性质得出结论． 【解析】证明：连接， 在与中， ， ， ． 10．如图，、相交于点，，且，，，． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）由全等三角形的性质得到，由三角形内角和定理得到； （2）由全等三角形的性质得到，，又，即可证明，得到，于是． 本题考查全等三角形的判定和性质，关键是由推出，，由证明，得到． 【解析】（1）解：∵， ， ， ； （2）解：∵， ，， ， ∴， ， ． 11．已知：如图，是的高，是上一点．，，求证：    (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）先根据是的高，得出，再根据，得出，即可证出． （2）由（1）可知，得出，再根据，得出，从而得出，即可证出． 【解析】（1）证明：∵是的高， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，延长交上一点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    12．已知，如图，，，垂足分别为，，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据即可证明结论成立． 【解析】证明：∵，， ∴． 在和中 ∴． 13．如图，在中，于点，于点，，相交于点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．首先推导出，然后利用证得． 【解析】证明：，， ， ， ，即， 在和中， ， ． 14．在四边形中，为对角线．      (1)尺规作图：在线段上找一点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）条件下，若，求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质： （1）根据尺规作图—作一个角等于已知角的方法，作图即可； （2）证明即可． 【解析】（1）解：如图，即为所求；    （2）∵， ∴， ∵，， ∴； ∴． 15．如图，点为和的公共顶点，已知，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线段和字母） (1)你添加的条件是______． (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； （1）根据题意添加的条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理即可得到证明． 【解析】（1）解：添加的条件是． （2）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． 16．（1）如图①，在线段上找点O，连结，使平分的面积； （2）如图②，在线段上找点Q，连结，使； （3）如图③，已知每个小正方形的边长为1个单位，线段，是的边上的高，请直接写出_____． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形面积等知识，正确作出图形是解题的关键． （1）根据三角形的中线平分三角形的面积作图即可； （2）连接交于点Q，证明，得，再证明，然后根据平行线的判定即可得出结论； （3）根据面积法求出的面积，再由三角形面积公式求出的长即可． 【解析】解：（1）如图①，设的中点为R， 则点O为所求作的点．理由如下： ∵点R为的中点， ∴， ∴和等底同高， ∴和的面积相等， 即平分的面积． （2）如图②，连接交于点Q， 则点Q为所求的点．理由如下： 由图②可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图③，为高， ∵， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 17．如图，在和中，延长交于，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由，，可得，证明，进而结论得证． 【解析】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 18．已知：如图，在中，平分．在上截取，连结．若， (1)求证：； (2)求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由平分证明，再根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）根据全等三角形的对应边相等得，由先求出的值，再求出的值，即得到的周长． 此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、根据转化思想求三角形的周长等知识与方法，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并证明是解题的关键． 【解析】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ． （2）解：∵， ， ， ， 的周长是． 19．如图，中，点D在边上，且．     (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论． 【解析】（1）解：如图所示，即为所求，    （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键． 20．如图，在四边形中，，，点E在上，且满足，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据得，利用证明，即可得；掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 21．如图，，交于点F，，点C在线段上，且，，连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据，得到，由“”可证，可得． 【解析】证明：∵， ， 在和中， ， ， ． 22．已知：如图，在中，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想有何特殊位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，即可； 【解析】（1）证明：∵ ∴ 即， 又∵， ∴． （2）． 证明如下：由（1）知， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． ∴． 23．如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定定理可得结论； （2）根据全等三角形的性质得得，，结合线段中点定义可求解． 【解析】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， , ∴； （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 24．在长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形．是格点三角形，请分别画出符合下列要求的图形（各画出一个即可）．    (1)在图甲中画格点，使与全等． (2)在图乙中画格点，使与不全等但面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查格点作图、全等三角形： （1）利用格点作点B关于的对称点，即可求解； （2）等底等高的三角形面积相等，利用格点作图即可． 【解析】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：如图，即为所求．    25．如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． 【答案】(1)，见解析 (2)，速度为厘米/秒 【分析】本题借助动点问题，考查了全等三角形的性质，熟记相关性质定理的内容是解题关键． （1）根据运动时间，可得出，，据此即可求证； （2）由点的运动速度与点的运动速度不相等可得出且时，与全等，据此即可求解． 【解析】（1）解：，理由如下： （秒） ，点为的中点 在和中， ∴ （2）解： 若与全等，则 故 所以点、的运动时间： 此时（厘米/秒） 26．如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为t秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)如图1，当t为何值时，． (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时点Q从点C向点D运动（当点Q与点D重合时停止运动）．以秒的速度沿向点D运动．当v为何值，使得与全等？若存在，求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当或2.4时，与全等 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键. （1）根据路程速度时间，点的速度，表示出即可； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【解析】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒， ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 解得， 当时，； （3）解：情况一：当，，时， ， ， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当，，时， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 27．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．    (1)如图，当点在线段上，求证：； (2)当点在射线上移动，如图求证 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）只需要证明即可得到； （2）先证明，然后证明，得到．从而推出，由此求解即可． 【解析】（1）解：， ， ， ，， （）， ； （2）证明：设与交于点． ， ． ，， ， ． ， ． ，， ．    【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 28．如图，与中，，，，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题． （2）如图2中，延长交于F，在上取，连接，根据角平分线定义、平行线的性质推出，利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解； 本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【解析】（1）解：，即， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ； （2）证明：延长交于F，在上取，连接， ，， ， 则， ， 平分， ， ，， ， ，则， ， ，即， ， 则． 即：． 29．如图所示，是高，点P在的延长线上，，点Q在上，． (1)判断： 　　（用“>”、“<”、“＝”填空）； (2)探究：与之间的关系； (3)若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论． 【答案】(1) (2)结论：，，详见解析 (3)上述结论成立，详见解析 【分析】本题主要考查了垂线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据垂线的定义和三角形内角和定理即可得出答案； （2）根据垂线的定义和三角形内角和定理可得，证明，可得结论； （3）根据垂线的定义和三角形内角和定理可得，证明，可得结论； 【解析】（1）解：设交于F， 是高， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：结论：，， 证明：是高，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 而， ， 即， ； 即，； （3）解：上述结论成立，理由如下： 如图所示： 是高，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 30．如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数； (3)若与全等，点与点为对应点，求的长． 【答案】(1) (2) (3)3或3.5 【分析】（1）根据三角形内角和算出，再根据平角定义算出最后再运用三角形内角和即可求解； （2）根据得出再由三角形内角和即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解； 【解析】（1）， ， ， ， ； （2）∵， ， ． （3）当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：为3或3.5． 【点睛】该题主要考查了三角形内角和定理以及全等三角形的性质，解题的关键是分类讨论思想的运用． 31．如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上． ①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由； ②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由． (2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，（1）①由，，可得，从而可证，故． ②若，则可使得．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，便可得证． （2）题干已知条件可证，故，，从而可证明． 【解析】（1）解：① 证明：∵， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ②解：，理由如下： ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴，即． 32．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；（3），见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）直接利用证明即可得出； （2）①如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得，即为的中点，进而求得的长即可； ②在上截取．连接，根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【解析】解：（1）证明：根据作图可得，又， ， ， 即； 故答案为：； （2）①如图：过点作，垂足为点， 和的平分线交于点， ，即， ； ②如图：在上截取．连接， 是的角平分线， ， 又， ． ， 又， ； （3），理由如下： ， 是的两条角平分线，且交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ． 33．如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．    (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上． ①如图1，若，，则_____； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件_______，使①中的结论们然成立，并说明明理由； (2)如图3，若线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由． 【答案】(1)①；②；理由见解析 (2)；理由见解析 【分析】（1）①由，，可得，从而可证，故； ②添加，可证明，则，根据可证明，即可得证①中的结论仍然成立； （2）题干已知条件可证，故，，从而可证明． 【解析】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②添加，使①中的结论仍然成立，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 34．在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度； (2)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 【答案】(1)90 (2)①，证明见解析；②，图见解析 【分析】（1）根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据直角三角形两个锐角互余即可求解； （2）①根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形内角和是180°即可求解； ②根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和推得，即可求解． 【解析】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①解：，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴； ②如图：； 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质；熟练掌握两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等是解题的关键． 35．在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动． 【初步探索】 （1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________； 【灵活运用】 （2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3），证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，则，从而得出，证明得出，证明得出，即可证明； （2）延长到点，使，连接，则，从而得到，证明得出，证明得出，即可证明； （3）延长到点，使，连接，则，证明得出，证明得出，从而得到，即可得解． 【解析】解：（1）如图，延长到点，使，连接，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）成立， 理由：如图，延长到点，使，连接，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）， 证明：如图，延长到点，使，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线构造三角形全等是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$