5.6　直线和圆的位置关系(第2课时) 同步练习 2024-2025学年鲁教版（五四制）九年级数学下册

四十一　直线和圆的位置关系(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点　圆的切线的性质及应用 1.已知☉O的直径AB与弦AC的夹角为25°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点D,则∠D等于( ) A.25° B.30° C.35° D.40° 2.如图,P为☉O外一点,PA切☉O于点A,OP=12,PA=6,则∠APO的度数为( ) A.30° B.60° C.45° D.22.5° 3.如图,直线EF与☉O相切于点C,直线EO与☉O相交于点D,连接CD.若 ∠DEF=3∠D,则∠DCF的度数为　 　.  4.小明同学测量一个圆形零件的半径时,他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上,零件与直尺、三角板均相切,测得点A与其中一个切点B的距离为3 cm,则这个零件的半径是　 　cm.  5.如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A,B,若∠AOB=90°,PA=3,则☉O的半径为　 　.  6.如图,AB是☉O的直径,半径OC⊥AB,P是AB延长线上一点,PD切☉O于点D,CD交AB于点E,判断△PDE的形状,并说明理由. 7.如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延长线于点C, (1)若∠ADE=28°,求∠C的度数; (2)若AC=6,CE=3,求☉O半径的长. 【B层 能力进阶】 8.如图,AB是☉O的直径,点P是☉O外一点,PO交☉O于点C,连接BC,PA.若 ∠P=36°,且PA与☉O相切,则此时∠B等于( ) A.27° B.32° C.36° D.54° 9.(2024·淄博期末)已知,正方形ABCD的边长为8,☉O经过A,B两点,且与边DC相切.则☉O的半径长为( ) A. B.3 C.3 D.5 10.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】如图,PM,PN分别与☉O相切于A,B两点,C是☉O上异于A,B的点,连接AC,BC.若∠P=50°,则∠ACB的大小是　 　.  11.如图,在△ABC中,AC=BC,AB是☉C的切线,切点为点D,直线AC交☉C于点E,F,且CF=AC. (1)求证:△ABF是直角三角形. (2)若AC=6,则直接写出BF的长. 12.(2023·济南市中区四模)如图,AB是☉O的直径,点E为☉O上一点,AD和过E的切线互相垂直,垂足为D,切线DE交AB的延长线于点C. (1)若∠DEA=66°,求∠C的度数; (2)若∠C=30°,AB=6,求AD的长. 【C层 创新挑战(选做)】 13.如图,D是以AB为直径的☉O上一点,过点D的切线DE交AB的延长线于点E,过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C,垂足为点F. (1)求证:AB=CB; (2)若AB=18,sin A=,求EF的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四十一　直线和圆的位置关系(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点　圆的切线的性质及应用 1.已知☉O的直径AB与弦AC的夹角为25°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点D,则∠D等于(D) A.25° B.30° C.35° D.40° 2.如图,P为☉O外一点,PA切☉O于点A,OP=12,PA=6,则∠APO的度数为(A) A.30° B.60° C.45° D.22.5° 3.如图,直线EF与☉O相切于点C,直线EO与☉O相交于点D,连接CD.若 ∠DEF=3∠D,则∠DCF的度数为　72°　.  4.小明同学测量一个圆形零件的半径时,他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上,零件与直尺、三角板均相切,测得点A与其中一个切点B的距离为3 cm,则这个零件的半径是　3　cm.  5.如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A,B,若∠AOB=90°,PA=3,则☉O的半径为　3　.  6.如图,AB是☉O的直径,半径OC⊥AB,P是AB延长线上一点,PD切☉O于点D,CD交AB于点E,判断△PDE的形状,并说明理由. 【解析】△PDE是等腰三角形. 理由是:连接OD, ∵OC⊥AB, ∴∠CEO+∠OCE=90°, ∵OC=OD,∴∠OCE=∠ODE, ∵PD切☉O于点D, ∴∠ODE+∠PDE=90°, ∵∠OEC=∠PED, ∴∠PDE=∠PED, ∴PD=PE,∴△PDE是等腰三角形. 7.如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延长线于点C, (1)若∠ADE=28°,求∠C的度数; (2)若AC=6,CE=3,求☉O半径的长. 【解析】(1)如图,连接OA, ∵∠ADE=28°, ∴由圆周角定理得:∠AOC=2∠ADE=56°, ∵AC切☉O于A, ∴∠OAC=90°, ∴∠C=180°-∠AOC-∠OAC=180°-56°-90°=34°; (2)设OA=OE=r, 在Rt△OAC中,由勾股定理得:OA2+AC2=OC2, 即r2+62=(r+3)2, 解得:r=. 答:☉O半径的长是. 【B层 能力进阶】 8.如图,AB是☉O的直径,点P是☉O外一点,PO交☉O于点C,连接BC,PA.若 ∠P=36°,且PA与☉O相切,则此时∠B等于(A) A.27° B.32° C.36° D.54° 9.(2024·淄博期末)已知,正方形ABCD的边长为8,☉O经过A,B两点,且与边DC相切.则☉O的半径长为(D) A. B.3 C.3 D.5 10.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】如图,PM,PN分别与☉O相切于A,B两点,C是☉O上异于A,B的点,连接AC,BC.若∠P=50°,则∠ACB的大小是　65°或115°　.  11.如图,在△ABC中,AC=BC,AB是☉C的切线,切点为点D,直线AC交☉C于点E,F,且CF=AC. (1)求证:△ABF是直角三角形. (2)若AC=6,则直接写出BF的长. 【解析】(1)如图,连接CD,则CF=CD, ∵AB是☉C的切线. ∴CD⊥AB,∠ADC=∠BDC=90°, ∵CF=AC,∴CD=CF=AC, ∴∠A=30° ∵AC=BC,∴∠ABC=∠A=30°, ∴∠ACB=120°, ∴∠BCD=∠BCF=60°, 又∵BC=BC,∴△BCD≌△BCF(SAS), ∴∠BFC=∠BDC=90°, ∴△ABF是直角三角形. (2)∵AC=BC,CD⊥AB,∴AD=BD=BF, 在Rt△ACD中,∵∠A=30°,AC=6, ∴CD=AC=3, ∴AD=CD=3. ∴BF=3. 12.(2023·济南市中区四模)如图,AB是☉O的直径,点E为☉O上一点,AD和过E的切线互相垂直,垂足为D,切线DE交AB的延长线于点C. (1)若∠DEA=66°,求∠C的度数; (2)若∠C=30°,AB=6,求AD的长. 【解析】(1)连接OE, ∵DC为☉O的切线, ∴OE⊥DC, ∴∠OED=90°. 又∵∠DEA=66°, ∴∠OEA=90°-66°=24°. ∵OA=OE, ∴∠AEO=∠OAE=24°, ∴∠EOC=∠OAE+∠AEO=48°, ∴∠C=90°-∠EOC=90°-48°=42°. (2)连接BE, ∵∠C=30°,∠OEC=90°, ∴∠EOC=60°. ∵OE=OB, ∴△BOE为等边三角形, ∴∠ABE=60°, ∴∠EAB=30°. ∵AB=6, ∴BE=AB=3, ∴AE===3. ∵AD⊥DC,OE⊥DC, ∴AD∥OE, ∴∠DAE=∠AEO=30°, ∴DE=AE=, ∴AD=DE=×=. 【C层 创新挑战(选做)】 13.如图,D是以AB为直径的☉O上一点,过点D的切线DE交AB的延长线于点E,过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C,垂足为点F. (1)求证:AB=CB; (2)若AB=18,sin A=,求EF的长. 【解析】(1)连接OD,如图, ∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE. ∵BC⊥DE, ∴OD∥BC. ∴∠ODA=∠C, ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠A. ∴∠A=∠C. ∴AB=BC. (2)连接BD,则∠ADB=90°,如图, 在Rt△ABD中, ∵sin A==,AB=18, ∴BD=6. ∵OB=OD, ∴∠ODB=∠OBD. ∵∠OBD+∠A=∠FDB+∠ODB=90°, ∴∠A=∠FDB. ∴sin A=sin∠FDB. 在Rt△BDF中, ∵sin∠BDF==,∴BF=2. 由(1)知,OD∥BF, ∴△EBF∽△EOD. ∴=.即=. 解得BE=. ∴EF==. 学科网（北京）股份有限公司 $$