精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024届高三第五次模拟数学试题

哈九中2024届高三学年第五次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟满分：150分） Ⅰ卷 一、单选题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式和对数不等式可得集合，再由集合基本运算可得结果. 【详解】解不等式可得或，可得或； 所以， 解可得，即; 所以. 故选：A 2. 给出下列四个命题，其中正确命题为（ ） A. “”的否定是“” B. 上单调递减 C. 若为的导函数的一个零点，则为函数的一个极值点 D. 若是奇函数，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有一个量词命题的否定可判断A错误，由幂函数性质可得B正确，利用极值点与导函数零点的关系可判断C错误，若可判断D错误. 【详解】对于A，易知“”的否定是“”，所以A错误； 对于B，由幂函数性质可知在上单调递减，可得B正确； 对于C，若，则；显然是的一个零点， 但在上单调递增，没有极值点，所以C错误； 对于D，若是奇函数，不妨取，不满足，即D错误； 故选：B 3. 已知是关于复数z的方程的一个根，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】将方程的复数根代入整理并根据复数相等的概念解方程组可得结果. 【详解】将代入方程可得， 整理得，即， 可得，解得， 所以. 故选：C 4. 已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆方程作差即可. 【详解】由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故选：B. 5. 已知函数，则函数在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对求导，注意是常数，令代入导函数中，可求得，进而可求，可得在处的切线方程. 【详解】，令，可得， ， 所以在处的切线方程为. 故选：B 6. 为丰富学生的校园文化生活，哈尔滨市第九中学每年冬天都会在操场上浇筑滑冰场，现欲测量操场两侧C，D两点之间的距离，甲同学选定了与C，D不共线的两处观测点，如图所示，并知，设，以下是测量数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量．若甲同学选择的方案能唯一确定C，D两点之间的距离，则这样方案的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】对于①②：根据三角形的性质分析判断即可；对于③④：根据①中结论，结合圆的性质分析判断. 【详解】因为，即唯一确定 对于①：已知，由三角形全等可知是唯一确定的， 则唯一确定， 若已知，则唯一确定，且已知， 由三角形全等可知是唯一确定的，即唯一确定，符合题意； 对于②：由①可知：唯一确定， 若已知，由三角形全等可知是唯一确定的，则唯一确定， 由三角形全等可知是唯一确定的，即唯一确定，符合题意； 对于③：由①可知：是唯一确定的，则唯一确定， 因为和唯一确定，可知点在以线段为弦的圆上， 又因为和唯一确定，可知点在以线段为弦的圆上， 若圆与圆可能重合，此时不唯一确定，不合题意； 对于④：由①③可知：是唯一确定的，点在以线段为弦的圆上， 如图所示： 虽然确定，但直线与圆有2个交点，所以不唯一确定，不合题意； 综上所述：符合题意的方案的有2个. 故选：B. 7. 已知有4个数据的平均值为5，方差为4，现加入数据6和10，则这6个数据的新方差为（ ） A. B. C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】设原来的 4 个数依次为 , , , , 再利用平均数和方差的计算公式结合整体法即可. 【详解】设原来的4个数依次为，，，， 原来4个数据的平均值为5，方差为4， ， ， ， ， 现加入数据6和10，则这6个数据的平均数为 ， 则这6个数据的方差为: . 故选：C. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先对题中所给的式子进行变形为，利用基本不等式求得最小值，将问题转化为，解不等式求得结果. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 令，则，解得（舍去）或， 则，当且仅当，时等号成立， 即的最小值为9. 故选：B. 二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球．事件A＝“两次取到的球颜色相同”；事件B＝“第二次取到红球”；事件C＝“第一次取到红球”．下列说法正确的是（ ） A. B. 事件B与事件C是互斥事件 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由已知先列举出事件A，B，C包含的基本事件，然后结合互斥事件的概念及古典概率公式检验各选项即可判断. 【详解】解：由题意可得，事件A包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，绿)}， 事件B包含的取球颜色为{(红，红) ，(绿，红)}，事件C包含的取球颜色为{(红，红) ，(红，绿)}， 则，选项A错误； ，选项B错误； 事件AB包含的取球颜色为{(红，红)}， ，选项C正确； 事件B+C包含的取球颜色为{(红，红) ，(绿，红)，(红，绿)}， ，选项D正确. 故选：CD. 10. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 在棱上存在点M使得平面 C. 平面平面 D. 二面角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】找到异面直线所成角，结合线面垂直的关系可得选项正确，根据图形中的平行关系可证选项正确，由已知的线面垂直关系，假设结论正确可推出与已知矛盾的结论，可得选项错误，求出二面角的平面角可知选项正确. 【详解】选项，因为菱形，所以， 所以或其补角即为异面直线与所成的角，取的中点， 连接，则，因为平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以，因为菱形，且， 所以是等边三角形，所以，即， 又、平面，所以平面， 因平面，所以， 即，所以异面直线与所成的角为，即选项正确； 选项，当是的中点时，平面， 理由如下：连接，交于，连接，则是的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面，即选项正确； 选项，由选项可知，，若平面平面， 因为平面平面平面， 所以平面，又平面， 所以，这与题意相矛盾，即选项错误； 选项，由选项可知，平面，， 所以即二面角的平面角， 因为与均为等边三角形， 所以，所以，即选项正确. 故选： 11. 某曲线C的方程为，下列说法正确的是（ ） A 曲线C关于对称 B. 曲线C上的点的纵坐标的最大值是2 C. 曲线C与直线交于A、B两点，则 D. 点在曲线C上，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，交换，即可判断；对B，利用判断式法即可判断；对C，将直线方程与曲线C方程联立解出点坐标即可；对D，利用基本不等式将其转化为求的范围即可. 【详解】对于A：将，互换代入曲线， 得，方程不变，所以曲线关于对称，所以A选项正确： 对于B：，即， 将其看成关于的一元二次方程，根据判别式法得， 解得，若，则，此时，故B错误. 对于C：将代入方程， 可得，即，解得或， 所以， 则，所以C选项错误； 对于D：因为， 由题意可知，即， 又因为， 所以，则，当且仅当时等号成立； 因为，则，则，当且仅当时等号成立； 则，此时， 即，所以D选项正确. 故选:ABD. Ⅱ卷 三、填空题：本大题共有3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值. 【详解】由题意可得：， 由向量垂直的充分必要条件可得：， 即：，解得：. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13. 已知二项式的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则其展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式系数相等可求得，再由二项展开式的通项可求得结果. 【详解】根据展开式中第3项与第7项的二项式系数相等可得，解得； 不妨设第项含有项，所以， 所以，即，解得； 所以含有项为. 因此可得的系数为. 故答案为： 14. 定义表示不超过x的最大整数，．例如：，则方程的所有实根之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为函数和的图象的交点，结合对称性即可求解. 【详解】对于，显然不是方程的解，可化为， 作出函数和的大致图象， 考察函数和的图象的交点， 除了外，其余点关于点对称，从而和为零，故总和为. 故答案为： 四、解答题：本大题共有5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知A，B两点的坐标分别是，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，记点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程． （2）将曲线C向上平移4个单位得到曲线E，已知斜率为3的直线l与曲线E有两个不同的交点且满足，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点，根据斜率之差的值整理可得曲线C的方程为； （2）易知曲线E为，联立曲线E和直线l的方程并利用韦达定理以及向量数量积的坐标表示可得结果. 【小问1详解】 设点,根据题意可知， 直线AM的斜率为，直线BM的斜率； 即可得， 整理可得. 【小问2详解】 如下图所示： 将曲线C向上平移4个单位得到曲线E为； 设直线l的方程为，； 联立曲线E和直线l整理可得， 所以； 因此， 即，解得或； 当时，方程的根为，符合题意； 当时，方程的根为，符合题意； 因此可知，直线l的方程为或. 16. 已知函数． （1）当时，求的值域． （2）当时，讨论的单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，，求导分析单调性，极值，即可得出答案. （2）求导得，分情况讨论的符号，的单调性. 【小问1详解】 当时，， ， 令，得或，所以在上单调递增， 在上单调递减， 所以，又， 因为，所以， 所以当时，，所以的值域为. 【小问2详解】 ， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，令，得或2，当，即时，不符合题意， 当，即时，在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增， 当，即时，在上，单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 17. 数列满足． （1）求数列通项公式． （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意有，数列是首项为2，公差为2的等差数列，可求数列通项公式． （2），分为奇数和为偶数，结合分组求和法求. 【小问1详解】 由，有， 又，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 则有，所以数列通项公式. 【小问2详解】 设， 为奇数时，；为偶数时，. 为奇数时， ； 为偶数时， . 所以. 18. 已知的内角所对的边分别为，若内一点P满足，则称点P为的布洛卡点，θ为的布洛卡角．如图，已知中，，点P为的布洛卡点，θ为的布洛卡角． （1）若，且满足，求的大小． （2）若为锐角三角形．证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先判断与相似，进而得到，应用余弦定理求出的值即可; （2）在内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式后，再针对分别在和内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式，且，表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，再化简整理得，即可得证. 【小问1详解】 若，即，得， 点满足，则， 在和中，，， 所以与相似，且，所以， 即，由余弦定理得，且， 所以. 【小问2详解】 在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得 ， ， ， 三式相加可得： ①； 在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得： ， 在和内，同理， 于是， 因为， 由等比性质得②， 由①②得 即， 因为， 所以. 【点睛】关键点点睛：根据表示出三角形得面积，在中，由余弦定理相加，得出与的等量关系，是解决本题的关键. 19. 身份证号码是我国公民最常用的代码，共有18位，其中前17位代码都是0﹣9的数字，第18位代码，又称为校验码，为0﹣9或罗马数字X（值为10），校验码是由前17位数字所决定的，确定规则如下：若某人身份证号为，在前17位代码已生成的情况下，校验码使得M除以11所得的余数始终为1，其中．例如甲的身份证号为230101203010101230（非实例），则. （1）若乙的身份证号前17位是23010120301014231，校验码未知，根据表格中数据求乙身份证号的校验码； 位次（n） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 除以11的余数 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1 （2）丙的身份证号后四位数中有一位记错了，若丙记得自己的身份证号为230101203010143018，已知该错误的身份证号计算得到的M为11的整数倍，请写出有可能成为他身份证号后四位的所有结果； （3）已知丁的身份证号为23010120301014______ ______1______，若第15和16位数码是随机产生的，设校验码的数值为随机变量X，求X的分布列及E（X）． 【答案】（1）乙身份证号的校验码为 （2）他身份证号后四位的所有结果有：、和 （3）的分布列为 . 【解析】 【分析】（1）求出，求出，根据校验码使得M除以11所得的余数始终为1求出效验码； （2）记丙错误的身份证号得到的为，由题意得，分四种不同位数记错讨论即可； （3）记丁的身份证号第和16位分别为和，求出，根据写表达式，根据、和的范围求出的分布列，求出. 【小问1详解】 记乙的身份证号为：， 所以， 因为，所以， 设“”表示余数，由题意知且， 所以，所以， 所以乙身份证号校验码为； 【小问2详解】 记丙错误的身份证号得到的为， 由题意得，若第位记错， 则第位应为，其中， 此时，所以， 所以， 方程无解，所以第位没记错， 同理，第位应为，， 此时，所以， 第位应为，， 此时，所以， 第位应为，， 此时，所以， 所以他身份证号后四位的所有结果有：、和； 【小问3详解】 记丁的身份证号第和16位分别为和， 所以， 因为，所以， 因为，，， 因为余数为下，的余数数列不会出现数字，的余数数列不会出现数字， 所以同时取和， 即取时， 所以当时，有种组合， 当时，有种组合， 所以的分布列为 所以. 【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于分四种不同位数记错讨论，（3）关键在于根据写表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2024届高三学年第五次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟满分：150分） Ⅰ卷 一、单选题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 给出下列四个命题，其中正确命题为（ ） A. “”的否定是“” B. 在上单调递减 C. 若为导函数的一个零点，则为函数的一个极值点 D. 若是奇函数，则 3. 已知是关于复数z的方程的一个根，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则函数在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 为丰富学生的校园文化生活，哈尔滨市第九中学每年冬天都会在操场上浇筑滑冰场，现欲测量操场两侧C，D两点之间的距离，甲同学选定了与C，D不共线的两处观测点，如图所示，并知，设，以下是测量数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量．若甲同学选择的方案能唯一确定C，D两点之间的距离，则这样方案的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知有4个数据的平均值为5，方差为4，现加入数据6和10，则这6个数据的新方差为（ ） A. B. C. 6 D. 10 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 10 二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球．事件A＝“两次取到的球颜色相同”；事件B＝“第二次取到红球”；事件C＝“第一次取到红球”．下列说法正确的是（ ） A. B. 事件B与事件C是互斥事件 C. D. 10. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 在棱上存在点M使得平面 C. 平面平面 D. 二面角的大小为 11. 某曲线C的方程为，下列说法正确的是（ ） A. 曲线C关于对称 B. 曲线C上的点的纵坐标的最大值是2 C. 曲线C与直线交于A、B两点，则 D. 点在曲线C上，则的取值范围为 Ⅱ卷 三、填空题：本大题共有3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量,夹角为45°，与垂直，则k=__________. 13. 已知二项式的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则其展开式中的系数为______． 14. 定义表示不超过x的最大整数，．例如：，则方程的所有实根之和是______． 四、解答题：本大题共有5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知A，B两点的坐标分别是，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，记点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程． （2）将曲线C向上平移4个单位得到曲线E，已知斜率为3的直线l与曲线E有两个不同的交点且满足，求直线l的方程． 16. 已知函数． （1）当时，求值域． （2）当时，讨论的单调区间． 17. 数列满足． （1）求数列通项公式． （2）设，求数列的前n项和． 18. 已知的内角所对的边分别为，若内一点P满足，则称点P为的布洛卡点，θ为的布洛卡角．如图，已知中，，点P为的布洛卡点，θ为的布洛卡角． （1）若，且满足，求大小． （2）若为锐角三角形．证明：． 19. 身份证号码是我国公民最常用的代码，共有18位，其中前17位代码都是0﹣9的数字，第18位代码，又称为校验码，为0﹣9或罗马数字X（值为10），校验码是由前17位数字所决定的，确定规则如下：若某人身份证号为，在前17位代码已生成的情况下，校验码使得M除以11所得的余数始终为1，其中．例如甲的身份证号为230101203010101230（非实例），则. （1）若乙的身份证号前17位是23010120301014231，校验码未知，根据表格中数据求乙身份证号的校验码； 位次（n） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 除以11的余数 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1 （2）丙身份证号后四位数中有一位记错了，若丙记得自己的身份证号为230101203010143018，已知该错误的身份证号计算得到的M为11的整数倍，请写出有可能成为他身份证号后四位的所有结果； （3）已知丁的身份证号为23010120301014______ ______1______，若第15和16位数码是随机产生的，设校验码的数值为随机变量X，求X的分布列及E（X）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $