精品解析：辽宁省沈阳市第二中学2025届高三上学期期初考试数学试卷

2024～2025辽宁省沈阳二中高三上学期开学考 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求解集合A，根据指数函数单调性求解值域得集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】， 则， 所以. 故选：D 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】求出的解集，根据充要条件的定义即可得到结论. 【详解】令，所以的解集为：， 所以“”能推出“， 而“不能推出“”即“”，是“”的充分不必要条件； 故选：A 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定奇偶性，排除B，再由且时，恒成立，排除CD，从而得正确答案． 【详解】函数定义域是， ， 是奇函数，排除B， 当且时，，所以，排除CD， 故选：A． 4. 已知定义在R上的奇函数 的图象是一条连续不断的曲线， 是 的导函数，当 时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在 时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】令，则， 因为当 时，，所以在上单调递增， 又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数， 由，得，解得或 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 5. 已知直线是曲线的切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得函数的导数，得到方程组，求得，，得到，令，结合导数求得函数的单调性和最大值，即可求解. 【详解】设直线与曲线的切线点的横坐标为， 由，可得， 则，可得，所以， 由，，则， 令，可得， 令，即，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，即， 当时，， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 6. 已知关于 的方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】变形给定方程，构造函数，利用导数探讨方程取得两个不等根的的范围，再借助一元二次方程求解即得. 【详解】显然 不是方程的根， 则方程的根即为方程的根， 令，得，设，求导得， 由，得或，由，得 ， 即函数 在和上单调递减，在 上单调递增，， 作出 的大致图象，如图， 依题意，方程有两个不相等的实数根，设为，， 观察图象知，方程的每一个根，由得两个不同的 值， 于是，且，由，解得， 不妨设， 则， 由，得， 所以的取值范围为. 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. 7. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（ ） A. 不为周期函数 B. 的图象不关于点对称 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数成中心对称的恒等式来证明新函数的对称性，再利用双对称来证明函数的周期性，从而就可以来判断各选项. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以，即， 则的图象关于点对称，B选项错误． 由，得． 令，则， 由，得的图象关于直线对称． 又的图象关于点对称，则， 所以，即， 则可得的图象关于点对称， 故为周期函数，且周期为8，， 所以，，D选项错误． 又，则， 所以，由得：，故为周期函数，A选项错误． 由，两边求导得：， 由得：，令 得：， 利用的周期为8，则，C选项正确． 故选：C． 8. 已知数列满足：，，前项和为，则下列选项错误的是（ ）（参考数据：，） A. 是单调递增数列，是单调递减数列 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，将递推公式转化为，作函数图象，结合不动点可判断A；由，可求得的范围，可判断B；利用求和，可判断C；由不动点可得，可判断D. 【详解】由，得， ，令，即，则，，． 作图如下，由图可得： ：是单调递增数列，是单调递减数列，因此 正确； B：，， ， ，因此B正确； C：，，因此C不正确； D：由不动点，，得，可得：，，因此D正确． 故选：C． 二、多选题 9. 已知实数 满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10. 已知函数的零点为的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数零点的意义，结合函数与互为反函数，确定的关系，再逐项分析判断得解. 【详解】依题意，，， 则分别是直线与函数，图象交点的横坐标， 而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称， 又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称， 则，于是，，，BC正确，A错误； 因为,所以， 则，即，D错误. 故选：BC 11. 已知，则（ ） A. 对恒成立 B. 若函数有两个不同的零点，则k的取值范围是 C. 方程恰有3个实根 D. 若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】对函数 求导，判断其单调性，求出其最小值，可判断A选项；作出曲线 的图象，根据图象可判断B选项；令，解得，数形结合可判断C选项；由直线过原点，再结合图象分析即可判断D选项． 【详解】对于A选项，， 当或 时，，所以 在， 上单调递减， 当时，，所以 在上单调递增， 所以 在 出取得极小值，， 在处取得极大值，， 而 时，恒有成立， 所以 的最小值是，即，对恒成立，故A正确； 对于B选项，令，则，有两个不同的零点，等价于函数 与直线有两个交点， 由A选项分析，函数 的大致图象如下， 由图知，当或时， 函数 与直线有两个交点，故B错误； 对于C选项，由，得，解得， 令，和，而， 由图象知，和分别有两解： 综上，方程共有4个根，故C错误； 对于D选项，直线过原点，且，， 记，， 易判断，， 不等式恰有1个负整数解， 即曲线 在的图象下方对应的 值恰有1个负整数， 由图可得，即，故D正确． 故选：AD． 【点睛】思路点睛：A选项，将不等式恒成立问题，转化为最值问题，然后利用导数求出函数最值即可；B选项，将零点个数问题转化为图象交点个数问题，再利用导数画出函数的草图，数形结合分析即可；C选项，内嵌函数零点问题，先令，则可以求，求出满足题意的t,再利用，求出对应x的值即可；D选项, 设，数形结合进行分析，利用恰有1个负整数解的要求，发现直线的斜率会介于和之间，从而得解，所以，该题总的思路就是数形结合思想的灵活应用. 三、填空题 12. 已知函数则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式可得在上单调递增，令，不等式为变为，利用单调性可得不等式的解集. 【详解】函数在上单调递增， 又在 上单调递增，又， 所以在上单调递增. 设，可得在上单调递增. 又，所以原不等式可化为， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 13. 已知函数在上的最大值为 ，在上的最大值为 ，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出 的图象，分和两种情况讨论函数 在上的最大值和在上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案. 【详解】由函数，作出 的图象如下： 由题得：， 当时，函数在上的最大值为 ，即， 要使，则，令，解得：，，，， 由图可得，要使函数在上的最大值为 ，且， 则，或，解得：. 当时， 由图，在上最大值， 在上单调递增，最大值， 不可能成立， 综上，实数的取值范围是， 故答案为：. 14. 给定集合，定义中所有不同值的个数为集合 两个元素的容量，用表示. ①若，则___________； ②定义函数其中表示不超过 的最大整数，如，，当时，函数的值域为 ，若，则____________； 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据的定义计算即可；②根据高斯函数的定义，得到，从而得到的值域，任取两个元素相加则有个，代入计算即可. 【详解】①：因为， 所以 其中不同值的个数为，故， ②：当，则，所以， 则的值域为， 任取两个元素相加，不同的结果有（个）， 则，解得. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对的定义以及高斯函数的定义理解通彻，从而得到关于的方程，解出较难的第二小问. 四、解答题 15. 已知函数 （1）若函数 在内没有极值点，求实数a的取值范围； （2）若a=1时函数 有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围； （3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）解不等式组即得解； （2）等价于有三个互不相同的实数根，令，求出函数的单调区间即得解； （3）求出函数 的单调区间和最大值即得解. 【详解】解：（1）由题知, 函数 在内没有极值点，即在内没有实数根， 所以，解得. （2）当a=1时函数 有三个互不相同的零点，则方程有三个互不相等的实数根，即有三个互不相同的实数根， 不妨令则 因为在和上均为减函数，在上为增函数， 所以的极小值为，极大值为，所以的范围为 （3） 且a>0, 当或时，， 当时，， 所以函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为. 当时，，，又，所以. 又，又在上恒成立， 所以，即，即当时，恒成立， 因为在区间上的最小值为，所以. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值与最小值； （3）当时，求证：． 【答案】（1） （2）当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，函数的最小值为，最大值为； （3）当时，，即证明不等式， 设， ，， 设， ，， 所以在单调递增，并且，， 所以函数在上存在唯一零点，使， 即，则在区间，，单调递减， 在区间，，单调递增， 所以的最小值为， 由，得，且， 所以， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程； （2）首先求函数的导数，再讨论和两种情况求函数的单调性，求函数的最值； （3）首先根据不等式构造函数，再利用导数求函数的最小值，即可证明. 【小问1详解】 ，，， 所以曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ， 当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 当时，，得， 在区间小于0，函数单调递减， 在区间大于0，函数单调递增， 所以函数的最小值为， ，，显然，所以函数的最大值为， 综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，函数的最小值为，最大值为； 【小问3详解】 略 17. 某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量， ，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点 到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点 在曲线段上，点、 分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米. （1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； （2）求面积关于 的函数解析式； （3）试确定点 的位置，使得游乐场的面积最大. 【答案】（1） （2），. （3）点 在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大. 【解析】 【分析】（1）先以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可； （2）分别求出D在不同线段的解析式，然后计算面积； （3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定D的位置. 【小问1详解】 以为坐标原点，、所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，， 设曲线所在的抛物线方程为，，点 ， 在抛物线上， 则，解得，， 所以曲线段所在的抛物线方程为. 【小问2详解】 因为点 在曲线段上，，，所以， ∴，. 【小问3详解】 ∵，， 令，解得， 当时，，当时，， 所以时，函数单调递增，时，函数单调递减， 因此，当时，是极大值也是最大值， 即当点 在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大. 18. 在数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1） （2）①证明：由得 所以① 所以② ②-①得：③ 所以④ ④-③得，所以 即 所以数列是等差数列． ②证明：当时，由得，所以， 又，故的公差为1，所以， 所以， 即 ． 【解析】 【分析】（1）变形得到，结合，故，从而得到； （2）①化简得到，利用得到，同理可得，证明出是等差数列； ②求出，结合，得到公差，得到通项公式，所以，裂项相消法求和证明出结论. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以n=1时，， 所以数列是各项为0的常数列，即， 所以． 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】方法点睛：常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等， 根式型：等， 对数型：，且； 19. 第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从 沿曲线段运动到 点时， 点的切线也随着转动到 点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当 越接近 ，即越小，就越能精确刻画曲线 在点 处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线 在点 处的曲率.（其中，分别表示在点 处的一阶､二阶导数） （1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？ （2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围； （3）若动点 的切线沿曲线运动至点处的切线，点 的切线与 轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明. 【答案】（1） （2） （3） 由题可得， 所以曲线在点处的切线方程是， 即， 令，得，即， 显然， ， 由，知，同理， 故，从而， 设，即，所以数列是等比数列， 故，即，从而， 所以， ， ， 当时，显然； 当时，， ， 综上，. 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件求出的值，再分别求出函数的一阶导数和二阶导数，代入公式求解即可； （2）根据的奇偶性和单调性得到，根据，的奇偶性和得到在 处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，代入公式求解即可； （3）首先求出在处的切线方程，进而得到与之间的关系，构造函数得到数列是等比数列，根据的通项公式得到和，适当放缩得到，进而得到. 【小问1详解】 抛物线的焦点到准线的距离为3， ， 即抛物线方程为，即，则，， 又抛物线在点处的曲率，则， 即在该抛物线上点处的曲率为； 【小问2详解】 ， 在上为奇函数，又在上为减函数. 对于恒成立等价于对于恒成立. 又因为两个函数都是偶函数， 记，，则曲线恒在曲线上方， ，，又因为， 所以在 处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，即， 又因为，， ，，所以，解得：， 因此，的取值范围为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于理解所给新定义平均曲率，利用新定义解决函数恒成立问题；关键点之二在于新定义平均曲率与数列结合，通过切线方程转化为数列相邻项之间的关系，再构造新数列求出通项公式，最后适当放缩求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025辽宁省沈阳二中高三上学期开学考 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线， 是的导函数，当 时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线是曲线的切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于 的方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（ ） A. 不为周期函数 B. 的图象不关于点对称 C. D. 8. 已知数列满足：，，前 项和为，则下列选项错误的是（ ）（参考数据：，） A. 是单调递增数列，是单调递减数列 B. C. D. 二、多选题 9. 已知实数 满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的零点为的零点为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. 对恒成立 B. 若函数有两个不同的零点，则k的取值范围是 C. 方程恰有3个实根 D. 若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为 三、填空题 12. 已知函数则不等式的解集为__________. 13. 已知函数在上的最大值为 ，在上的最大值为 ，若，则实数 的取值范围是______． 14. 给定集合，定义中所有不同值的个数为集合 两个元素的容量，用表示. ①若，则___________； ②定义函数其中表示不超过 的最大整数，如，，当时，函数的值域为 ，若，则____________； 四、解答题 15. 已知函数 （1）若函数在内没有极值点，求实数a的取值范围； （2）若a=1时函数有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围； （3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值与最小值； （3）当时，求证：． 17. 某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量， ，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点 到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点 在曲线段上，点 、 分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为 平方米. （1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； （2）求面积 关于 的函数解析式； （3）试确定点 的位置，使得游乐场的面积 最大. 18. 在数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 19. 第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段 ，其弧长为，当动点从 沿曲线段 运动到 点时， 点的切线也随着转动到 点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段 的平均曲率；显然当 越接近 ，即越小，就越能精确刻画曲线 在点 处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线 在点 处的曲率.（其中，分别表示在点 处的一阶､二阶导数） （1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？ （2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围； （3）若动点 的切线沿曲线运动至点处的切线，点 的切线与 轴的交点为.若，，是数列的前 项和，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $