【每日一练】2024-2025学年苏科版八年级数学上册第一周

第一周 周一 全等图形 1．如果两个图形全等，则这个图形必定是（　　） A．形状相同，但大小不同 B．形状大小均相同 C．大小相同，但形状不同 D．形状大小均不相同 2．下列各组中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 4．如图，图②③④⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形是全等形的有 　　．（填序号） 5．如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD＝0.5cm，BC＝1cm，则AF＝　 　cm． 【拓展思考】 6．将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种． 第一周 周二 全等三角形的性质 1．如图，若△ABC≌△DFE，AC＝6，GE＝4，则DG的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，△ABC≌△DEF，若∠A＝100°，∠F＝47°，则∠E的度数为（　　） A．100° B．53° C．47° D．33° 3．已知△ABC的周长为15，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为 　 　． 4．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，∠E＝115°，∠B＝28°，∠DAC＝50°，则∠DGF＝　 　°． 5．如图，A、D、E三点在同一条直线上，且△ABD≌△CAE． （1）若DB＝6，CE＝4，求DE； （2）若BD∥CE，求∠BAC． 【拓展思考】 6．如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于F，交ED于G，且∠CAD＝30°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝130°，求∠DFB和∠DGB的度数． 第一周 周三 “SAS”证全等及全等的应用 1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（　　） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 2．如图，B、C、D、E在同一条直线上，AB∥EF，BC＝DE，AB＝EF，求证：AC＝DF． 3．如图，CA平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠BAE＝50°，求∠EAC的度数． 4．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE交DE于F． （1）求证：△ACD≌△EBC； （2）若∠A＝α°，∠BCE＝β°，则∠DCF的度数为 　 　．（用α，β表示） 【拓展思考】 5．如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM． （1）求证：BE＝AC； （2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论． 第一周 周四 “ASA”证全等及全等的应用 1．如图，∠A＝∠D，OA＝OD，∠DOC＝50°，∠DBC的度数为（　　） A．50° B．30° C．45° D．25° 2．如图，点E在△ABC的外部，点D在边BC上，DE交AC于点F．若∠1＝∠2，∠B＝∠ADE，AB＝AD，则（　　） A．△ABC≌△AFE B．△AFE≌△ADC C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE 3．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事． A．① B．② C．③ D．①③ 4．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为　 　． 5．如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 　 　． 【拓展思考】 6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是直线AB上的一动点（不和A，B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F． （1）点D在边AB上时，试探究线段BD，AB和AF的数量关系，并证明你的结论； （2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出正确结论． 第一周 周五 “AAS”证全等及全等的应用 1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 2．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE＝EF，AB∥EF，AD平分∠BAE，CE＝2，AB＝9，则CF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，∠A＝∠E，AC⊥BE，AB＝EF，BE＝25，CF＝8，则AC＝　 　． 4．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，EF⊥AC，BG⊥AC，DH⊥AC垂足分别是F、G、H，请按照图中所标注的数据：EF＝6，BG＝3，DH＝4．计算图中实线所围成的图形的面积S是　 　． 5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线． （1）求证：AF＝DC； （2）连接DF，交AC于点O．你发现线段AC，DF有何关系？证明你的结论． 【拓展思考】 6．已知△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G． （1）如图1，若△ABC为锐角三角形，∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC，②FG+CD＝AD． （2）如图2，当∠ABC为135°时，写出FG，CD，AD之间的等量关系，说明相应理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一周 周一 全等图形 1．如果两个图形全等，则这个图形必定是（　　） A．形状相同，但大小不同 B．形状大小均相同 C．大小相同，但形状不同 D．形状大小均不相同 【分析】根据全等图形的定义，能够完全重合的两个图形是全等图形解答即可． 【解答】解：如果两个图形全等，则这个图形必定是形状大小完全相同． 故选：B． 【点评】本题主要考查了全等图形的定义，是基础题，比较简单． 2．下列各组中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【解答】解：A、两个图形不全等，故此选项不合题意； B、两个图形不全等，故此选项不合题意； C、两个图形全等，故此选项符合题意； D、两个图形不全等，故此选项不合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等图形的定义，是基础题，比较简单，准确识图即可． 3．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【解答】解：全等的两个图形是①和③， 故选：B． 【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念． 4．如图，图②③④⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形是全等形的有 　　．（填序号） 【分析】本题可通过旋转，看后边四个实线图形能和①中图形完全重合的便是①的全等形． 【解答】解：②以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后，两个实线图形刚好重合， ③可上下反转成②的情况，然后旋转可和①中图形完全重合， ④中为平行四边形，而①中为梯形，所以不能和①中图形完全重合， ⑤中为直角梯形，而①中不是直角梯形，所以不能和①中图形完全重合， 故答案为：②③． 【点评】本题考查了全等图形，关键为会通过图形的反转和旋转使他们全等． 5．如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD＝0.5cm，BC＝1cm，则AF＝　6　cm． 【分析】由图形知，所示的图案是由梯形ABCD和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等则重合的性质有AF＝4AD+4BC＝4×0.5+4×1＝6cm． 【解答】解：由题可知，图中有8个全等的梯形，所以AF＝4AD+4BC＝4×0.5+4×1＝6cm． 【点评】考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键是找清相互重合的对应边． 【拓展思考】 6．将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种． 【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形． 【解答】解：如图所示，（答案不唯一） 【点评】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形． 第一周 周二 全等三角形的性质 1．如图，若△ABC≌△DFE，AC＝6，GE＝4，则DG的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据全等三角形的性质判断即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DFE， ∴DE＝AC＝6， ∴DG＝DE﹣GE＝6﹣4＝2， 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 2．如图，△ABC≌△DEF，若∠A＝100°，∠F＝47°，则∠E的度数为（　　） A．100° B．53° C．47° D．33° 【分析】根据全等三角形的性质得出∠D＝∠A＝100°，再根据三角形内角和定理即可得出∠E的度数 【解答】解：∵△ABC≅△DEF，∠A＝100°， ∴∠D＝∠A＝100°， 在△DEF中，∠F＝47°， ∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠E＝33°， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 3．已知△ABC的周长为15，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为 　3　． 【分析】根据全等三角形周长相等可列方程3+（3x﹣2）+（2x﹣1）＝15，求解即可得出答案． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴两三角形的周长相等， ∴3+（3x﹣2）+（2x﹣1）＝15， 解得：x＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形周长相等是解题的关键． 4．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，∠E＝115°，∠B＝28°，∠DAC＝50°，则∠DGF＝　87　°． 【分析】根据“全等三角形对应角相等”和三角形内角和定理先求出∠AFC的度数，再根据“对顶角相等”和三角形内角和定理即可求得∠DGF的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠D＝28°，∠ACB＝∠E＝115°， ∴∠ACG＝65°， ∵∠DAC＝50°， ∴∠AFC＝∠GFD＝65°， ∴∠DGF＝180°﹣∠D﹣∠DFG＝87°． 故答案为：87． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．如图，A、D、E三点在同一条直线上，且△ABD≌△CAE． （1）若DB＝6，CE＝4，求DE； （2）若BD∥CE，求∠BAC． 【分析】（1）根据△ABD≌△CAE，BD＝6，CE＝4得BD＝AE＝6，AD＝CE＝4，即可得； （2）根据BD∥CE得∠BDE＝∠CEA，根据△ABD≌△CAE得∠ADB＝∠CEA，∠ABD＝∠CAE，则∠ADB＝∠BDE，根据ADB+∠BDE＝180°得∠ADB＝90°，可得∠ABD+∠BAD＝90°，即可得； 【解答】解：（1）∵△ABD≌△CAE，BD＝6，CE＝4， ∴BD＝AE＝6，AD＝CE＝4， ∴DE＝AE﹣AD＝2； （2）∵BD∥CE， ∴∠BDE＝∠CEA， ∵△ABD≌△CAE， ∴∠ADB＝∠CEA，∠ABD＝∠CAE， ∴∠ADB＝∠BDE， ∵ADB+∠BDE＝180°， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD＝90°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，掌握全等三角形的性质，平行线的性质是解题的关键． 【拓展思考】 6．如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于F，交ED于G，且∠CAD＝30°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝130°，求∠DFB和∠DGB的度数． 【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝130°，则可计算出∠BAC＝50°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝80°，根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝105°，∠DGB＝80°． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠EAB＝130°， ∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝130°， ∵∠CAD＝30°， ∴∠BAC（130°﹣30°）＝50°， ∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝80°， ∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝80°+25°＝105°； ∵∠DFB＝∠D+∠DGB， ∴∠DGB＝105°﹣25°＝80°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． 第一周 周三 “SAS”证全等及全等的应用 1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（　　） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【分析】延长AD到点E，使DE＝AD，连接EC，根据三角形的中线定义可得CD＝BD，然后利用SAS证明△ADB≌△△EDC，从而可得AB＝EC＝6，最后在△ACE中，利用三角形的三边关系进行计算即可解答． 【解答】解：延长AD到点E，使DE＝AD，连接EC， ∵AD是边BC上的中线， ∴CD＝BD， ∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ADB≌△△EDC（SAS）， ∴AB＝EC＝6， 在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE， ∴2＜2AD＜14， ∴1＜AD＜7， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．如图，B、C、D、E在同一条直线上，AB∥EF，BC＝DE，AB＝EF，求证：AC＝DF． 【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠E，利用SAS证明△ACB≌△FDE，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：∵AB∥EF， ∴∠B＝∠E， 在△ACB和△FDE中， ， ∴△ACB≌△FDE（SAS）， ∴AC＝DF． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答． 3．如图，CA平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠BAE＝50°，求∠EAC的度数． 【分析】根据已知易证△ABC≌△ADC，然后由全等三角形的判定与性质和三角形外角的性质解题即可． 【解答】解：∵AC平分∠DCB， ∴∠BCA＝∠DCA． 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． ∴∠B＝∠D． ∴∠B+∠BCA＝∠D+∠DCA． ∵∠EAC＝∠D+∠DCA， ∴∠B+∠BCA＝∠EAC． ∵∠B+∠BCA＝180°﹣∠BAC＝180°﹣∠BAE﹣∠EAC， ∴∠EAC＝180°﹣∠BAE﹣∠EAC． 即2∠EAC＝180°﹣∠BAE． ∵∠BAE＝50°， ∴． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，证明△ABC≌△ADC是解决此题的关键． 4．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE交DE于F． （1）求证：△ACD≌△EBC； （2）若∠A＝α°，∠BCE＝β°，则∠DCF的度数为 　α°+β°　．（用α，β表示） 【分析】（1）由平行线的性质得到∠A＝∠B，由SAS即可证明△ACD≌△EBC； （2）由全等三角形的性质得到∠ADC＝∠BCE＝β°，由三角形外角的性质推出∠BCD＝∠A+∠ADC＝α°+β°，得到∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝α°+2β°，由角平分线定义即可求出∠DCF∠DCEα°+β°． 【解答】（1）证明：∵AD∥EB， ∴∠A＝∠B， 在△ACD和△EBC中， ， ∴△ACD≌△EBC（SAS）； （2）∵△ACD≌△EBC， ∴∠ADC＝∠BCE＝β°， ∴∠BCD＝∠A+∠ADC＝α°+β°， ∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝α°+2β°， ∵CF平分∠DCE， ∴∠DCF∠DCEα°+β°． 故答案为：α°+β°． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是由△ACD≌△EBC，得到∠ADC＝∠BCE＝β°，由三角形外角的性质求出∠BCD＝∠A+∠ADC＝α°+β°． 【拓展思考】 5．如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM． （1）求证：BE＝AC； （2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论． 【分析】（1）根据SAS证明△BDE≌△ADC，再根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据SAS证明△BFE≌△CFM，得到∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，由（1）得∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，即得AC＝MC，再利用直角三角形的两锐角互余得出AC⊥MC． 【解答】（1）证明；∵AD⊥BC， ∴∠BDE＝∠ADC＝90°， 在△BDE与△ADC中， ， ∴△BDE≌△ADC（SAS）， ∴BE＝AC； （2）解：AC⊥MC且AC＝MC，理由如下： ∵F为BC中点， ∴BF＝CF， 在△BFE与△CFM中， ， ∴△BFE≌△CFM（SAS）， ∴∠CBE＝∠BCM，BE＝MC， 由（1）得：∠CBE＝∠CAD，BE＝AC， ∴∠CAD＝∠BCM，AC＝MC， ∵∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠BCM+∠ACD＝90°， 即∠ACM＝90°， ∴AC⊥MC， ∴AC⊥MC且AC＝MC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用SAS证明△BDE≌△ADC是解本题的关键． 第一周 周四 “ASA”证全等及全等的应用 1．如图，∠A＝∠D，OA＝OD，∠DOC＝50°，∠DBC的度数为（　　） A．50° B．30° C．45° D．25° 【分析】由题中条件易证得△AOB≌△DOC，可得∠ACB＝∠DBC，由三角形外角的性质可得∠DOC＝∠ACB+∠DBC，即可得∠DBC的度数． 【解答】解：∵∠A＝∠D，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC， ∴△AOB≌△DOC（ASA）， ∴OB＝OC， ∴∠ACB＝∠DBC， ∵∠DOC＝∠ACB+∠DBC， ∴∠DBC∠DOC＝25°． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质等知识点，找到相应等量关系的角是解题的关键． 2．如图，点E在△ABC的外部，点D在边BC上，DE交AC于点F．若∠1＝∠2，∠B＝∠ADE，AB＝AD，则（　　） A．△ABC≌△AFE B．△AFE≌△ADC C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE 【分析】根据ASA证明△ABC≌△ADE，可得结论． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 3．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事． A．① B．② C．③ D．①③ 【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去． 【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形， 所以，最省事的做法是带③去． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 4．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为　4　． 【分析】只要证明△MQP≌△NQH，可得PQ＝QH＝5，根据MQ＝NQ＝9，即可解决问题． 【解答】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM， ∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°， ∵∠RHM＝∠QHN， ∴∠PMH＝∠HNQ， 在△MQP和△NQH中， ， ∴△MQP≌△NQH（ASA）， ∴PQ＝QH＝5， ∵NQ＝MQ＝9， ∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4， 故答案为4． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 5．如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 　6　． 【分析】先利用等角的余角相等得到∠A＝∠C，则可根据“ASA”判断△ABF≌△CBD，所以BF＝BD＝6，然后根据三角形面积公式计算图中阴影部分面积． 【解答】解：∵CB⊥AD，AE⊥CD， ∴∠ABF＝∠CBD＝90°，∠FEC＝90°， ∵∠AFB＝∠EFC， ∴∠A＝∠C， 在△ABF和△CBD中， ， ∴△ABF≌△CBD（ASA）， ∴BF＝BD， ∵BF＝BC﹣CF＝8﹣2＝6， ∴BD＝6， ∴图中阴影部分面积•FC•BD2×6＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【拓展思考】 6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是直线AB上的一动点（不和A，B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F． （1）点D在边AB上时，试探究线段BD，AB和AF的数量关系，并证明你的结论； （2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出正确结论． 【分析】（1）易证∠FBA＝∠FCE，结合条件容易证到△FAB≌△DAC，从而有FA＝DA，就可得到AB＝AD+BD＝FA+BD． （2）由于点D的位置在变化，因此线段AF、BD、AB之间的大小关系也会相应地发生变化，只需画出图象并借鉴（1）中的证明思路就可解决问题． 【解答】解：（1）AB＝FA+BD． 证明：如图1， ∵BE⊥CD即∠BEC＝90°，∠BAC＝90°， ∴∠F+∠FBA＝90°，∠F+∠FCE＝90°． ∴∠FBA＝∠FCE． ∵∠FAB＝180°﹣∠DAC＝90°， ∴∠FAB＝∠DAC． 在△FAB和△DAC中， ． ∴△FAB≌△DAC（ASA）． ∴FA＝DA． ∴AB＝AD+BD＝FA+BD． （2）（1）中的结论不成立． 点D在AB的延长线上时，AB＝AF﹣BD；点D在AB的反向延长线上时，AB＝BD﹣AF． 理由如下： ①当点D在AB的延长线上时，如图2． 同理可得：FA＝DA． 则AB＝AD﹣BD＝AF﹣BD． ②点D在AB的反向延长线上时，如图3． 同理可得：FA＝DA． 则AB＝BD﹣AD＝BD﹣AF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题． 第一周 周五 “AAS”证全等及全等的应用 1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】先根据△AEH的面积算出AE的长度，再根据全等三角形的知识算出CE的长度，由CE﹣HE即可求出CH的长度． 【解答】解：∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴S△AEHAE×EHAE＝6， ∴AE＝4， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 又∵∠AHE＝∠CHD， ∴∠EAH＝∠ECB， 在△BEC和△HEA中， ， ∴△BEC≌△HEA（AAS）， ∴AE＝CE＝4， ∴CH＝CE﹣EH＝4﹣3＝1， 故选：A． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，作这类题的关键在于准确找到判定三角形全等的条件，也要熟练运用全等三角形的性质． 2．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE＝EF，AB∥EF，AD平分∠BAE，CE＝2，AB＝9，则CF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】延长FE交AD的延长线于H．想办法证明EA＝EH＝EF，AB＝CH即可解决问题． 【解答】解：延长FE交AD的延长线于H． ∵AD平分∠BAE， ∴∠BAD＝∠HAE， ∵FH∥AB， ∴∠H＝∠BAD， ∴∠H＝∠HAE， ∴EA＝EH＝EF，设CF＝x，则EF＝EA＝EH＝x+2， ∵∠H＝∠BAD，∠HDC＝∠ADB，DC＝DB， ∴△HDC≌△ADB（AAS）， ∴AB＝CH， ∵AB＝9， ∴x+2+2＝9， ∴x＝5， 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，∠A＝∠E，AC⊥BE，AB＝EF，BE＝25，CF＝8，则AC＝　17　． 【分析】由“AAS”可证△ABC≌△EFC，可得BC＝CF＝8，AC＝CE，即可求解． 【解答】解：在△ABC和△EFC中， ， ∴△ABC≌△EFC（AAS）， ∴BC＝CF＝8，AC＝CE， ∵BE＝BC+CE＝25， ∴CE＝25﹣8＝17， ∴AC＝CE＝17， 故答案为：17． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 4．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，EF⊥AC，BG⊥AC，DH⊥AC垂足分别是F、G、H，请按照图中所标注的数据：EF＝6，BG＝3，DH＝4．计算图中实线所围成的图形的面积S是　50　． 【分析】易证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF＝BG，AG＝EF，GC＝DH，BG＝CH，即可求得梯形DEFH的面积和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面积，即可解题． 【解答】解：∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠EAF+∠AEF＝90°， ∴∠BAG＝∠AEF， ∵在△AEF和△BAG中， ， ∴△AEF≌△BAG（AAS） 同理△BCG≌△CDH， ∴AF＝BG，AG＝EF，GC＝DH，BG＝CH， ∵梯形DEFH的面积（EF+DH）•FH＝80， S△AEF＝S△ABGAF•AE＝9， S△BCG＝S△CDHCH•DH＝6， ∴图中实线所围成的图形的面积S＝80﹣2×9﹣2×6＝50， 故答案为：50 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，本题中求证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线． （1）求证：AF＝DC； （2）连接DF，交AC于点O．你发现线段AC，DF有何关系？证明你的结论． 【分析】（1）根据AAS证明△AFE和△DBE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据AAS证明△AOF和△COD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵E为AD的中点， ∴AE＝DE． ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE． 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）． ∴AF＝DB． ∵AD为BC边上的中线， ∴DC＝DB． ∴AF＝DC． （2）AC，DF互相平分． 证明：∵AF∥BC， ∴∠AFO＝∠CDO． 在△AOF和△COD中， ， ∴△AOF≌△COD（AAS）． ∴AO＝CO，FO＝DO， 即AC，DF互相平分． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，解此题的关键是推出△AFE≌△DBE，注意：全等三角形的对应边相等． 【拓展思考】 6．已知△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G． （1）如图1，若△ABC为锐角三角形，∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC，②FG+CD＝AD． （2）如图2，当∠ABC为135°时，写出FG，CD，AD之间的等量关系，说明相应理由． 【分析】（1）①根据ASA证明△BDF≌△ADC即可； ②利用全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质证明即可． （2）根据AAS证明△BDF≌△ADC，再利用全等三角形的性质证明即可． 【解答】（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝∠ABC＝45°， ∴AD＝BD； ∵∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠C＝90° 又∵∠DAC+∠C＝90°， ∴∠CBE＝∠DAC； ∵∠FDB＝∠CDA＝90°， 在△FDB和△CDA中， ， ∴△FDB≌△CDA（ASA）． ②证明：∵△FDB≌△CDA， ∴DF＝DC； ∵GF∥BC， ∴∠AGF＝∠ABC＝45°， ∴∠AGF＝∠BAD， ∴FA＝FG； ∴FG+DC＝FA+DF＝AD． （2）解：FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD． 理由：∵∠ABC＝135°， ∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形， ∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF； ∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°， ∴∠DFB＝∠DCA； 又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD， ∴△BDF≌△ADC（AAS）； ∴DF＝DC， ∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用三角形全等证明线段相等． 学科网（北京）股份有限公司 $$