湖南省长沙麓山国际实验学校2024-2025学年高三上学期第一次学情检测数学试题

2025届麓山国际高三第一次学情检测试卷 高三年级数学试卷 总分：150分 时量：120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则z的虚部为（ ）． A. 3 B. C. i D. 3. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，每题全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 下列说法中，正确的命题有（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，则 B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3 C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 D. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为16 10. 已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增 11. 如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 平面 C. 的最小值为 D. 当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则________. 13. 数列的前项和为，若，则_____________． 14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是______． 四、解答题（共77分） 15. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 25 女生 35 合计 已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为. （1）请将上述列联表补充完整； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联； （3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为，求随机变量的分布列和期望． 附：. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 如图所示，在三棱锥中，与AC不垂直，平面平面，． （1）证明：； （2）若，点M满足，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知直线与抛物线交于两点，且． （1）求； （2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 19. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列. （1）求数列的通项公式； （2）求的最小值； （3）若数列满足，对于，证明：. 2025届麓山国际高三第一次学情检测试卷 高三年级数学试卷 总分：150分 时量：120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（每小题6分，共18分，每题全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】95 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题（共77分） 【15题答案】 【答案】（1）； （2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【16题答案】 【答案】（1） 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 25 25 50 女生 35 15 50 合计 60 40 100 （2）认为是否喜欢游泳与性别无关 （3） X 0 1 2 3 P ， 【17题答案】 【答案】（1）证明：在平面中，过点P作的垂线，垂足为D． 因为平面平面ABC，且平面平面，平面， 所以平面．又因为平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，故． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）0； （3） 由（2）知，当时，，令，则， 则， 因此， 令， 于是， 两式相减得， 因此，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $