第3章 对圆的进一步认识 单元试卷 - 2024-2025学年青岛版九年级数学上册

1 / 4 绝密★启用前 2024～2025 学年 9 上第 3 章 对圆的进一步认识（青岛版） 数学问卷 时间：120 分钟 分值 ：120 分 本试卷共 3页。满分 100 分。考试用时 60分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1. 答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定 的位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号。 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 3. 非选择题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改 液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 第Ⅰ卷（选择题 共 30 分） 一、单选题（共 30 分） 1．（本题 3分）如图，⊙O 的半径为 5，AB 为弦，若∠ABC＝30°，则AC的长为（ ） A．5 B． 5 6 π C． 5 3 D． 5 3 π 2．（本题 3分）如图，四边形 ABCD 内接于 O ，若 : 4 : 5A C   ，则 C 的度数是（ ） A．80° B．100° C．110° D．120° 3．（本题 3 分）若扇形的半径为 6，圆心角为 120°，则此扇形的弧长是（ ） A．3 B． 4 C． 5 D．6 4．（本题 3 分）如图， AB是 O 的直径，   BC CD DE  ， 34COD  ，则 AOE 的度数是 （ ） A．51 B．56 C．68 D．78 5．（本题 3 分）如图，正方形 ABCD内接于 O ，点 E 在 O 上连接 ,BE CE，若 18ABE  ，则 BEC DCE  （ ） A．16 B．17 C．18 D． 20 6．（本题 3 分）已知：如图，⊙O是△ABC 的外接圆，⊙O的直径为 10，过点 C 作⊙O的切线交 AB 延长线于点 P．BC＝6，则 B到 CP 的距离为（ ） A． 12 5 B．3 C． 18 5 D． 24 5 2 / 4 7．（本题3分）如图，阴影部分是从一块直径为40cm的圆形铁板中截出的一个工件示意图，其中 ABC 是等边三角形，则阴影部分的面积为（ ） A． 2800 cm B． 2 400 200 3 cm 3      C． 2400 100 3 cm 3      D． 2200 cm 8．（本题 3分）如图，AB 是⊙O 的一条弦，点 C是⊙O 上一动点，且∠ACB=30°，点 E、F 分别是 AC、 BC 的中点，直线 EF 与⊙O 交于 G、H 两点，若⊙O 的半径为 7，则 GE+FH 的最大值为（ ） A．10.5 B．7 3﹣3.5 C．11.5 D．7 2﹣3.5 9．（本题 3分）如图，⊙O 是边长为 1的正方形 ABCD 的外接圆，P为弧 AD 上的不同于 A、D 的任意 一点，则 PA2+PB2+PC2+PD2的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．（本题 3 分）在平面直角坐标系 xOy中， O 的半径为 1，A，B 为 O 外两点， 1AB  ．给出如 下定义：平移线段 AB，得到 O 的弦 A B （ A B ， 分别为点 A，B的对应点），线段 AA长度的最小 值称为线段 AB到 O 的“平移距离”． ①如图，平移线段 AB到 O 的长度为 1 的弦 1 2PP 和 3 4P P，则 1 2 3 4PP PP ； ②如图，平移后弦 1 2PP 和 3 4P P间的距离为 2 3； ③若点 A，B 都在直线 3 2 3y x  上，记线段 AB到 O 的“平移距离”为 1d ，求 1d 的最小值为 3 2 ； ④若点 A 的坐标为 32, 2       ，记线段 AB到 O 的“平移距离”为 2d ，则 2d 的最小值为 1． 上面结论正确的为（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 二、填空题（共 18 分） 11．（本题 3 分）如图，在 ABCD 中， 40D  ， O 经过点A、点 B，且交边 BC 于点 E，点 F 在 »AE上，则 AFE  度． 12．（本题 3 分）如图，已知圆O的半径 6OA  ，以OA为边分别作正五边 形OABCD和正六边形OAEFGH ，则 DOH  ，图中阴影部分的面 积为 （结果保留 π）． 3 / 4 13．（本题 3 分）已知 AB、CD 是⊙O 的两条直径，则四边形 ACBD 一定是 形． 14．（本题 3分）如图，在 Rt ABC 中， 90C  ，E为 AB边上一点，以 AE为直径的半圆 O与 BC相 切于点 D．若 3 3 5BE BD ， ，则半圆 O的半径为 ． 15．（本题 3 分）如图，扇形 OAB 和扇形 OCD 所在的圆是同心圆，其圆心为 O，OA=2，∠COA=15°， ∠AOB=60°，则阴影部分的面积为 ． 16．（本题 3 分）如图，正方形 ABCD的边长为 4， O 的半径为 1，若 O 在正方形 ABCD外运动（ O 可以与该正方形的边相切），则 O 绕正方形 ABCD运动一周回到起点时，圆心 O 移动路径长的最小 值为 ． 三、解答题（共 72 分） 17．（本题 6分）如图，矩形OABC与⊙O交于点D，点A为⊙O 上一点， 2AB BC ，请仅用无刻度 的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图 1 中作出过点D的切线； （2）在图 2 中作一个圆周角，使这个角的正切值为 1 2 ． 18．（本题 6 分）如图， AB是 O 的直径，CD是 O 的切线，切点为 C， BE CD ，垂足为 E，连 接 ,AC BC . （1）求证： BC平分 ABE ； （2）若 60A  ， 2OA  ，求CE的长. 19．（本题 8 分）如图， AC CB ，D，E分别是半径OA，OB的中点．求证：CD CE ． 20．（本题 8 分）如图， AB为 O 的直径，弦 AC、 BD相交于点 E， 2 90BDC ACD    ． (1)求证： AD CD ； (2)若 4 2AC  ， 2tan 2 ABD  ，求圆的半径 r长度． 4 / 4 21．（本题 10 分）如图，AB 是⊙O的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD⊥AB，垂足为 E，已知 CD＝6，AE ＝1，求⊙O的半径． 22．（本题 10 分）已知 ,PA PB分别与 O 相切于点 , ,A B C 为 O 上一点． （1）如图①，若 50  °ACB ，求 APB 的大小； （2）如图②，若四边形 APBC为菱形，求 ACB 的大小． 23．（本题 12 分）如图 1，在菱形 ABCD中，对角线 AC， BD相交于点 O， 6AB  ， 60ABC  ， 点 P 为线段BO上的动点（不与点 B，O 重合），连接CP并延长交边 AB于点 G，交DA的延长线于点 H． (1)求线段 BD的长； (2)当 APHV 为直角三角形时，求 HP PC 的值； (3)如图 2，作线段CG的垂直平分线，交BD于点 N，交CG于点 M，连接 NG，在点 P 的运动过程中， CGN 的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 24．（本题 12 分）如图 1，在 O 中， AB为 O 的直径，点C为 O 上一点， AD为 CAB 的平分 线交 O 于点D，连接OD交 BC于点 E． (1)求 BED 的度数； (2)如图2，过点A作 O 的切线交 BC延长线于点 F ，过点D作DG AF∥ 交 AB于点G．若 2 35AD  ， 4DE  ，求DG的长． 绝密★启用前 2024～2025学年9上第3章 对圆的进一步认识（青岛版） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D C C B A B C 11．140 【分析】连接、、、，利用圆的性质和多边形内角和的性质即可求解． 【详解】解：连接、、、， ∵， ∴，， ∵两个三角形、内角和为 ∴ 即， ∵在中，， ∴ ∴    故答案为：140 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、圆周角定理、三角形的内角和，解题的关键是熟练运用数形结合的思想列出角的关系式． 12． 【分析】先根据多边形内角和公式计算出、的度数，再求出，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 阴影部分的面积：， 故答案为：， 【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟练运用多边形内角和公式和扇形面积公式是解题的关键． 13．矩． 【详解】试题解析：连接AC、BC、BD、AD， ∵AB、CD为圆O的直径， ∴OA=OB=OC=OD， ∴四边形ACBD为矩形． 考点：1.圆周角定理；2.矩形的判定． 14．6 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理，连接，利用切线的性质得到，设半圆O的半径为r，则．结合勾股定理列得，求出r即可． 【详解】连接，如解图所示． ∵与半圆O相切于点D， ∴． 设半圆O的半径为r，则． 在中， ， 解得 ∴半圆O的半径为6． 15．． 【详解】试题分析：可以先求扇形COD的面积减去三角形COD的面积得到弓形CD的面积，减去环形AB的面积就是阴影的面积． 试题解析：根据分析计算得：阴影部分的面积为：． 考点：扇形的计算 16． 【分析】根据题意可知当圆O与正方形的边相切时，圆心O移动的路径最短，由此求解即可． 【详解】解：根据题意可知当圆O与正方形的边相切时，圆心O移动的路径最短， 如图所示，虚线部分即为圆心O的运动轨迹，即圆心O的运动路径长为圆O的周长+正方形周长， ∴圆O的运动周长， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于能够知晓圆O与正方形的边相切时，圆心O移动的路径最短． 17．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接OB，AC，交于点E，过点D，E作直线，即可； （2）延长AO交⊙O于点E，连接CE交⊙O于点F，连接AF，即可． 【详解】（1）如图1，即为所求． （2）如图2，即为所求． 【点睛】本题主要考查圆的切线和圆周角以及正切三角函数的定义，理解切线的定义和圆周角的定义，是解题的关键． 18．（1）详见解析；（2） 【分析】（1）利用切线的性质得OC⊥DE，再证明OC∥BE得到∠OCB＝∠CBE，加上∠OCB＝∠CBO，所以∠OBC＝∠CBE； （2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明△OAC等边三角形得到AC＝OA＝2，再利用勾股定理可计算出BC＝，然后在Rt△CBE中利用含30度的直角三角形三边的关系求CE的长． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴是等边三角形，. ∴， ∴ ∵，且， ∴. ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；常常“遇到切点连圆心得半径”． 19．见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得． 【详解】证明：连接． 在中，， ， ，、分别是半径和的中点， ， ， ， ． 20．(1)证明见详解 (2)3 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数的应用，等腰三角形的性质，圆心角与弧的关系，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得，结合即可得到，继而得证； （2）先由等腰三角形的性质得到，由圆周角定理得，在中运用锐角三角函数求出，最后在中，运用勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵在中，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，垂足记为点F ，， ∵，， ∴， ∴， 在中，由 得：， 解得：， ∴圆的半径长度为3． 21． 【分析】连接，由垂径定理可得，，设半径为，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB ∴ 设半径为，则 由勾股定理得：，即 解得 ⊙O的半径为 【点睛】此题考查了垂径定理以及勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 22．（1）80°；（2）60° 【分析】（1）连接，，根据切线的性质得到，根据圆周角与圆心角的性质得到，再利用四边形的内角和即可求解； （2）连接，，根据切线的性质得到，根据圆周角与圆心角的性质得到，由菱形的性质得到，得到，故，故可求解． 【详解】（1）连接，． ∵分别与相切于点A，B，，为的半径， ∴． ∴． ∵，∴． ∴． （2）连接． ∵分别与相切于点A，B，，为的半径， ∴． ∴． ∵四边形为菱形，∴． ∵，∴． ∴． 【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知切线的性质、圆周角定理及菱形的性质． 23．(1) (2)或； (3)的度数是定值， 【分析】（1）由菱形的性质可得，，，，由勾股定理进行列式即可求解； （2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求，，的长，通过证明，可得，即可求解； （3）先证点，点，点三点共线，由直角三角形的性质可得，可求，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，即可求解． 本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解： 四边形是菱形， ，，，， ，， ； （2）解：当时， 四边形是菱形， ，， ，， ，， ， ， ∴， ， ； 当时， ， ， ，， ， ∴， ， ； 综上所述：或； （3）解：的度数是定值，理由如下： 如图，取的中点，连接，，， 是的垂直平分线， ，， ， 又点是的中点， ， 点是的中点，， ， 点，点，点三点共线， 点是的中点，， ， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ． 24．(1) (2) 【分析】 （1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论； （2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可． 【详解】（1） 解： 为的直径， ， 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 解：连接， 设， 则，，，    为的直径， ， 在中，， 由（1）得，， ， ，， ， ， 解得或（不合题意舍去）， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2024～2025学年9上第3章 对圆的进一步认识（青岛版） 数学问卷 时间：120分钟 分值 ：120分 本试卷共3页。满分100分。考试用时60分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号。 2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 3. 非选择题必须用0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（　　） A．5 B．π C． D．π 2．（本题3分）如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数是（    ） A．80° B．100° C．110° D．120° 3．（本题3分）若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，是的直径， ，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的直径为10，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点P．BC＝6，则B到CP的距离为（    ） A． B．3 C． D． 7．（本题3分）如图，阴影部分是从一块直径为的圆形铁板中截出的一个工件示意图，其中是等边三角形，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（　　） A．10.5 B．7﹣3.5 C．11.5 D．7﹣3.5 9．（本题3分）如图，⊙O是边长为1的正方形ABCD的外接圆，P为弧AD上的不同于A、D的任意一点，则PA2+PB2+PC2+PD2的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 10．（本题3分）在平面直角坐标系中，的半径为1，A，B为外两点，．给出如下定义：平移线段，得到的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”． ①如图，平移线段到的长度为1的弦和，则； ②如图，平移后弦和间的距离为； ③若点A，B都在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值为； ④若点A的坐标为，记线段到的“平移距离”为，则的最小值为1． 上面结论正确的为（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）如图，在中，，经过点、点，且交边BC于点，点在上，则 度．    12．（本题3分）如图，已知圆的半径，以为边分别作正五边形和正六边形，则 ，图中阴影部分的面积为 结果保留． 13．（本题3分）已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ACBD一定是 形． 14．（本题3分）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D．若，则半圆O的半径为 ． 15．（本题3分）如图，扇形OAB和扇形OCD所在的圆是同心圆，其圆心为O，OA=2，∠COA=15°，∠AOB=60°，则阴影部分的面积为 ． 16．（本题3分）如图，正方形的边长为4，的半径为1，若在正方形外运动（可以与该正方形的边相切），则绕正方形运动一周回到起点时，圆心O移动路径长的最小值为 ． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）如图，矩形与⊙O交于点，点为⊙O上一点，，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出过点的切线； （2）在图2中作一个圆周角，使这个角的正切值为． 18．（本题6分）如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接. （1）求证：平分； （2）若，，求的长. 19．（本题8分）如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 20．（本题8分）如图，为的直径，弦、相交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求圆的半径长度． 21．（本题10分）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD＝6，AE＝1，求⊙O的半径． 22．（本题10分）已知分别与相切于点为上一点． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，若四边形为菱形，求的大小． 23．（本题12分）如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，，，点P为线段上的动点（不与点B，O重合），连接并延长交边于点G，交的延长线于点H． (1)求线段的长； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)如图2，作线段的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，在点P的运动过程中，的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 24．（本题12分）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点E．    (1)求的度数； (2)如图2，过点A作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，，求的长． 2 / 4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$