精品解析：陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

2023-2024学年度第二学期5月综合素质评价 八年级数学试题 （时间：100分钟 满分：120分 ） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若式有意义，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝3，AB的垂直平分线l交BC于点D，连接AD，则BC的长为（　　） A. 12 B. 3+3 C. 6+3 D. 6 6. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 9. 如图，在中，，、分别为、的中点，平分，交于点，若，，则的长为（　　） A. 2 B. 1 C. 4 D. 10. 如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（ ） A. 2s B. s C. 4s D. 5s 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 比较大小，若：a＜b＜0，则a2___b2.（填“＞”，“＜”或“＝”） 12. 如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为___________． 13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 14. 等腰三角形中有一个内角为，则其底角的度数是______． 15. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 16. 如图，中，，，，是内部的任意一点，连接、、，则的最小值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 分解因式： （1）x2﹣4y2； （2）2a3﹣12a2+18a． 18. （1）解不等式：； （2）解不等式组 19. 解方程：． 20. 化简求值：，其中． 21. 尺规作图：如图，在直线上求作一点，使点到射线和的距离相等． 22. 如图，在中，平分，，于点，点在上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 某校足球队需购买A、B两种品牌的足球．已知A品牌足球的单价比B品牌足球的单价高20元，且用900元购买A品牌足球的数量用720元购买B品牌足球的数量相等． （1）求A、B两种品牌足球的单价； （2）若足球队计划购买A、B两种品牌的足球共90个，A品牌足球的数量不少于63个，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买A品牌足球m个，总费用为W元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？ 24. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，，，垂足分别为E、F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期5月综合素质评价 八年级数学试题 （时间：100分钟 满分：120分 ） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 2. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴或，得不到，A选项错误，不符合题意； ∵， ∴，B选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，C选项正确，符合题意； ∵， ∴，D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了不等式的有关性质，熟练掌握不等式的有关性质是解题的关键． 3. 如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到AB的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=AC=3，BO=BD=4， 在△AOB中， 4-3<AB<4+3 ∴1<AB<7， 结合选项可得，AB的长度可能是6， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 4. 若式有意义，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得x-2≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：x-2≠0， 解得：x≠2， 故选C． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝3，AB的垂直平分线l交BC于点D，连接AD，则BC的长为（　　） A. 12 B. 3+3 C. 6+3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂直平分线的性质可得∠DAB＝∠B＝15°，可得∠ADC＝30°，易得AD＝BD＝2AC，CD＝AC，然后根据BC=BD+CD可得出结果． 【详解】解：∵AB的垂直平分线l交BC于点D， ∴AD＝DB， ∴∠B＝∠DAB＝15°， ∴∠ADC＝30°， ∵∠C＝90°，AC＝3， ∴AD＝6=BD，CD＝3． ∴BC＝BD+CD＝6+3． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、含30°直角三角形的性质以及勾股定理，综合运用各性质定理是解答此题的关键． 6. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点A的坐标，再根据不等式的解集即为直线的函数图象在直线的函数图象的下方或交点处自变量的取值范围进行求解即可． 【详解】解：把点代入到中得：， ∴， ∴， ∴由函数图象可知当时，直线的函数图象在直线的函数图象的下方或交点处， ∴关于x的不等式的解集是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，正确求出点A的坐标是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标． 【详解】解：∵，， ∴平移规律为横坐标减4，纵坐标减4， ∵， ∴点B′的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键． 8. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠C的度数，再根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵∠A＝40°，AB＝AC， ∴∠ABC=∠C=70°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠E=∠C=70°． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质和三角形的内角和定理等知识，属于基础题型，熟练掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题关键． 9. 如图，在中，，、分别为、的中点，平分，交于点，若，，则的长为（　　） A. 2 B. 1 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：在中，，，， ， 、分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：A． 10. 如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（ ） A. 2s B. s C. 4s D. 5s 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 比较大小，若：a＜b＜0，则a2___b2.（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据a，b的大小及符号，判断出a+b和a-b的符号，将原式利用平方差公式变形，再判断即可． 【详解】解：∵a＜b＜0， ∴a+b＜0，a-b＜0， ∴＞0， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是将代数式用平方差公式变形． 12. 如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为___________． 【答案】##44度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕着点A顺时针旋转后，得到， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 14. 等腰三角形中有一个内角为，则其底角的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况，为顶角或底角时，分别求解即可． 【详解】解：当为顶角时，由等腰三角形的性质可得：底角为 当为底角时，则底角的度数为，顶角的度数为 则其底角的度数为或， 故答案为：或 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，利用分类讨论的思想求解． 15. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查分式方程的解，根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：， 解得：， 关于的分式方程解为正数， ， 又 的取值范围是且； 故答案为：且． 16. 如图，中，，，，是内部的任意一点，连接、、，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】以为边作等边三角形，将绕点顺时针旋转，得到，连接，可得，，，，，则当点，点，点，点共线时，有最小值为，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，将绕点顺时针旋转，得到，连接A， 是等边三角形， ，， 将绕点顺时针旋转， ，，， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造等边三角形是本题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 分解因式： （1）x2﹣4y2； （2）2a3﹣12a2+18a． 【答案】（1）（x+2y）（x-2y）；（2）2a（a-3）2 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式计算； （2）先提公因式2a，再用完全平方公式即可． 【详解】解：（1）原式=x2-（2y）2 =（x+2y）（x-2y）； （2）原式=2a（a2-6a+9） =2a（a-3）2． 【点睛】本题考查了因式分解的方法，牢记公式是解题的关键． 18. （1）解不等式：； （2）解不等式组 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）先去分母、再去括号，移项、合并同类项，化系数为1，即可求解； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并得，， 系数化为1得：； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故原不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式（组），熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 19. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】观察可得最简公分母是，方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验即可． 【详解】解： 方程的两边同乘可得： ，解得：． 检验：把代入． ∴是方程的增根，原方程无解． 【点睛】本题主要考查解分式方程，解分式方程的思想是去分母化分式方程为整式方程，注意一定要验根． 20. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 将代入，原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的运算与二次根式的除法运算是解题的关键. 21. 尺规作图：如图，在直线上求作一点，使点到射线和的距离相等． 【答案】如图， 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线及角平分线的性质定理；作出的平分线，与直线的交点P即为所求作的点． 【详解】解：作的平分线，交直线于点P，由角平分线的性质得：点P到和的距离相等． 22. 如图，在中，平分，，于点，点在上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分，，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，再根据即可证明，即得结论； （2）证明，可得，代入数据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 某校足球队需购买A、B两种品牌的足球．已知A品牌足球的单价比B品牌足球的单价高20元，且用900元购买A品牌足球的数量用720元购买B品牌足球的数量相等． （1）求A、B两种品牌足球的单价； （2）若足球队计划购买A、B两种品牌的足球共90个，A品牌足球的数量不少于63个，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买A品牌足球m个，总费用为W元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）购买品牌足球的单价为100元，则购买品牌足球的单价为80元 （2）该队共有3种购买方案，购买63个品牌27个品牌的总费用最低，最低费用是8460元 【解析】 【分析】（1）设购买品牌足球的单价为元，则购买品牌足球的单价为元，根据用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买个品牌足球，则购买个品牌足球，根据总价单价数量，结合总价不超过8500元，以及A品牌足球的数量不少于63个，即可得出关于的一元一次不等式组，解之取其中的最小整数值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购买品牌足球的单价为元，则购买品牌足球的单价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解， ， 答：购买品牌足球的单价为100元，则购买品牌足球的单价为80元； 【小问2详解】 解：设购买个品牌足球，则购买个品牌足球， 则， 品牌足球的数量不少于63个，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元， ， 解不等式组得：， 为整数， 所以，的值为 63或64或65， 即该队共有3种购买方案， ， 随的增大而增大， 当时，最小， 时，（元， 答：该队共有3种购买方案，购买63个品牌27个品牌的总费用最低，最低费用是8460元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 24. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，，，垂足分别为E、F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴AE∥CF，， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，再证，然后证，得，即可得出结论； （2）由含角的直角三角形的性质得，则，再由全等三角形的性质得，则，然后由平行四边形面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $