辽宁省沈阳市第二中学2024-2025学年高三上学期期初考试数学试卷

2024～2025辽宁省沈阳二中高三上学期开学考 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线， 是的导函数，当 时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线是曲线的切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于 的方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（ ） A. 不为周期函数 B. 的图象不关于点对称 C. D. 8. 已知数列满足：，，前 项和为，则下列选项错误的是（ ）（参考数据：，） A. 是单调递增数列，是单调递减数列 B. C. D. 二、多选题 9. 已知实数 满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的零点为的零点为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. 对恒成立 B. 若函数有两个不同的零点，则k的取值范围是 C. 方程恰有3个实根 D. 若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为 三、填空题 12. 已知函数则不等式的解集为__________. 13. 已知函数在上的最大值为，在上的最大值为 ，若，则实数 的取值范围是______． 14. 给定集合，定义中所有不同值的个数为集合两个元素的容量，用表示. ①若，则___________； ②定义函数其中表示不超过 的最大整数，如，，当时，函数的值域为，若，则____________； 四、解答题 15. 已知函数 （1）若函数在内没有极值点，求实数a的取值范围； （2）若a=1时函数有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围； （3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值与最小值； （3）当时，求证：． 17. 某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量， ，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点 到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点 在曲线段上，点、 分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为 平方米. （1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； （2）求面积 关于 的函数解析式； （3）试确定点 的位置，使得游乐场的面积 最大. 18. 在数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 19. 第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段 ，其弧长为，当动点从沿曲线段 运动到 点时，点的切线也随着转动到 点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段 的平均曲率；显然当 越接近，即越小，就越能精确刻画曲线 在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线 在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶､二阶导数） （1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？ （2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围； （3）若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点 的切线与 轴的交点为.若，，是数列的前 项和，证明. 2024～2025辽宁省沈阳二中高三上学期开学考 一、单选题 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多选题 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1）；（2）；（3）. 【16题答案】 【答案】（1） （2）当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，函数的最小值为，最大值为； （3）当时，，即证明不等式， 设， ，， 设， ，， 所以在单调递增，并且，， 所以函数在上存在唯一零点，使， 即，则在区间，，单调递减， 在区间，，单调递增， 所以的最小值为， 由，得，且， 所以， 所以，即. 【17题答案】 【答案】（1） （2），. （3）点 在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大. 【18题答案】 【答案】（1） （2）①证明：由得 所以① 所以② ②-①得：③ 所以④ ④-③得，所以 即 所以数列是等差数列． ②证明：当时，由得，所以， 又，故的公差为1，所以， 所以， 即 ． 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 由题可得， 所以曲线在点处的切线方程是， 即， 令，得，即， 显然， ， 由，知，同理， 故，从而， 设，即，所以数列是等比数列， 故，即，从而， 所以， ， ， 当时，显然； 当时，， ， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $