8.2一元线性回归模型及其应用导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高 二 年级 校本练习 学生姓名： 班级：高 （ ）班 科目：高二数学 编制：高二数学备课组 印数： 660 张 2022年 4 月 1日送印 8.2　一元线性回归模型及其应用 知识点1　一元线性回归模型 为Y关于x的一元线性回归模型，其中，Y称为 或 ，x称为 或 ．a和b为模型的未知参数，a称为 参数，b称为 参数． 是Y与bx＋a之间的随机误差． 知识点2　经验回归方程 ＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为 ，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计． 知识点3　残差与残差平方和及R2 (1)残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为 ．通过经验回归方程得到的称为 ，观测值减去预测值称为残差．可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等． (2)残差平方和及R2 ①残差平方和为 ．②R2＝ ．R2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果 ；R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果 ． 合作探究·释疑难 类型1　求经验回归方程 【例1】　随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量x(单位：件)与店铺的浏览量y(单位：次)之间的对应数据如下表所示： x/件 2 4 5 6 8 y/次 30 40 50 60 70 (1)根据表中数据画出散点图； (2)根据表中的数据，求出y关于x的经验回归方程； (3)当这种商品的成交量突破100件(含100件)时，预测这家店铺的浏览量至少为多少． 总结：求经验回归方程的基本步骤 (1)画出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系． (2)计算：x，y，，，iyi. (3)代入公式求出＝x＋中参数，的值． (4)写出经验回归方程并对实际问题作出估计． 提醒：只有在散点图大致呈线性时，求出的经验回归方程才有实际意义． 类型2　线性回归分析 【例2】　已知某种商品的单价x(单位：元)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 求y关于x的经验回归方程，并说明回归模型拟合效果的好坏． 建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量． (2)画解释变量和响应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等). (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选经验回归方程). (4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数． (5)得出结果后需进行线性回归分析． ①残差平方和越小，模型的拟合效果越好． ②决定系数R2取值越大，说明模型的拟合效果越好． 类型3　非线性回归分析 【例3】　为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数y的变化，收集数据如下： 天数x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y/个 6 12 25 49 95 190 (1)用天数作解释变量，繁殖个数作响应变量，作出这些数据的散点图，根据散点图判断：＝＋x与y＝c1ec2x哪一个作为繁殖的个数y关于时间x变化的回归方程类型为最佳？(给出判断即可，不必说明理由) x y z (xi－x)2 (xi－x)·(yi－y) (xi－x)·(zi－z) 3.5 62.83 3.53 17.5 596.505 12.04 其中zi＝ln yi，z＝i. (2)根据(1)的判断最佳结果及表中的数据，建立y关于x的回归方程． 参考公式：＝，＝y－x． (变设问)在本例条件不变的情况下，试估计第7天细菌繁殖个数． 总结：解决非线性回归问题的方法及步骤 (1)确定变量：确定解释变量为x，响应变量为y. (2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型． (3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题． (4)分析拟合效果：通过计算相关指数等来判断拟合效果． (5)写出非线性回归方程． 课堂总结： 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．经验回归直线方程有哪些性质？ [提示]　经验回归直线一定过点(，). 2．y与x正负相关的充要条件是什么？ [提示]　y与x正相关的充要条件是＞0，y与x负相关的充分条件是＜0. 3.的实际意义是什么？ [提示]　当x增大一个单位时，增大个单位． 8.2一元线性回归模型及其应用 一、选择题 1．过(3，10)，(7，20)，(11，24)三点的回归直线方程为(　　) A．＝1.75＋5.75x B．＝－1.75＋5.75x C．＝5.75＋1.75x D．＝5.75－1.75x 2．如图所示的是四张残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D 3．两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是(　　) A．y＝a·xb B．y＝a＋b ln x C．y＝a·ebx D．y＝a·e 4．(多选题)2020年以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月5G手机的实际销量，如表： 月份 2020．8 2020．9 2020．10 2020．11 2020．12 月份编号x 1 2 3 4 5 销量y/部 50 96 a 185 227 若y与x线性相关，且求得经验回归方程为＝45x＋5，则下列结论正确的是(　　) A．a＝142　 B．y与x正相关　 C．y与x的相关系数为负数　 D．预计2021年11月份该手机商城的5G手机销量约为725部 二、填空题 6．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的经验回归方程为＝0.85x－85.71，那么针对某个体(170，58)的残差是________． 7．某国产芯片车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，用最小二乘法求得经验回归方程为＝0.62x＋46.4. 零件数x(个) 10 20 30 40 50 加工时间y(min) 52 65 70 78 现发现表中有一个数据模糊不清，则该数据的值为________． 三、解答题 9．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如表： 年份x 2015 2016 2017 2018 2019 储蓄存款额y/千亿元 5 6 7 8 10 为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－2 014，z＝y－5，得下表． t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 (1)求z关于t的经验回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程； (3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地此银行储蓄存款额可达到多少？ 10．某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量y(单位：万件)的统计表： 月份代码t 1 2 3 4 5 6 7 销售量y(万件) y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 但其中数据污损不清，经查证i＝9.32，iyi＝40.17，＝0.55. (1)请用相关系数说明销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系； (2)求y关于t的经验回归方程(系数精确到0.01)； (3)公司经营期间的广告宣传费xi＝(单位：万元)(i＝1，2，…，7)，每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由．(毛利润等于销售金额减去广告宣传费)参考公式及数据：≈1.414，≈2.646，当|r|＞0.75时认为两个变量有很强的线性相关关系. 相关系数r＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$