精品解析：山东省临沂市第十八中学2023-2024学年高一上学期12月阶段性测试数学试题

临沂第十八中学2023级12月份阶段性测试 数学试题 2023.12.14 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，设，则N所在的区间为（ ）（） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是单调递减的，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题.每小题5分，共20分，选对但不全得3分，不选成选错得0） 9. 设全集，集合和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列说法中正确的是（ ） A. 当为奇数时，的次方根为 B. 当为奇数时，的次方根为 C. 当为偶数时，的次方根为 D. 当为偶数时，的次方根为 11. 若对任意满足的正实数恒成立，则正整数的取值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 设函数，，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______. 14. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围___________. 15. 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度（单位：）与其耗氧量之间的关系为（其中是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于，其耗氧量至少需要______个单位． 16. 已知，，若，，使得，则实数的最大值是______. 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. 化简求值（需要写出计算过程） （1）. （2）. 18. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若，且，求的最小值. 20. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）解不等式：； （3）已知的图象在轴的上方，求实数的取值范围． 21. 某高校为举办百年校庆，需要氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有的设备每天最多可制备氦气，按计划社团必须在天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天的速度制备氦气．已知每制备氦气所需的原料成本为百元．若氦气日产量不足，日均额外成本为（百元）；若氦气日产量大于等于，日均额外成本为（百元）．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成． （1）写出总成本（百元）关于日产量的关系式 （2）当社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本． 22. 定义在上的奇函数，满足，且时，. （1）求在上的解析式； （2）判断在内的单调性，并给予证明； （3）当为何值时，关于的方程在上有实数解？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂第十八中学2023级12月份阶段性测试 数学试题 2023.12.14 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，即可求. 【详解】， ， . 故选：D 2. 设，则“”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】由且且， 故选：A． 3. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据的取值情况判断各个选项的对错即可得到答案. 【详解】选项A，若，则结论错误，故选项A错误； 选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误； 选项C，当时，，故选项C错误； 选项D，可知，，故选项D正确. 故选：D 4. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，则，即，可得， ，， 所以，函数的零点所在的区间是. 故选：B. 6. 17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，设，则N所在的区间为（ ）（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因需要判断范围的是幂的乘积形式，故可考虑两边取对数化简，先求出对数值，再转化成指数式即得. 【详解】由两边取常用对数，， 则. 故选：C. 7. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是单调递减的，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出在上单调递增，由，即可得到答案. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以的图像关于y轴对称，且. 又在上是单调递减的，所以在上单调递增. 因为，，所以: ，所以 ,即. 故选：A 8. 已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式画出草图，将问题化为的图象与直线，共有5个交点，数形结合有的图象与直线有1个交点，从而得解. 【详解】作出函数的图象如图所示， 函数，且有5个零点， 等价于有5个解，即或共有5个解， 等价于的图象与直线，共有5个交点， 由图得的图象与直线在4个交点， 所以的图象与直线有1个交点，则直线应位于直线下方， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共4小题.每小题5分，共20分，选对但不全得3分，不选成选错得0） 9. 设全集，集合和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】 化简集合M，N，计算，，，即可求解. 【详解】，， ，，故AB不正确； ，， ，，故CD正确. 故选：CD 10. 若，则下列说法中正确的是（ ） A. 当为奇数时，的次方根为 B. 当为奇数时，的次方根为 C. 当为偶数时，的次方根为 D. 当为偶数时，的次方根为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据，讨论为奇数和偶数两种情况，求出的次方根即可判断得出结果. 【详解】当为奇数时，可知的次方根只有一个，为， 当为偶数时，由于，所以的次方根有两个，为; 所以只有AD正确. 故选：AD 11. 若对任意满足的正实数恒成立，则正整数的取值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】AB 【解析】 【分析】 由已知条件可得，然后利用基本不等式求出其最小值为16，再由可求出的值，从而可求出正整数的取值 【详解】解：因为，且， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为16， 所以由，得， 因为，所以或， 故选：AB 【点睛】此题考查基本不等式的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 12. 设函数，，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理以及，可得，进而可判断ABC,根据基本不等式即可判断D. 【详解】由于函数均为定义域内的单调递增函数，故和均为定义域内的单调递增函数， ，故存在， ，故存在， 由于， 可得，且 由于，所以，故A正确， 由于，所以，故B错误，C正确， 由于， 所以， 由于，所以，故，当且仅当，即时等号成立，但，这与矛盾，故等号取不到，所以，故D错误， 故选:AC 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据单调性可确定每一段区间内的单调性及分段处函数值的大小关系，由此可构造不等式组求得结果. 【详解】在上单调递增，，解得：， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数复合函数的单调性求参. 【详解】令， 因为单调递减，所以单调递减，故, 又因为， 所以，所以. 故答案为：. 15. 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度（单位：）与其耗氧量之间的关系为（其中是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于，其耗氧量至少需要______个单位． 【答案】80 【解析】 【分析】 由初始值求得，然后再由求得的最小值． 【详解】由题意，，即， 由，解得． 故答案为：80 【点睛】本题考查函数的应用，已知函数模型，只要根据已知数据求出参数值，再根据要求列式求解即可． 16. 已知，，若，，使得，则实数的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据恒成立和能成立的思想可知，根据指数函数、对数型复合函数单调性可分别求得，由此可构造不等式求得结果. 【详解】，，使得，； 在上单调递减，； 在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增，； ，解得：，则实数的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. 化简求值（需要写出计算过程） （1）. （2）. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】(1) 根据指数、根式运算的性质计算可得答案； (2) 根据指数、根式运算的性质和对数换底公式计算可得答案； 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 18. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再求出集合，最后根据交集、并集、补集的定义计算可得； （2）分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围，从而得解. 【小问1详解】 解：由，即，解得或， 所以或， 当时，， 所以， 或，. 【小问2详解】 解：因为， 当时，即，解得，符合题意； 当时，可得，解得， 综上可得的取值范围是. 19. 已知函数. （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据题意可得：和方程的两根，利用韦达定理得出 ，，将要解的不等式化简整理即可求解； (2)由可得，然后利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以和方程的两根，由韦达定理可知：， 则有，，所以不等式可化为， 因为，所以不等式可化为，解得：， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，也即，又因为，， 所以， （当且仅当和同时成立时取等，也即时取等） 所以的最小值为. 20. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）解不等式：； （3）已知的图象在轴的上方，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，解不等式可得解； （2）先判断函数的单调性，再结合单调性解不等式； （3）由已知得对恒成立，即，利用参数分离法转化为，令，即，求出最值即得解. 【小问1详解】 由题意，解得 所以的定义域为 【小问2详解】 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增． 又， 所以原不等式可化为 所以，解得 所以原不等式解集为 【小问3详解】 由题意，的图象始终在轴的上方， 即对恒成立，所以有 当时，上式显然成立； 当时， 令，因为，所以 令，，即 当时， 所以实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 21. 某高校为举办百年校庆，需要氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有的设备每天最多可制备氦气，按计划社团必须在天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天的速度制备氦气．已知每制备氦气所需的原料成本为百元．若氦气日产量不足，日均额外成本为（百元）；若氦气日产量大于等于，日均额外成本为（百元）．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成． （1）写出总成本（百元）关于日产量的关系式 （2）当社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本． 【答案】（1） （2）当社团每天制备氦气时，总成本最少，最低成本为百元 【解析】 【分析】（1）根据生产天数要求，可确定的取值范围；计算可得日产量不足和大于等于时，氦气的平均成本，由此可得关系式； （2）分别在、的情况下，利用基本不等式和二次函数求最值的方法可求得最小值，综合两种情况可得结论. 【小问1详解】 若每天生产氦气，则需生产天，，则； 若氦气日产量不足，则氦气的平均成本为百元； 若氦气日产量大于等于，则氦气的平均成本为百元； . 【小问2详解】 当时，（当且仅当，即时取等号）， 当时，取得最小值； 当时，，令，则， ，则当，即时，取得最小值； 综上所述：当社团每天制备氦气时，总成本最少，最低成本为百元. 22. 定义在上的奇函数，满足，且时，. （1）求在上的解析式； （2）判断在内的单调性，并给予证明； （3）当为何值时，关于的方程在上有实数解？ 【答案】（1）函数的解析式为. （2） 函数在上为减函数， 证明：设，则， 因为，可得，，且， 所以，即，故在内是减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，当时，得到，再结合函数的周期和奇函数的性质，即可求解； （2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）由（2）知函数在内是减函数，结合函数为奇函数，求得函数的值域进而求得实数的范围. 【小问1详解】 解：当时，， 因为函数为奇函数，可得， 当时，有，得， 又因为有周期4，可得， 因为，所以， 综上可知，函数的解析式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，函数在内是减函数，且当时，， 又因为为奇函数，可得时，， 且，所以函数的值域， 要使得关于的方程在上有实数解， 则满足或或， 即实数的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $