2.2.2 不等式的解集（4知识点+5题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第一册）

2.2.2不等式的解集 课程标准 学习目标 1、掌握不等式组的解集. 2、掌握用绝对值不等式的解法. 1、 绝对值不等式的本质与去绝对值符号的原则. 2、 借助数轴理解绝对值不等式，是数形结合. 3、 掌握不等式组和绝对值不等式的运算法则，选择相对应的运算方法。 知识点01不等式(组)的解集 一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． 注：(1)不难看出，求不等式的解集的过程，要不断地使用不等式的性质． (2)注意：不等式组的解集，是取每个不等式的解集的交集． (3)不等式的解与解集的区别与联系 ①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值，不等式的解集指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的解是不等式解集中的一个； ②不等式的解集必须满足两个条件：一是解集内的数都是不等式得解，而是解集外的数都不是不等式的解。 (4)不等式组中若有一个不等式的解集为，则不等式组的解集是；每一个不等式的解集均不是，不等式组的解集也可能是. 【即学即练1】（2024·福建厦门·高一厦门一中校考开学考试）解不等式组   请结合题意填空，完成本题的解答. （1）解不等式（1），得 . （2）解不等式（2），得 . （3）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解为 . 知识点02绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．例如，|x|>3，|x－1|≤2都是绝对值不等式． 注：①数轴上表示数a的点与原点的距离称为数a的绝对值，记作|a|. ②绝对值不等式|x|>m(m>0)的几何意义为数轴上与原点的距离大于m的点． （2）绝对值不等式的解集 ①当m>0时，关于x的不等式|x|>m的解为x>m或x<－m，因此解集为 (－∞，－m)∪(m，＋∞)； ②关于x的不等式|x|≤m的解为－m≤x≤m，因此解集为[－m，m]. 【即学即练2】（2024·甘肃天水·高一天水市第一中学校考开学考试）求下列绝对值不等式的解集： （1） （2）． 【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）解下列不等式： （1）； （2）. 知识点03数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式 一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式． 如果线段AB的中点M对应的数为x，则由AM＝MB可知|a－x|＝|x－b|，因此：当a<b时，有a<x<b，从而x－a＝b－x，所以x＝. 当a≥b时，类似可得上式仍成立．这就是数轴上的中点坐标公式． 【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）已知数轴上，两点的坐标分别为，，则为（    ）. A．0 B． C． D． 知识点04绝对值不等式解集的几何意义 不等式 解集的几何意义 数轴上与原点的距离小于的所有数的集合 数轴上与原点的距离大于的所有数的集合 数轴上与表示的点的距离小于的所有数的集合 数轴上与表示的点的距离大于的所有数的集合 【即学即练5】（2024·全国·高一专题练习）已知数轴上，． （1）若A与C关于点B对称，求x的值； （2）若线段的中点到C的距离小于5，求x的取值范围． 难点：求含参一元一次不等式（组）的解集 示例：已知关于x不等式≥1－(a为常数)，当a＝4时，已知的不等式的解集与不等式bx≤4的解集相同，求b的值． 【题型1：一元一次不等式(组)的解法】 （一）求一元一次不等式(组）的解集 例1．（2024·上海·高一专题练习）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 变式1.（2024·全国·高一随堂练习）求下列不等式的解集： （1）3x>2x-6； （2） 变式2．（2024·高一课时练习）解不等式组. 变式3．（2024·高一课时练习）解不等式组 变式4．（2024·上海·高一专题练习）不等式组的解集为 . 变式5.（2024·高一课时练习）设不等式组的解集为，则下列集合中包含于的是（ ） A． B． C． D． 变式6.（2024·甘肃天水·高一天水市第一中学校考开学考试）在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 （二）求含参一元一次不等式（组）的解集 例2.（2024·高一课时练习）关于x的不等式的解集，下列说法不正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 变式1．（2024·上海奉贤·高一校考阶段练习）设，解关于的不等式，下列说法正确的是（      ） A．该不等式的解集为； B．该不等式的解集为； C．该不等式的解集可能为； D．该不等式的解集不可能为. 变式2.（2024·全国·高一专题练习）不等式组有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 变式3.（2024·全国·高一专题练习）设m为实数，解关于x的不等式. 变式4.（2024·浙江绍兴·高一校考开学考试）若，则关于的不等式组，整数解的个数是 【方法技巧与总结】 1.解一元一次不等式（组）的基本步骤 (1)解一元一次不等式与一元一次方程的步骤类似：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1.应特别注意在步骤①⑤中，应用性质3时不等号的方向是否改变． (2)解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中每个不等式的解集，并在同一数轴上表示出来，确定它们的交集，最后写出不等式组的解集． 2.求解含参不等式的问题，一定要讨论x的系数的取值范围 【题型2：含有一个绝对值号不等式的解法】 例3．（2023春·陕西渭南·高二校考阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 变式1．（2024·高一课时练习）求下列绝对值不等式的解集： （1） （2）． 变式2．（2023春·江西鹰潭·高二贵溪市实验中学校考期末）已知命题，命题，则A是B的什么条件（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 变式3．（2024·全国·高一专题练习）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C．且 D．或 变式4.（2024·广西钦州·高一校考开学考试）不等式的解为 . 变式5．（2024·高一课时练习）对于任意实数x，不等式|x＋7|≥m＋2恒成立，则实数m的取值范围是 ． 变式6．（2024·湖南常德·高一常德市鼎城区第一中学校考阶段练习）若不等式成立的充分非必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7．（2024·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）不等式的解集为 ． 【方法技巧与总结】 绝对值不等式的常见类型及其解法 (1)如果c>0，那么|x|<c⇔－c<x<c，|x|>c⇔x<－c或x>c. 注：含绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解法 ①|x|<a⇔ (2)|x|>a⇔ (2)如果c>0，那么|ax＋b|<c⇔－c<ax＋b<c，|ax＋b|>c⇔ax＋b<－c或ax＋b>c. (3)形如n<|ax＋b|<m(m>n>0)的不等式等价于⇔n<ax＋b<m或－m<ax＋b<－n. (4)求解|f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|型不等式的方法为平方法 (5)求形如|f(x)|<a(a>0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可运用等价转化法化成等价的不等式(组)求解． (6)求形如|f(x)|<g(x)和|f(x)|>g(x)型不等式的解法 ①等价转化法： |f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)， |f(x)|>g(x)⇔f(x)<－g(x)或f(x)>g(x)． (这里g(x)可正也可负) ②分类讨论法： |f(x)|<g(x)⇔或 |f(x)|>g(x)⇔或　　 【题型3：含有两个绝对值号的不等式的解法】 例4．（2024·高一课时练习）请写出一个满足不等式的值： . 变式1．（2024·高一课时练习）求下列不等式的解集： （1） （2） （3） （4）． 变式2．（2024·全国·高三专题练习）解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 变式3．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考开学考试）不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 变式4．（2024·上海松江·校考模拟预测）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件． 变式5．（2023春·河南郑州·高二郑州一中校考期中）已知函数． (1)当时，求不等式的解集． (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【方法技巧与总结】 (4)对于形如|x－a|＋|x－b|>c和|x－a|＋|x－b|<c的不等式，一般以x＝a，x＝b为分界点，将数轴分为几个部分，利用零点分段讨论法或者绝对值的几何意义求解．零点分段讨论法适用于解含有多个绝对值的不等式．　　 【题型4：根据不等式的解集求参数】 例5.（2024·全国·高一专题练习）若1是关于的不等式的解，则实数的取值范围是 . 变式1．（2024·高一单元测试）不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2024·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知不等式组解为，则的值为 . 变式3．（2024·高一课时练习）如果不等式组的解集是，那么的值为 . 变式4．（2024·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式组的解集是(5，22)，则a＝ ，b＝ . 变式5.（2024·高一课时练习）已知关于x的不等式的解集为，则 ． 变式6.（2024·上海·高一专题练习）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是 . 【题型5：数轴上两点间的距离及中点坐标公式】 例6．（2024·全国·高二专题练习）已知数轴上，，求线段的长以及线段的中点M的坐标． 变式1．（2024·全国·高一专题练习）已知数轴上不同的两点，，则在数轴上满足条件的点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 变式2．（2024·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）在数轴上，已知，，原点为，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2024·全国·高一专题练习）设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围． 变式4．（2024·全国·高一专题练习）已知数轴上三点，，. （1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数的值； （2）若中点到线段中点的距离大于1，求实数的取值范围. 【方法技巧与总结】 数轴上基本公式的应用 (1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标； (2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标． 一、单选题 1．（2024高一上·辽宁抚顺·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）足球赛期间，某球迷俱乐部一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少 3 辆车.若全部安排乘A队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车未坐满.则A队有出租车（    ） A．11辆 B．10辆 C．9辆 D．8辆 3．（2024高一上·重庆·期中）不等式组的解集为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2024高一·全国·课后作业）已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的最小值为（    ） A．1 B．2 C．2.1 D．3 5．（2024高一上·上海普陀·期中）不等式＜的解集是（　　） A．(－7，+∞) B．(－∞，7) C．(－7，3)∪(3，+∞) D．(－∞，3)∪(3，7) 6．（2024高一·全国·专题练习）已知命题，命题，则A是B的什么条件（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 7．（2024高一上·湖南长沙·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）不等式的最小整数解为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一·全国·课后作业）已知时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高三上·河南信阳·阶段练习）已知不等式成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024高一·安徽宣城·强基计划）直线经过，两点，则不等式的解集为 12．（2024高一上·全国·课前预习）数轴上的中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），如果线段AB的中点M对应的数为x，则x= . 13．（2024高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 14．（2024高一上·上海宝山·期中）若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 . 15．（2024高一上·浙江绍兴·开学考试）若，则关于的不等式组，整数解的个数是 16．（2024高一上·上海·期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 . 17．（2024高一上·上海黄浦·期中）若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是 ． 三、解答题 18．（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式，其中． 19．（2024高二下·河南郑州·期中）已知函数． (1)当时，求不等式的解集． (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 20．（2024·陕西榆林·模拟预测）已加． (1)解不等式； (2)令，若的图象与轴所围成的图形的面积为，求实数的值． 21．（2024高一·全国·课后作业）如果关于的不等式组的解集，且关于的分式方程有非负数解，则所有符合条件的整数的值之和是 A． B．0 C．3 D．5 22．（2024高一·全国·课后作业）为了抓住某艺术节的商机，某商店决定购进A，B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元，购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元． （1）求购进A，B两种纪念品每件分别需要多少钱； （2）若该商店决定购进A，B两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，则该商店共有几种进货方案？ （3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案可获利润最大？最大利润是多少元？ 23．（2024高一·全国·课后作业）对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝ (其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝＝b.已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1. （1）求a，b的值； （2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2不等式的解集 课程标准 学习目标 1、掌握不等式组的解集. 2、掌握用绝对值不等式的解法. 1、 绝对值不等式的本质与去绝对值符号的原则. 2、 借助数轴理解绝对值不等式，是数形结合. 3、 掌握不等式组和绝对值不等式的运算法则，选择相对应的运算方法。 知识点01不等式(组)的解集 一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． 注：(1)不难看出，求不等式的解集的过程，要不断地使用不等式的性质． (2)注意：不等式组的解集，是取每个不等式的解集的交集． (3)不等式的解与解集的区别与联系 ①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值，不等式的解集指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的解是不等式解集中的一个； ②不等式的解集必须满足两个条件：一是解集内的数都是不等式得解，而是解集外的数都不是不等式的解。 (4)不等式组中若有一个不等式的解集为，则不等式组的解集是；每一个不等式的解集均不是，不等式组的解集也可能是. 【即学即练1】（2024·福建厦门·高一厦门一中校考开学考试）解不等式组   请结合题意填空，完成本题的解答. （1）解不等式（1），得 . （2）解不等式（2），得 . （3）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解为 . 【答案】 （3）图见解析 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可. 【详解】   （1）解不等式（1），得； （2）解不等式（2），得； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为： （4）原不等式组的解为. 故答案为：（1）；（2）；（4） 【点睛】本题考查数轴表示不等式组的解集问题，属于基础题. 知识点02绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．例如，|x|>3，|x－1|≤2都是绝对值不等式． 注：①数轴上表示数a的点与原点的距离称为数a的绝对值，记作|a|. ②绝对值不等式|x|>m(m>0)的几何意义为数轴上与原点的距离大于m的点． （2）绝对值不等式的解集 ①当m>0时，关于x的不等式|x|>m的解为x>m或x<－m，因此解集为 (－∞，－m)∪(m，＋∞)； ②关于x的不等式|x|≤m的解为－m≤x≤m，因此解集为[－m，m]. 【即学即练2】（2024·甘肃天水·高一天水市第一中学校考开学考试）求下列绝对值不等式的解集： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据绝对值的几何意义解答； （2）根据绝对值的几何意义解答； 【详解】解：（1） ， 或 解得或， 所以原不等式的解集为． （2）由原不等式可得，即，解得， 所以原不等式的解集为． 【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）解下列不等式： （1）； （2）. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）针对和进行分类讨论求解； （2）采用零点分段法分类讨论，去绝对值然后求解； 【详解】（1）原不等式可化为或， 解得或. 综上，原不等式的解集是或. （2）当时，原不等式可以化为，解得. 当时，原不等式可以化为，即，不成立，无解． 当时，原不等式可以化为，解得. 综上，原不等式的解集为. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查学生利用零点分段法解含两个绝对值的不等式的能力，较容易，分类讨论思想的运用是关键. 知识点03数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式 一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式． 如果线段AB的中点M对应的数为x，则由AM＝MB可知|a－x|＝|x－b|，因此：当a<b时，有a<x<b，从而x－a＝b－x，所以x＝. 当a≥b时，类似可得上式仍成立．这就是数轴上的中点坐标公式． 【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）已知数轴上，两点的坐标分别为，，则为（    ）. A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上两点、的距离公式即可得． 【详解】. 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，属于基础题． 知识点04绝对值不等式解集的几何意义 不等式 解集的几何意义 数轴上与原点的距离小于的所有数的集合 数轴上与原点的距离大于的所有数的集合 数轴上与表示的点的距离小于的所有数的集合 数轴上与表示的点的距离大于的所有数的集合 【即学即练5】（2024·全国·高一专题练习）已知数轴上，． （1）若A与C关于点B对称，求x的值； （2）若线段的中点到C的距离小于5，求x的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）依题意，B为的中点，根据中点公式解答. （2）首先表示出的中点，再根据数轴上两点的距离公式得到不等式，解得. 【详解】解：（1）∵A与C关于点B对称，∴B为的中点，∴． （2）∵的中点对应的数为， ∴由题意得，即， 解得， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，属于基础题. 难点：求含参一元一次不等式（组）的解集 示例：已知关于x不等式≥1－(a为常数)，当a＝4时，已知的不等式的解集与不等式bx≤4的解集相同，求b的值． 【解析】当a＝4时，不等式为≥1－，去分母，得3(2x＋4)≥6－2(1－x)，去括号，得6x＋12≥6－2＋2x，移项合并，得4x≥－8，系数化为1，得解集为{x|x≥－2}， ∵已知的不等式的解集与不等式bx≤4的解集相同， ∴b<0，＝－2，∴b＝－2. 方法小结：(1)解一元一次不等式与一元一次方程的步骤类似：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1.应特别注意在步骤①⑤中，应用性质3时不等号的方向是否改变． (2)解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中每个不等式的解集，并在同一数轴上表示出来，确定它们的交集，最后写出不等式组的解集． 【题型1：一元一次不等式(组)的解法】 （一）求一元一次不等式(组）的解集 例1．（2024·上海·高一专题练习）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别解2个一元一次不等式，再求交集即可. 【详解】解不等式2x－1≥5，得x≥3，解不等式8－4x＜0，得x＞2， , 故不等式组的解集为[3，＋∞). 在数轴上表示为 故选：C. 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，最后应该求各个不等式的交集才是最后的答案. 变式1.（2024·全国·高一随堂练习）求下列不等式的解集： （1）3x>2x-6； （2） 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由，可得，所以解集为； （2）由可得，解得，所以解集为 变式2．（2024·高一课时练习）解不等式组. 【答案】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可求解. 【详解】由（1）可得，解得：； 由（2）可得，也即，解得：， 所以原不等式组的解集为. 变式3．（2024·高一课时练习）解不等式组 【答案】 【分析】分别解两个不等式再求交集即可 【详解】解不等式①得，解不等式②得， 不等式组的解集为. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查计算能力，是基础题 变式4．（2024·上海·高一专题练习）不等式组的解集为 . 【答案】 【分析】分别求得两个不等式的解，然后取它们的交集，由此求得不等式组的解集. 【详解】记原不等式组为 解不等式①，得x≤1. 解不等式②，得x≥－4. 故原不等式组的解集为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题. 变式5.（2024·高一课时练习）设不等式组的解集为，则下列集合中包含于的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为不等式，解得，解得， 综上可得，所以原不等式组的解得， 所以，真包含于，真包含于故选：D 变式6.（2024·甘肃天水·高一天水市第一中学校考开学考试）在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】解不等式2x＋1＞0，得x＞－. 解不等式x－5≤0，得x≤5， 所以不等式组的解集为， 整数解为0，1，2，3，4，5，共6个．故选：C． （二）求含参一元一次不等式（组）的解集 例2.（2024·高一课时练习）关于x的不等式的解集，下列说法不正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】A 【分析】对a的取值进行分类讨论，然后解不等式. 【详解】若，不等式的左边=0，，B正确； 若，则，D正确； 若，则，C正确； 故选：A. 变式1．（2024·上海奉贤·高一校考阶段练习）设，解关于的不等式，下列说法正确的是（      ） A．该不等式的解集为； B．该不等式的解集为； C．该不等式的解集可能为； D．该不等式的解集不可能为. 【答案】C 【分析】对分四种情况讨论得解. 【详解】解：当时，，该不等式的解集为； 当时，，该不等式的解集为； 当，时，该不等式的解集为； 当，时，该不等式的解集为. 故选：C 变式2.（2024·全国·高一专题练习）不等式组有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据给定条件化简不等式组，再列式即可求解作答. 【详解】依题意，，而不等式组有解，则不等式成立，因此，，即，解得， 所以实数a的取值范围是：. 故选：A 变式3.（2024·全国·高一专题练习）设m为实数，解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据含参数的一元一次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，不等式，可化为， 当时，即时，不等式为不成立，所以解集为空集； 当时，即时，可得，即解集为； 当时，即时，可得，即解集为， 综上可得，当时，不等式的解集为空集； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 变式4.（2024·浙江绍兴·高一校考开学考试）若，则关于的不等式组，整数解的个数是 【答案】 【解析】因为，由不等式组可得，， 而，则整数解有， 所以不等式组的整数解有个.故答案为: 【方法技巧与总结】 1.解一元一次不等式（组）的基本步骤 (1)解一元一次不等式与一元一次方程的步骤类似：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1.应特别注意在步骤①⑤中，应用性质3时不等号的方向是否改变． (2)解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中每个不等式的解集，并在同一数轴上表示出来，确定它们的交集，最后写出不等式组的解集． 2.求解含参不等式的问题，一定要讨论x的系数的取值范围 【题型2：含有一个绝对值号不等式的解法】 例3．（2023春·陕西渭南·高二校考阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由绝对值不等式的解法解原不等式即可得解. 【详解】由可得，解得， 故原不等式的解集为. 故选：A. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解，属于基础题. 变式1．（2024·高一课时练习）求下列绝对值不等式的解集： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据绝对值的几何意义解答； （2）根据绝对值的几何意义解答； 【详解】解：（1） 又根据绝对值的几何意义知 故原不等式无解，解集为 （2） 又根据绝对值的几何意义知 故原不等式的解集为： 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 变式2．（2023春·江西鹰潭·高二贵溪市实验中学校考期末）已知命题，命题，则A是B的什么条件（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，求出集合，由充分条件、必要条件的定义即可得出答案. 【详解】由得，则，所以集合， 集合， 显然是的子集，所以A是B必要不充分条件. 故选：B. 变式3．（2024·全国·高一专题练习）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】D 【分析】根据绝对值不等式的解法，对分类讨论求解即可. 【详解】解：当时，即时，有，解得； 当时，即时，有，解得； 综上不等式的解集为或. 故选：D. 【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，通常采用分段讨论法，去掉绝对值求解. 变式4.（2024·广西钦州·高一校考开学考试）不等式的解为 . 【答案】或 【解析】由，得到或，即或， 所以解集为或， 故答案为：或. 变式5．（2024·高一课时练习）对于任意实数x，不等式|x＋7|≥m＋2恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出的最小值，然后解不等式可得参数范围． 【详解】令y＝|x＋7|，要使任意x∈R，|x＋7|≥m＋2恒成立，只需m＋2≤ymin， 因为ymin＝0，所以m＋2≤0， 所以m≤－2，所以m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查含绝对值不等式恒成立问题，解题关键是问题转化，转化为求函数最小值，然后易得参数范围． 变式6．（2024·湖南常德·高一常德市鼎城区第一中学校考阶段练习）若不等式成立的充分非必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得不等式的解集，根据充分非必要条件列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】不等式， 由于不等式成立的充分非必要条件是， 所以， 所以的取值范围是. 故选：A 变式7．（2024·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】原不等式等价于，分类讨论解即可. 【详解】原不等式等价于，对于， 当时，，则此时不等式无解. 当时，. 则原不等式解集为：. 故答案为： 【方法技巧与总结】 绝对值不等式的常见类型及其解法 (1)如果c>0，那么|x|<c⇔－c<x<c，|x|>c⇔x<－c或x>c. 注：含绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解法 ①|x|<a⇔ (2)|x|>a⇔ (2)如果c>0，那么|ax＋b|<c⇔－c<ax＋b<c，|ax＋b|>c⇔ax＋b<－c或ax＋b>c. (3)形如n<|ax＋b|<m(m>n>0)的不等式等价于⇔n<ax＋b<m或－m<ax＋b<－n. (4)求解|f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|型不等式的方法为平方法 (5)求形如|f(x)|<a(a>0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可运用等价转化法化成等价的不等式(组)求解． (6)求形如|f(x)|<g(x)和|f(x)|>g(x)型不等式的解法 ①等价转化法： |f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)， |f(x)|>g(x)⇔f(x)<－g(x)或f(x)>g(x)． (这里g(x)可正也可负) ②分类讨论法： |f(x)|<g(x)⇔或 |f(x)|>g(x)⇔或　　 【题型3：含有两个绝对值号的不等式的解法】 例4．（2024·高一课时练习）请写出一个满足不等式的值： . 【答案】1（答案不唯一） 【分析】取即可得出答案. 【详解】当时，满足题意 故答案为：1（答案不唯一） 变式1．（2024·高一课时练习）求下列不等式的解集： （1） （2） （3） （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）采用零点分区间法，分类讨论解答. （2）采用零点分区间法，分类讨论解答. （3）采用零点分区间法，分类讨论解答. （4）采用零点分区间法，分类讨论解答. 【详解】解：（1） 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得． 综上，原不等式的解集为． （2） 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式化为，即解得； 当时，原不等式化为，解得． 综上，可得原不等式的解集为． （3） 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得． 综上，可得原不等式的解集为． （4） 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得． 综上，原不等式的解集为． 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，采用零点分区间法或绝对值的几何意义是两种有效的方法，属于基础题. 变式2．（2024·全国·高三专题练习）解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）由零点分段解绝对值不等式即可 （2）由平方法解不等式即可 （3）由绝对值的几何意义解绝对值不等式即可 【详解】（1）， 或解得或， 不等式的解集为. （2）原不等式可化为， ，即， 解得或，原不等式的解集为. （3）由绝对值的几何意义知表示数轴上数对应的点与数、对应的点的距离之和大于， 数与数对应的点的距离为， 原不等式的解集为. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，熟练掌握零点分段，绝对值几何意义及平方转二次求解是常见方法，是基础题 变式3．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考开学考试）不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】首先对的范围进行讨论，去掉绝对值符号，转化三个不等式组，求得结果. 【详解】原不等式可化为或或， 解得0≤x≤3， 所以最小整数解是0， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论去绝对值符号解绝对值不等式，属于简单题目. 变式4．（2024·上海松江·校考模拟预测）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件． 【答案】B 【分析】解出不等式的解集，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】解，当时，即，则，此时解集为， 当时，即，则，此时解集为， 当时，即，则，此时解集为， 故“”成立时，等价于； 当“”成立时，等价于， 故成立时，不一定推出成立，反之成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 变式5．（2023春·河南郑州·高二郑州一中校考期中）已知函数． (1)当时，求不等式的解集． (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分，和解不等式即可； （2）根据去部分绝对值得，转化为在恒成立，分别求出左边最大值和右边最小值即可得到答案. 【详解】（1）当时,, 当时,，即为，解得； 当时，，即为，解得； 当时，，即为，无解. 综上可得，的解集为. （2）若在上恒成立, 可得在上恒成立, 化为,即， 可得，即在恒成立, 则，，则， ，，则， 则的范围是. 【方法技巧与总结】 (4)对于形如|x－a|＋|x－b|>c和|x－a|＋|x－b|<c的不等式，一般以x＝a，x＝b为分界点，将数轴分为几个部分，利用零点分段讨论法或者绝对值的几何意义求解．零点分段讨论法适用于解含有多个绝对值的不等式．　　 【题型4：根据不等式的解集求参数】 例5.（2024·全国·高一专题练习）若1是关于的不等式的解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为1是关于的不等式的解， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 变式1．（2024·高一单元测试）不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简不等式组得到，结合不等式的解集，得出不等式，求解即可得到m的取值范围. 【详解】,可化为 因为不等式组的解集是 所以，解得： 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，属于基础题. 变式2．（2024·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知不等式组解为，则的值为 . 【答案】1 【分析】根据已知求出的值即得解. 【详解】解：，解不等式①得，解不等式②得， ∴原不等式组的解为，∵该不等式组的解为-2<x<3， 所以且， ∴ a=3，b=4，∴. 故答案为：1 变式3．（2024·高一课时练习）如果不等式组的解集是，那么的值为 . 【答案】1 【分析】先用含有a、b的代数式把每个不等式的解集表示出来，然后根据已知的解集，进行比对，得到两个方程，解方程求出a、b，即可求解 【详解】解:不等式组的解集为， 它的解集是，， 解得，， . 故答案为1 【点睛】本题既考查不等式的解法，又考查学生如何逆用不等式组的解集构造关于a、b的方程，从而求得a、b． 变式4．（2024·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式组的解集是(5，22)，则a＝ ，b＝ . 【答案】 3 5 【分析】根据一元一次不等式的解集列方程组，解方程组求得的值. 【详解】记原不等式组为 ， 解不等式①，得. 解不等式②，得. 因为原不等式组的解集为(5，22)， 所以， 解这个关于a，b的二元一次方程组，得. 故答案为：3；5 【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题. 变式5.（2024·高一课时练习）已知关于x的不等式的解集为，则 ． 【答案】 【解析】当时，的解为，与题设矛盾； 当时，的解为，与题设矛盾； 当时， 若时，即为，此时不等式的解为一切实数，与题设矛盾； 若时，即为，此时不等式的解集为空集，符合题设； 故答案为： 变式6.（2024·上海·高一专题练习）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】关于x的一元一次不等式组的解集为，则， 故0一定为不等式组的一个整数解， 若不等式的4个整数解为0，1，2，3时， 则，解得； 当不等式的4个整数解为时， 则，不等式组无解， 综上所述，a的取值范围是. 【题型5：数轴上两点间的距离及中点坐标公式】 例6．（2024·全国·高二专题练习）已知数轴上，，求线段的长以及线段的中点M的坐标． 【答案】， 【解析】根据数轴上任意两点的距离公式，及中点公式解答. 【详解】解：， ，的中点的坐标为，即． 【点睛】本题考查数轴上任意两点的距离和中点公式，属于基础题. 变式1．（2024·全国·高一专题练习）已知数轴上不同的两点，，则在数轴上满足条件的点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，则设点的坐标为，再根据列出等式化简即可解决． 【详解】设点的坐标为.，，即，因为不同的两点，，故，解得 故选：C. 变式2．（2024·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）在数轴上，已知，，原点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由与互为相反数，即可得到答案； 【详解】与互为相反数， ， 故选：D 变式3．（2024·全国·高一专题练习）设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围． 【答案】 【解析】依题意得到的中点对应的数为，即，根据绝对值的几何意义解答. 【详解】解：因为的中点对应的数为， 所以由题意可知， 即， 因此，所以，因此的取值范围是 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 变式4．（2024·全国·高一专题练习）已知数轴上三点，，. （1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数的值； （2）若中点到线段中点的距离大于1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）讨论P,Q,R分别为中点；利用中点坐标公式求解即可 （2）利用距离公式求解即可 【详解】（1）若是线段的中点，则，； 若是线段的中点，则； 若是线段的中点，则，. （2）由题意，知，即， 或，解得或， 实数的取值范围是. 【点睛】本题考查数轴的点坐标，考查中点坐标及距离公式，考查绝对值不等式解法，是基础题 【方法技巧与总结】 数轴上基本公式的应用 (1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标； (2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标． 一、单选题 1．（2024高一上·辽宁抚顺·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元一次不等式求得不等式的解集. 【详解】由得， 所以不等式的解集为. 故选：C 2．（2024高一·全国·专题练习）足球赛期间，某球迷俱乐部一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少 3 辆车.若全部安排乘A队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车未坐满.则A队有出租车（    ） A．11辆 B．10辆 C．9辆 D．8辆 【答案】B 【分析】设A队有x辆车，由题设有求的解集，即可确定A队有出租车数量. 【详解】设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆， 由题意得：，解得， ∴，而x为正整数，故x＝10. 故选：B. 3．（2024高一上·重庆·期中）不等式组的解集为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简不等式组，然后根据不等式组的解集可求得结果. 【详解】由，得， 因为不等式组的解集为， 所以，即的取值范围是， 故选：C 4．（2024高一·全国·课后作业）已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的最小值为（    ） A．1 B．2 C．2.1 D．3 【答案】B 【解析】先求得不等式组解集，然后根据整数解共有4个求解. 【详解】由有解，得 解得，即不等式组的解集是. 因为不等式有4个整数解，则整数解是. 则a的范围是2≤a<3. 所以a的最小值是2. 故答案是：B 【点睛】本题主要考查不等式组的解，属于基础题. 5．（2024高一上·上海普陀·期中）不等式＜的解集是（　　） A．(－7，+∞) B．(－∞，7) C．(－7，3)∪(3，+∞) D．(－∞，3)∪(3，7) 【答案】C 【分析】由题可得，解之即得. 【详解】原不等式可化为， 解得且. 故选：C. 6．（2024高一·全国·专题练习）已知命题，命题，则A是B的什么条件（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，求出集合，由充分条件、必要条件的定义即可得出答案. 【详解】由得，则，所以集合， 集合， 显然是的子集，所以A是B必要不充分条件. 故选：B. 7．（2024高一上·湖南长沙·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，根据解的范围大小得到答案. 【详解】，则；，则， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）不等式的最小整数解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段去绝对值符号求出的取值范围即可得解. 【详解】原不等式可化为或或， 解得，所以所求最小整数解是. 故选：C 9．（2024高一·全国·课后作业）已知时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解出不等式可得集合A，由，计算可得范围. 【详解】设的解集为A， 因为时，恒成立，所以， 由得，即， 当，解得，即，可得； 当，解得，即，不合题意； 当，解集为，不合题意； 综上所述：实数a的取值范围是. 故选：C. 10．（2024高三上·河南信阳·阶段练习）已知不等式成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得不等式解集，结合题意，得到关于的不等式，从而得解． 【详解】因为等价于，即， 当，不等式为，显然不成立； 当时，不等式解得， 当时，不等式解得， 所以等价于或； 因为不等式成立的一个必要不充分条件是， 所以或是的真子集， 则或，解得或， 即实数m的取值范围是. 故选：C． 二、填空题 11．（2024高一·安徽宣城·强基计划）直线经过，两点，则不等式的解集为 【答案】 【分析】将，两点坐标代入直线解析式求出和，从而得到直线解析式，将拆分为两个不等式，解不等式组，将结果综合起来即可. 【详解】将，两点坐标代入可得， 解得，所以直线解析式为， 所以不等式即， 可化为，解得. 故答案为： 12．（2024高一上·全国·课前预习）数轴上的中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），如果线段AB的中点M对应的数为x，则x= . 【答案】 【分析】根据中点，可得线段相等即可求解. 【详解】由于,所以,进而可得或，解得或（舍去） 故， 故答案为： 13．（2024高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 【答案】0 【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可. 【详解】由可得：要使不等式组的解集非空， 须使即：故满足条件的最大整数0. 故答案为：0. 14．（2024高一上·上海宝山·期中）若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据给定的解集，求出a，b的关系，再代入求解不等式作答. 【详解】因关于的不等式解集为，则1是方程的根，且， 因此，且，不等式化为：，而，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为： 15．（2024高一上·浙江绍兴·开学考试）若，则关于的不等式组，整数解的个数是 【答案】 【分析】根据题意，将不等式组化简，即可得到结果. 【详解】因为，由不等式组可得，，而， 则整数解有，所以不等式组的整数解有个. 故答案为: 16．（2024高一上·上海·期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求解含绝对值的不等式，再结合恰有3个整数解可得不等式组，解不等式组可得答案. 【详解】因为，所以，即， 由于不等式恰有3个整数解，则这三个整数解分别是2，3，4， 所以，解得， 故答案为：. 17．（2024高一上·上海黄浦·期中）若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解不等式得到，，则或，得到，解得答案. 【详解】， 当时，，解得，故； 当时，，不成立； 当时，，解得，故； 综上所述：， ，则或， 由题意可得：，解得，即. 故答案为：. 三、解答题 18．（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式，其中． 【答案】答案见解析 【分析】对一次项系数进行分类讨论，分三类求对应解集. 【详解】原不等式整理为． 当时，解得，解集为， 当时，解得，解集为， 当时，则，为任意实数，解集为． 19．（2024高二下·河南郑州·期中）已知函数． (1)当时，求不等式的解集． (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分，和解不等式即可； （2）根据去部分绝对值得，转化为在恒成立，分别求出左边最大值和右边最小值即可得到答案. 【详解】（1）当时,, 当时,，即为，解得； 当时，，即为，解得； 当时，，即为，无解. 综上可得，的解集为. （2）若在上恒成立, 可得在上恒成立, 化为,即， 可得，即在恒成立, 则，，则， ，，则， 则的范围是. 20．（2024·陕西榆林·模拟预测）已加． (1)解不等式； (2)令，若的图象与轴所围成的图形的面积为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去绝对值，结合一元一次不等式即可求解；（2）结合图像平移即可求解. 【详解】（1）， 当时，，解得，无解； 当时，，解得，所以； 当时，，解得，所以． 综上所述，不等式的解集为． （2）画出的图象，由（1）知，阴影部分的面积为， 所以的图象向下平移至阴影部分的上沿与轴重合时，图形与轴所围成图形的面积恰为阴影部分的面积，即为， 此时函数的图象向下平移的距离为3，故．    21．（2024高一·全国·课后作业）如果关于的不等式组的解集，且关于的分式方程有非负数解，则所有符合条件的整数的值之和是 A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【分析】不等式组变形后，根据解集确定出m的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负数解，确定出满足条件m的值，进而求出之和． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， ，解得. 解分式方程得， 分式方程有非负数解， 且，解得且， .且， 则所有符合条件的整数的值之和是. 故选A. 【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键． 22．（2024高一·全国·课后作业）为了抓住某艺术节的商机，某商店决定购进A，B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元，购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元． （1）求购进A，B两种纪念品每件分别需要多少钱； （2）若该商店决定购进A，B两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，则该商店共有几种进货方案？ （3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案可获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）100元、50元；（2）答案见解析；（3）方案一可获利润最大，最大利润为2500元. 【分析】（1）设购进A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，列方程组求解； （2）设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品(100－x)件，根据资金列一元一次不等式组求解； （3）根据（2）求出各方案的利润，比较可得． 【详解】（1）设购进A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元． 根据题意，得解得 所以购进A，B两种纪念品每件分别需要100元、50元． （2）设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品(100－x)件．根据题意，得 7 500≤100x＋50(100－x)≤7 650， 解得50≤x≤53. 因为x是正整数， 所以x可以取50，51，52，53. 所以共有四种进货方案， 方案一：购进A种纪念品50件，B种纪念品50件； 方案二：购进A种纪念品51件，B种纪念品49件； 方案三：购进A种纪念品52件，B种纪念品48件； 方案四：购进A种纪念品53件，B种纪念品47件． （3）方案一获利：50×20＋50×30＝2 500(元)； 方案二获利：51×20＋49×30＝2 490(元)； 方案三获利：52×20＋48×30＝2 480(元)； 方案四获利：53×20＋47×30＝2 470(元)； 所以方案一可获利润最大，最大利润为2 500元． 【点睛】本题考查用方程组和不等式解应用题，解题关键是设出未知数，根据已知条件列出方程组或不等式求解． 23．（2024高一·全国·课后作业）对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝ (其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝＝b.已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1. （1）求a，b的值； （2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围． 【答案】（1）；（2）－2≤p＜－. 【分析】（1）根据新定义运算列方程组可解得； （2）利用新定义运算把新不等式组转化为一元一次不等式组，然后解之，再利用不等式组的解恰好有3个整数可得的不等关系，从而得出结论． 【详解】（1）由T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1，得 即 解得 （2）由（1），得T(x，y)＝，则不等式组可化为 解得－≤m＜. 因为不等式组恰好有3个整数解，所以2＜≤3，解得－2≤p＜－. 【点睛】本题考查新定义运算，解题关键是正确理解新定义，利用新定义把问题转化为我们熟知的一元一次不等式组求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$