精品解析：浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题

鄞州中学2023学年第二学期高二年级期中考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则下列阴影部分可以表示的为（ ） A B. C. D. 2. 若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. ， 4. 若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（ ） A. 6 B. 10 C. 55 D. 63 5. 已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于的为（ ） A 摸到黑球 B. 摸到红球 C. 在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球 D. 在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球 6. 若函数在区间恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为号．若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（ ） A. 68种 B. 136种 C. 272种 D. 544种 8. 已知平面向量，，满足，且.若，则的最小值为（ ） A 3 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列式子恒成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数．若函数图象的两条相邻对称轴的距离为，则下列说法正确的有（ ） A. 函数的最大值为2 B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象向右平移得到函数的图象 D. 函数的单调递增区间为 11. 如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面内运动（包含边界）．若直线AP与平面所成角的正切值为，则下列正确的为（ ） A. 存点P和点，使得 B. 在此三棱台中放置一个球体，其体积最大为 C. 线段CP长度的取值范围为 D. 所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从二项分布，且随机变量Y服从正态分布．若，则________． 13. 若复数z是关于x的方程的一个根，则复数z可以是________．（写出满足条件的一个即可） 14. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数；当时，．若，则________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分、第16-17题各15分、第18-19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在①，②这两个条件中任选一个补充在下面的横线中，并解答． 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________． （1）求角B的大小； （2）若a，b，c成等差数列，判断的形状并加以证明． 16. 某城市地铁将于2024年5月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度统计数据如下表： 月收入 （单位：百元） 赞成定价者人数 2 2 4 5 3 4 认为价格偏高者人数 4 8 9 6 2 1 （1）若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，分别求出参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入； （2）根据以上统计数据填下面列联表，依据小概率值的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”？ 对地铁定价的态度 人均月收入 合计 不低于55百元的人数 低于55百元的人数 认为价格偏高者 赞成定价者 合计 附：，其中． 参考数据 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17. 如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，． （1）求该多面体的体积V； （2）在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示． （1）试估计这100名学生众数和中位数（保留一位小数）； （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值： （3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”． 附：若，则，，； 19. 已知函数的定义域为M，区间，对任意，且，记，．若，则称在I上具有性质A；若，则称在I上具有性质B：若，则称在I上具有性质C；若，则称在I上具有性质D． （1）记①充分不必要条件：②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件， 则在I上单调递增是在I上具有性质A的________（填正确选项的序号）： 在I上单调递增是在I上具有性质B的________（填正确选项的序号）； 在I上单调递增是在I上具有性质D的________（填正确选项的序号）； （2）若在满足性质B，求实数a的取值范围； （3）是否存在m，，使得函数在区间上恰满足性质A，B，C，D中的一个？若不存在，请说明理由：若存在，求实数m的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鄞州中学2023学年第二学期高二年级期中考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则下列阴影部分可以表示的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数定义域化简集合，结合补集概念即可求解. 【详解】由得：，所以， 所以或 故选：D 2. 若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由空间中两直线的位置关系结合充分条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】空间中两条直线a，b异面，则a，b没有公共点， 反之，空间中的两条直线a，b没有公共点，则不一定得到a，b异面，也可能a，b是平行直线， 所以“a，b异面”是“a，b没有公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由散点可判断出正相减，去掉离群点后，线性关系更强，由离群点的位置判断去掉离群点后回归方程的斜率变化. 【详解】共8个点且离群点P的横坐标较小而纵坐标相对过大，去掉离群点后回归方程的斜率更大，故C正确 去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，故D错误 有，，故AB错误. 故选：C. 4. 若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（ ） A. 6 B. 10 C. 55 D. 63 【答案】C 【解析】 【分析】分别由和结合二项式定理得和，再一一检验时和的解的情况即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以若既能被7整除，则，故 又， 所以 ， 所以若既能被9整除，则，故， 对于A，若，则由可知无解，故A错误； 对于B，若，则由可知无解，故B错误； 对于C，若，则由和得，故C正确； 对于D，若，则由可知无解，故D错误. 故选：C. 5. 已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于的为（ ） A. 摸到黑球 B. 摸到红球 C. 在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球 D. 在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球 【答案】B 【解析】 【分析】对于AB，由全概率公式即可直接计算选项A中摸到黑球的概率和选项B中摸到红球的概率，进而即可判断AB；对于CD，由条件概率定义即可直接得选项C和D相应的概率，进而即可判断CD. 【详解】对于A，由全概率公式得摸到黑球的概率为，故A错误； 对于B，由全概率公式得摸到红球的概率为，故B正确； 对于C，在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球的概率为，故C错误； 对于D，在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球，故D错误. 故选：B. 6. 若函数在区间恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由得是的一个零点，从而将问题转化成在区间恰有一个非0的零点，再根据和两种情形进行分析，当时情形将零点求出即可判断是否符合；对于情形结合根的分布得，接着解该不等式即可，最后综合两种情形即可得解. 【详解】由题，所以是的一个零点， 因为函数在区间恰有两个零点， 所以函数在区间恰有一个非0的零点， 当，即时有一个零点， 将代入整理得即，解得， 故时有一个零点为，符合； 当，即时， 由根的分布情况得，即，解得，符合. 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 7. 如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为号．若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（ ） A. 68种 B. 136种 C. 272种 D. 544种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，按甲乙是否放在同一排两种情况讨论，由加法原理计算即可． 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①甲乙放在同一排，有种放法， ②甲乙不放在同一排，有种放法， 则有种不同的放法． 故选：C． 8. 已知平面向量，，满足，且.若，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积公式先确定，从而确定的位置，建立合适的平面直角坐标系，利用数形结合的思想及三角形三边关系计算即可. 【详解】 由题意可知， 解得，根据向量夹角的范围知， 如图所示建立平面直角坐标系，不妨令，以原点为圆心，半径为2作圆， 因为，则在劣弧上， 设， 则， 关于作C的对称点，连接， 易知在圆上，且， 根据对称性可知， 当且仅当四点共线时取得等号， 由余弦定理知，即B正确. 故选：B 【点睛】思路点睛：多向量问题，可先由条件尽量固定一些向量，结合向量的线性运算将问题转化为三段线段和的最小值问题，注意C的位置，利用对称性化折线段为直线段即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列式子恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由指数函数、对数函数的单调性比较大小判断选项AB；由对数式的运算和特殊角的正切值判断选项C；由对数式的运算判断选项D. 【详解】A项，指数函数在上单调递增， 由，则，故A正确； B项，对数函数在上单调递增，则， 又，所以，故B正确； C项，，故C错误； D项，，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数．若函数图象的两条相邻对称轴的距离为，则下列说法正确的有（ ） A. 函数的最大值为2 B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象向右平移得到函数的图象 D. 函数的单调递增区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】先由倍角公式将函数解析式化简为，接着由题意得，再结合周期公式即可求出，对于A B，可直接判断；对于C，由结合解析式计算即可得解；对于D，令再求解该不等式即可得函数的单调递增区间. 【详解】由题得， 因为函数图象的两条相邻对称轴的距离为，故， 所以，所以. 对于A，由可知函数的最大值为1，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，令， 所以函数的单调递增区间为，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面内运动（包含边界）．若直线AP与平面所成角的正切值为，则下列正确的为（ ） A. 存在点P和点，使得 B. 在此三棱台中放置一个球体，其体积最大为 C. 线段CP长度的取值范围为 D. 所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将正三棱台侧棱延长补成正三棱锥，求出点A到平面的距离即可确定点的运动轨迹，再逐项分析即可. 【详解】依题意，延长正三棱台侧棱相交于点O，取中点， 中点，连接，则有， 所以的延长线必过点且， 过点作，则四边形是边长为1的菱形. 如图所示： 在中，，即， 解得，所以， 所以为边长为3等边三角形， 所以，， 所以， 因为是边长为3等边三角形且为中点， 所以，， 在中，由余弦定理变形得，， 在中，由余弦定理变形得， ，解得， 所以，所以； 由，可得平面， 又平面，所以， 由，，，可得平面， 因为AP与平面所成角的正切值为， 所以，解得，， 所以点在平面的轨迹为， 对于A：当点运动到点时，连接，交于点， 连接，由于平面平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以，所以存在点P，存在点，使得，故A选项正确； 对于B：因为侧棱长为1，所以内切球半径小于，若B选项正确，， 则，得出矛盾，故B选项错误； 对于C：当点运动到与的交点时有最小值， 因为四边形是边长为1且的菱形， 所以，所以，的最大值为， 在中，余弦定理，故C选项正确； 对于D：设的长度为l，则， 动线段AP形成曲面展开为两个面积相等扇形，设其中一个的面积为， 则有， 因此所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为，故D选项正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：将正三棱台侧棱延长补成正三棱锥，求出点A到平面的距离即可确定点P的运动轨迹，再分别判断各个选项. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从二项分布，且随机变量Y服从正态分布．若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】先由二项分布的均值公式求出，从而得，进而由概率之和为1和正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为随机变量X服从二项分布， 所以，故， 又随机变量Y服从正态分布，所以， 所以. 故答案为：. 13. 若复数z是关于x的方程的一个根，则复数z可以是________．（写出满足条件的一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先将方程转化为，从而得，再结合复数运算法则即可求解. 【详解】由得， 所以， 所以若复数z是关于x的方程的一个根，则或. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数；当时，．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数的性质，得到是的周期函数，然后将所求和的每连续项记为一组，先求出每组的和，再全部相加即可. 【详解】为偶函数，为奇函数，， 则 ， 所以是的周期函数. 又，则， 为奇函数，， 而为偶函数，. 代入，即，解得， 可得. 计算可得，， 设 ， 其中， 则 . 故答案为：. 【点睛】方法点睛：针对函数的奇偶性综合问题，需要通过一起分别转换的方式得到新的等式，求出函数的周期或类周期的性质，帮助解题. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分、第16-17题各15分、第18-19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在①，②这两个条件中任选一个补充在下面的横线中，并解答． 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________． （1）求角B的大小； （2）若a，b，c成等差数列，判断的形状并加以证明． 【答案】（1）选①，；选②， （2）为正三角形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）若选①，由已知结合正弦定理以及运算得，进而由角B的范围即可得解；若选②，由已知结合正弦定理以及两角和的正弦公式运算得，进而由角B的范围即可得解； （2）由a，b，c成等差数列得，再结合余弦定理得，于是得，进而可得为正三角形. 小问1详解】 若选①，由，结合正弦定理得， 又， 所以， 即， 又，故，所以，即， 所以； 若选②，由， 结合正弦定理得， 所以， 又，故，所以即， 所以. 【小问2详解】 若a，b，c成等差数列，则为正三角形. 证明：若a，b，c成等差数列，则， 又由（1）和余弦定理得， 所以，整理得即， 所以，所以， 所以为正三角形. 16. 某城市地铁将于2024年5月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度统计数据如下表： 月收入 （单位：百元） 赞成定价者人数 2 2 4 5 3 4 认为价格偏高者人数 4 8 9 6 2 1 （1）若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，分别求出参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入； （2）根据以上统计数据填下面列联表，依据小概率值的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”？ 对地铁定价的态度 人均月收入 合计 不低于55百元的人数 低于55百元的人数 认为价格偏高者 赞成定价者 合计 附：，其中． 参考数据 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）“赞成定价者”的月平均收入为百元；“认为价格偏高者”的月平均收入为百元. （2）列联表见解析；不能认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”. 【解析】 【分析】（1）先分别求出赞成定价者总人数和认为价格偏高者总人数，再依据平均数定义直接计算即可得解. （2）根据题目表格所给数据即可填写列联表；根据独立性检验的思想方法计算，再与临界值比较即可得解. 【小问1详解】 由题意可知赞成定价者总人数为人， 认为价格偏高者总人数为人， 所以“赞成定价者”的月平均收入为（百元）， “认为价格偏高者”的月平均收入为（百元）. 【小问2详解】 由题补全列联表如下： 对地铁定价的态度 人均月收入 合计 不低于55百元的人数 低于55百元的人数 认为价格偏高者 3 27 30 赞成定价者 7 13 20 合计 10 40 50 设零假设：月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异， 由列联表表格数据得， 所以依据小概率值的独立性检验推断成立，即认为月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异， 所以依据小概率值的独立性检验不能认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”. 17. 如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，． （1）求该多面体的体积V； （2）在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，求证平面，即可由求出该多面体的体积. （2）先求证两两垂直，建立空间直角坐标系，设，依据已知条件求出和平面的法向量，再依据即可计算求解，进而得解. 【小问1详解】 取中点，连接，则由为正三角形得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又由题意， 所以该多面体的体积. 【小问2详解】 连接，由题意以及（1）可知且， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 所以由平面可知两两垂直， 所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以，， 设，则， 所以， 设是平面的一个法向量，则， 所以，即，取，则， 所以直线和平面所成的角的正弦值为 ， 整理得，解得（舍去）或， 所以在棱上存在点P，使得直线和平面所成的角大小为，此时. 18. 2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示． （1）试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）； （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值： （3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”． 附：若，则，，； 【答案】（1）75，71.7 （2）分布列见解析， （3）504，不能 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中众数和中位数的概念求解即可； （2）先按照分层抽样求出在的人数为2，则的可能取值为0，1，2，再求出对应的概率即可； （3）由正态分布的概率特征求解即可． 【小问1详解】 由题众数在组，故众数为：75分； 由题知每组频率分别为：0.1，0.15，0.2，0.3，0.15，0.1， 所以中位数在组，故中位数为：分； 【小问2详解】 由题参加座谈的11人中，得分在的有人， 所以的可能取值为0，1，2， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以； 【小问3详解】 由题可知， 所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人， 又由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数： ， 因为，则， 所以， 因为只有当，参赛学生才可获得“参赛先锋证书”， 故竞赛成绩为90分的学生不能获得“参赛先锋证书”． 19. 已知函数的定义域为M，区间，对任意，且，记，．若，则称在I上具有性质A；若，则称在I上具有性质B：若，则称在I上具有性质C；若，则称在I上具有性质D． （1）记①充分不必要条件：②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件， 则在I上单调递增是在I上具有性质A________（填正确选项的序号）： 在I上单调递增是在I上具有性质B的________（填正确选项的序号）； 在I上单调递增是在I上具有性质D的________（填正确选项的序号）； （2）若在满足性质B，求实数a的取值范围； （3）是否存在m，，使得函数在区间上恰满足性质A，B，C，D中的一个？若不存在，请说明理由：若存在，求实数m的最小值． 【答案】（1）①；②；③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合函数的单调性、充分、必要条件的知识确定正确答案； （2）根据性质，利用分离常数法，结合不等式的性质求得的取值范围； （3）将问题转化为恒成立，对的范围进行分类讨论，由此求得的最小值． 【小问1详解】 由于，所以， 对于性质，当时，无法判断的符号，故无法判断单调性； 当在上单调递增时，， 所以在上单调递增是在上具有性质的充分不必要条件； 故答案为：①； 对于性质，当时，，所以在上单调递增； 当在上单调递增时，，的符号无法判断， 所以在上单调递增是在上具有性质B的必要不充分条件, 故答案为：②； 对于性质D，若，则，所以在上单调递增； 当在上单调递增时，，， 所以在单调递增是在上具有性质的充要条件； 故答案为：③． 【小问2详解】 对于任意的，，且， 有，， 由于在，满足性质， 即， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 由于任意的，，且， 所以，所以， 所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 实数的最小值为，理由如下： 因为在上恰满足性质、性质、性质、性质中的一个， 所以对任意，且， 若满足性质，， 若满足性质，则， 若满足性质、，则， 性质、、同时满足，所以仅满足性质， 此时， 有恒成立． 因为的定义域为， 所以， 当时，， 所以， 从而，不合题意； 当时，， 所以， 从而， 要使恒成立，只需使， 即恒成立， 若，则，，使，这与矛盾， 当时，，恒成立， 所以的最小值为． 【点睛】本题属于新概念题，利用对充要条件、充分不必要、必要不充分条件的理解来进行判断，利用不等式的性质，参变分离解决不等式恒成立问题，同时需要利用分类讨论的思想进行不重不漏的讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$