8.3列联表与独立性检验导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高 二 年级 校本练习 学生姓名： 班级：高 （ ）班 科目：高二数学 编制：高二数学备课组 印数： 660 张 2022年 4月 1日送印 8.3　列联表与独立性检验 知识点1　分类变量与列联表 (1)分类变量：特殊的随机变量以区别不同的现象或性质，分类变量的取值可以用实数表示． (2)2×2列联表：列出的两个分类变量的 ，称为列联表． 假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{0，1}，其样本频数列联表为： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 最后一行的前两个数分别是事件{Y＝0}和{Y＝1}的频数； 最后一列的前两个数分别是事件{X＝0}和{X＝1}的频数； 右下角格中的数n为样本容量． 知识点2　等高条形图 (1)等高条形图与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否 ，常用等高条形图展示列联表数据的 特征． (2)观察等高条形图发现和相差很大，就判断两个分类变量之间有关系． 知识点3　独立性检验 (1)零假设 H0：P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)是否成立，通常称H0为零假设或原假设．也可改述为H0：分类变量X和Y独立．χ2＝． (2)临界值：对任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使P(χ2≥xα)＝α.称xα为α的临界值．临界值可作为判断χ2大小的标准．概率值α越小，临界值xα越大． (3)小概率值α的检验规则：当χ2≥xα时，推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α. 当χ2<xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在独立性检验中，若χ2越大，则两个分类变量有关系的可能性越大． (　　) (2)2×2列联表是借助两个分类变量之间频率大小差异说明两个变量之间是否有关联关系.(　　) (3)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的．(　　) 合作探究·释疑难 类型1　用2×2列联表分析两变量间的关系 【例1】　在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关系． [跟进训练]1．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{0，1}，其2×2列联表为 X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 10 18 28 X＝1 m 26 m＋26 合计 10＋m 44 54＋m 当m取下面何值时，X与Y的关系最弱(　　) A．8 B．9 C．14 D．19 类型2　利用等高条形图判断两个分类变量是否相关 【例2】　为了解铅中毒病人是否有尿棕色素增加现象，分别对病人组和对照组的尿液做尿棕色素定性检查，结果如下表．问：铅中毒病人组和对照组的尿棕色素阳性数有无差别？ 尿棕色素 合计 阳性数 阴性数 铅中毒病人组 29 7 36 铅中毒对照组 9 28 37 合计 38 35 73 总结：利用等高堆积条形图判断两个分类变量是否相关的步骤 (1)统计：收集数据，统计结果． (2)列表：列出2×2列联表，计算频率、粗略估计． (3)绘图：绘制等高条形图，直观分析． 类型3　由χ2进行独立性检验 【例3】　我校随机抽取100名学生，对其学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示： 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 40 学习积极性一般 30 合计 100 已知随机抽查这100名学生中的一名学生，抽到积极参加班级工作的学生的概率是0.6. (1)请将上表补充完整(不用写计算过程). (2)依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析学生的学习积极性是否与对待班级工作的态度有关？ 总结：用独立性检验求解实际问题的基本步骤 (1)列出2×2列联表．(2)提出零假设H0：X和Y相互独立． (3)计算：将2×2列联表中的数据代入公式求出χ2的值，并与临界值xα比较． (4)根据检验规则得出结论． (5)在X和Y不独立的条件下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 课堂小结： 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．在χ2运算后，得到χ2的值为29.78，在判断变量相关时，P(χ2≥6.635)≈0.01和P(χ2≥7.879)≈0.005，哪种说法是正确的？ [提示]　两种说法均正确．P(χ2≥6.635)≈0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个变量相关；而P(χ2≥7.879)≈0.005的含义是在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个变量相关． 2．利用小概率值α独立性检验的依据是什么？ [提示]　如果χ2≥xα我们推断H0不成立．即认为两个分类变量不独立，且该推断犯错误的概率不超过α.如果χ2＜xα就认为两个分类变量独立． 8.3.1列联表与独立性检验 一、选择题 1．某校团委对“学生性别与中学生追星是否独立”作了一次调查，利用2×2列联表，由计算得χ2≈7.218，参照如表：依据α＝0.01的独立性检验，结论正确的是(　　) α 0.1 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．学生性别与中学生追星独立 B．学生性别与中学生追星独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 C．学生性别与中学生追星不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.99 D．学生性别与中学生追星不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 2．下面是调查某地区男女学生喜欢理科的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出(　　) A．性别与喜欢理科无关 B．女生中喜欢理科的比例为80% C．男生比女生喜欢理科的可能性大些 D．男生不喜欢理科的比例为60% 3．某科研机构为了研究中年人秃顶是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示： 有心脏病 无心脏病 秃顶 20 300 不秃顶 5 450 根据表中数据得χ2＝≈15.968，由χ2≥10.828推断秃顶与患有心脏病有关，那么这种推断出错的可能性不超过(　　) A．0.1 B．0.05 C．0.01 D．0.001 4．根据下面的2×2列联表计算出χ2＝(　　) 优秀生 非优秀生 男生 15 45 女生 15 25 A． B． C． D． 5．为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高堆积条形图，最能体现该药物对预防禽流感有显著效果的图形是(　　) A　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　D 二、填空题 6．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ2的值χ2≈27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关或无关) 7．下表是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表： 晚上 白天 总计 男婴 45 A B 女婴 E 35 C 总计 98 D 180 那么，A＝________，B＝________，C＝________，D＝________，E＝________． 8．利用独立性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果χ2的值χ2>5.024，那么在犯错误的概率不超过________的前提下认为“X和Y有关系”． α 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 三、解答题 9．对某校小学生进行心理障碍测试得到如下列联表： 性别 心理障碍 合计 有心理障碍 没有心理障碍 女生 10 30 男生 70 80 合计 20 110 将表格填写完整，依据小概率值α＝0.025的χ2独立性检验，能否据此推断心理障碍与性别有关？ α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 学科网（北京）股份有限公司 $$