4.2 整式的加法与减法&数学活动-2024-2025学年新教材七年级上册数学同步辅导（人教版2024）

4.2整式的加法与减法 第1课时合并同类项 基础过关 1.计算一2a+a的结果为 7.若代数式一4xy与x"y是同类项，则常数n A.-3a B.-a C.-3a2 D.-a2 的值为 2.下列各组中的两项是同类项的一组是( 8.若关于x的多项式a.x十b.x(ab.x≠0)合并同 A.3m2n2与-mn3 B7w与2z 类项后结果为0，则a,b满足的关系式是 C.53与a D.2x与32a 9.【敬材P96例1变式】合并同类项： 3.下列计算正确的是 (1)-7a+3a2+3a-a2+3: A.4a-2a=2 B.3a2+a=4a C.-a2-a2=-2a2 D.2a2-a=a 4.下列说法中正确的是 A号：与号y是同类项 且与分是同类项 C.0.5xy与7x2y是同类项 (2)4.xy2-3.x2y+2xy2-3xy-2. D.5m2n与-4nm”是同类项 5.【教村P96例1变式】下列整式与ab为同类 项的是 ( A.a2b B.-2ab2 C.ab D.abc 6.下列计算正确的是 ( A.4a-2a=2 B.2ab+3ba=5ab C.a+a2=a3 D.5x2y-3xy2=2xy 素养提升 1.如果单项式一x+"y与2z是同类项，那 a8与号a+是同类项，则代数 2.若-。 么a,b的值分别为 ( 式x-3)·(合+y) 2013 的值是 () A.a=2,b=3 B.a=1,b=2 C.a=1,b=3 D.a=2,b=2 A.1 B.0 C.-1 D.不能确定 3.如果关于a,b的代数式7a一6a2b+5aw3+ 9.小明看课外书，第一天看了全书的3还多 mab的值与b无关，那么 ( A.a=0 B.b=0 2页，第二天看了全书的一半，第三天看了 C.m=0 D.m=6 4.已知3.x2ym+"与2x2my3是同类项，那么m的 10页，设这本书共有y页，那么小明这三天 值为 ,n的值为 一共看了 页书. 5.若-4.xm-2y与3x3y2-是同类项，则m2十 10.【数材P97倒2交式】求多项式的值： ,n2十2m= (1)一x2十5+4x十5.x+2x2-4,其中x= 2"= 6.若a2+a=1,则-2a2一2a+2012= -2 7.已知当x=1时，2ax2十bx的值为3，则当 x=2时，a.x2十b.x的值为 8.【教材P97倒3变式】买一个篮球需要x元， (2)4.xy-3.x-3xy-2y+3.x十3y,其中x= 买一个排球需要y元，买一个足球需要：元， -3,y=2. 甲买5个篮球，7个排球，3个足球：乙买3个 篮球、6个排球、4个足球，甲、乙两人共需要 花费 元 综合探究 1.【数形结合思想】如图4-2-1（图中单位：cm), 2.【阅读理解问题】有这样一道题：当a=2024, 已知圆环内直径为acm,外直径为bcm,将 b=-2025时，求多项式7a2一6a2b+3ab+ 100个这样的圆环一个接着一个环套环地连 3a3+6a3b3a2b-10a3+2023的值. 成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度是 小明说：“本题中‘a=2024,b=一2025’是多 多少厘米？ 余的条件.”小强马上反对说：“这不可能，多 项式中含有a和b,不给出a,b的值怎么能求 出多项式的值呢？” 你同意哪名同学的观点？请说明理由， 图4-2-1 第2课时 去括号 基础过关 1.下列运算正确的是 6.若m2一2m=1,则2m2一4m十2024的值是 A.-2(a-b)=-2a-b B.-2(a-b)=-2a+b 7.将下列各式去括号，并合并同类项： C.-2(a-b)=-2a-2b (1)(2.x-5y)-(3.x-5y+1): D.-2(a-b)=-2a+2b 2.已知a一b=3,c+d=2,则(b+c)一(a一d)的 值是 ( A.-1 B.1 C.-5 D.15 3.【教材P99倒4变式】化简(a2+2a+1)一 (a2-2a十1)的结果是 ( A.2 B.4 C.4a D.2a2+2 (2)3(a2-2ab)-2(-3ab+b). 4.化简(-4x+8)-3(4-5)的结果为( A.-16.x-10 B.-16.x-4 C.56.x-40 D.14.x-10 5.若m、n互为相反数，则(3m一2n)一(2m一 3n)= 素养提升 1.下面各式中去括号结果正确的有 3.已知三角形的第一条边长是a十2b,第二条边 ①2x2-(-2x+y)=2x2+2.x+y: 长比第一条边长多b一2，第三条边长比第二 ②7a2-[3b-(a-2c)-d0=72-3b+a-2c+d: 条边长少5，这个三角形的周长为 () ③2xy2-3(-x+y)=2.xy2+3x-y: A.3a+8b+9 B.3a+8b ④-(m-2n)-(-2m2+3n2)=-m+2n十 C.3a-8b+9 D.3a+8b-9 2m2-3n2. 4.已知x=2y-的绝对值为2，则(5y+ A.1个B.2个 C.3个 D.4个 2.多项式(4xy-3.x2-xy十y2+x2)-(3xy十 5.xy-7x)-(4.x2y+5xy-7x)的值为() 2y-2.x2)的值 A或-日 B或-司 A.与x、y的取值无关B.与x、y的取值有关 C.只与x的取值有关D.只与y的取值有关 c.-或号 D或号 5.已知a,b,c三个有理数在数轴上的位置如图 7.有一道题目：“当a=2,b=一2时，求多项式 4-2-2所示，化简|a十b1一|c一b的结果是 3a形-2a2b十b-(a6-1a2b-F）十 80a方→ (a6+子a2b)-26+3的值.”甲同学做题时 图4-2-2 把a=2错抄成a=一2，乙同学没做错，但他 6若-3ry与号ry是同类项，且a>6, 们得到的结果恰好都是正确答案，你知道这 是怎么回事吗？ 求多项式3a-(2a-3b)+2(a-b)的值. 综合探究 1.【实际应用向题】某校七年级两个班的115名 【知识总结】 学生积极参与捐款活动.已知甲班。的学生每 (1)当被减数大于减数时，差大于0，即大减小 差为正：当被减数等于减数时，差等于0： 人捐了10元，乙班号的学生每人捐了10元， 当被减数小于减数时，差 0,即小 两个班其余学生每人捐了5元，设甲班有学 减大差为负 生x人，试用含x的式子表示两班捐款的总 【知识反思】 额，并进行化简. (2)如何用上述结论比较两个有理数a与b 的大小： 【知识应用】 (3)运用上面反思得到的方法解答： 设M=x2-6x+25,N=一6.x+10,比较 M与N的大小. 2.【阅读理解向题】在学习过程中，我们要善于 归纳总结和反思，根据所学知识，反思和解决 问题. 【知识呈现】 5-4=1>0:8-3=5>0:4-4=0:3-5 -2<0:10-15=-5<0. 第3课时 ◆整式加减的运算法则 基础过关 1.【教材P100例6变式】若一个多项式与3.x2十 (2)9a2-[7a2-2a-2(a2-3a)]-3. 9x的和为3.x2十4x一1，则这个多项式是 A.-5.x-1 B.5.x+1 C.-13.x-1 D.13.x+1 2.已知x一3y=-3,则5-x+3y的值是( A.0 B.2 C.5 D.8 8.【教材P101例8变式】先化简，再求值： 3.一个整式减去x一y的结果是x+y,则这个 (1)3(.x2-2x-1)-4(3.x-2)+2(x-1),其 整式为 ( 中x=一3： A.-2x B.2x C.-2y D.2y 4.比3a-2a-5少2-3a2的多项式是( A.-2a-7 B.-6a2+2a+7 C.6a2-2a+7 D.6a2-2a-7 5.如果了2-x十1与B的差是x,那么B= (2)2.x-y+(2y-x2)-(x2+2y2),其中x 1,y=-2. 6.一个多项式诚去-3.x一2等于4.x2+3.x一7， 则这个多项式是 7.化简： (1)3.x2-[7x-3(4x-3)-2x2]: 素养提升 1.下面是小芳做的一道多项式的加减运算题， 2.若5a2+3ab-b与代数式M的和是a2-ab, 她不小心把一滴墨水滴在了上面，阴影部分 则M是 () 即为被墨迹弄污的部分。 A.4a2+4ab-b2 (-x2+3ay-2-（22+y2y）月 B.4a2+2ab-b2 C.-4a2-4ab+b2 -2r■+y D.-4a2+2ab-b2 3.已知a是一个两位数，b是一个一位数(b≠ 那么被墨水遮住的一项应是 0),如果把b放置于a的左边组成一个三位 A.-7xy B.+7xy 数，则这个三位数用含a、b的整式表示为 C.-xy D.+xy 4.若多项式2x3-8x2y十x+1与多项式一2.x3+ 7.【教村P100例7变式】某工厂第一车间有 2m.x2y一6.x十7的和的值与字母y的取值无 a人，第二车间比第一车间的人数少30人. 关，则m的值为 (1)两个车间共有多少人？ 5.已知P=3.xy-8x+1,Q=x-2.xy-2,当 (2)如果从第二车间调出10人到第一车间， x≠0时，3P一2Q=7恒成立，则y的值为 那么调动后，第一车间的人数比第二车间 多多少人？ 6.如图4-2-3所示，①中多边形（边数为12）是由 正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方 形“扩展”而来的，…，以此类推，则由正n边形 “扩展”而来的多边形的边数为 图4-2-3 综合探究 1.【阅读理解问题】阅读材料： 2.【实际应用同题】有一长方体形状的物体，它 我们知道，4x-2.x+x=(4-2+1)x=3.x类似 的长、宽、高分别为a、b、c(a>b>c),有三种 地，我们把a十b看成一个整体，则4(a十b) 不同的捆扎方式（如图4-2-4所示的虚线）， 2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)= 哪种方式用绳最少？哪种方式用绳最多？说 3(a十b).“整体思想”是中学数学解题中的一 明理由。 种重要的思想方法，它在多项式的化简与求 值中应用极为广泛， 尝试应用： (1)若把(a-b)看成一个整体，则合并3(a b)2-6(a-b)2+2(a一b)2的结果是 图4-2-4 (2)若x2-2y=5,求3x-6y-23的值 (3)若a-2b=3,2b-c=-4,c-d=10,若 (a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值. 数学活动 活动1月历中的奥秘（一） 活动2自然数被3整除的规律 如图4-1所示的是某月的月历. (1)【归纳与发现】 (1)带阴影的方框中的9个数之和与方框正中 ①填空：12=3×4,1+2=3×1：69=3× 心的数有什么关系？ ,6+9=3× (2)不改变方框的大小，如果将带阴影的方框移 ②填空：312=3×104,3+1+2=3×2： 至其他几个位置试一试，你能得出什么结 504=3X ,5+0十4=3× 论？你知道为什么吗？ (2)【验证与说理】 2 5 ①试说明2325及其各个数位上的数字之和 7 9 1011 1213 都可以被3整除（是3的整数倍）： 14 15 16 18 19 20 ②设abcd是一个四位数(a,b,c,d分别为其 21 22 23 2425 26 27 千位、百位、十位、个位上的数字)，若a十 28 2930 31 b+c十d可以被3整除，试说明abcd可以 被3整除 图4-12. B 3.C 4.D 5. B 6. B 64 7.3 点拨:根据同类项定义可知2n一6,解得 n-3. 8.a十b-0 9.(1)2a-4a+3 (2)6.xy2-6x②y-2 数都是2. 【素养提升】 点拨:窗户中能射进阳光的部分的面积分 1.C 别是长方形的面积减去图中阴影部分的 2.B 面积. 点拨:由题意知:3x-1-8,x=3,3y+ 2.解:(1)摆成第1个“T”字图案需要5枚棋 子,第2个“T”字图案需要8枚棋子 3-0,故选B. (2)摆成第n个“T”字图案需要[5十3(n一 1)门枚棋子。 3.D (3)当n-2013时,5+3×(2013-1)= 4.1 2 点拨:根据同类项的定义:所含字母 6041(枚). 相同,并且相同字母的指数分别相等,可得 所以第2013个“T”字图案需要6041枚 $m-2,即m=1,m+n-3,即n-2 棋子. 5.29 36 点拨:由同类项的定义,得n-2= 点拨:先观察每一个图形,再寻找规律,因 3,7-2n-3,解得m=5,n-2.所以n^{}+$$ 为第1个“T”字图案中有5枚棋子;第2个 2-29,n}+2"-36. “T”字图案中有(5十3×1)枚棋子;第3个 6.2010 点拨:因为a^{}十a-1,所以-2a^}- “T”字图案中有(5十3×2)枚棋子,依此规 $a+2012--2(*+a)+2012--2x1+ 律可得出第n个“T”字图案中有[5十3(n一 2012-2010. 1)枚棋子,找规律问题一般应经历四个阶 7.6 点拨:将x=1代入2ax^*+bx=3,得 段:特例引路、对比分析、总结规律、反思 检验. $a+b-3,将x-2代入ax^{}+bx,得4a+$$ $ 6-2(2a+b)-2×3-6. 4.2 整式的加法与减法 (y12) 8.(8x十13y十7~) 9. 第1课时 合并同类项 【基础过关】 10.解:(1)原式=x^*}+9x十1,当x=-2时; 1.D 点拨:-2a^{}+a^{}-(-2+1)^{}=-^{} 原式--13. (2)原式=xy十v,当x=-3,y=2时,原 【素养提升】 式一一4. 1.B 点拨:①2x^{}-(-2x+y)=2^②}+2x- 【综合探究】 y;②7a{}-[3b-(a-2c)-]-7a-3+ #b-a_(99a十b)(cm). 1.解:100a+2×& (a-2c)+d-7a-3b+a-2c+d;③2x}- ## 3(-x+y)-2xy+3x -3y;④-(m-2n) 2.解:同意小明的观点:理由; -(-2m+3n^{})--n+2n+2m{}-3n^{} 原式-(7a+3a-10a③)+(-6a ^+ 故②④正确,注意:去括号时,括号前面是 $$a$b )+(-3a{b+3a^{}b)+2023-2023$ 负号,去掉负号和括号后,括号里每项都要 .该多项式的值与a,的取值无关 变号,并且括号前面的因数要与括号里每 '.小明的观点正确 一项相乘. 第2课时 去括号 2.D 点拨:化简结果为y{-2y,不含x项, 【基础过关】 故结果只与y的取值有关 3.D 点拨:由题意可得,第二条边长为a十 1.D 3b-2,第三条边长为a十3b-7.所以三角 2.A 点拨:(b十c)-(a-d)-b十c-a十d= 形的周长为(a+2b)+(a+36-2)+(a十 -(a-b)+(c+d)=-3+2--1. 3.C 36-7)=3a+86-9,故选D 4.C 4.D -x+2-12+15x-14x-10,所以选D 5.0点拨:因为n、”互为相反数,所以 $.xy-7x)-(4xr?y+5xy-7x)-5r?y+ n=0.所以(3m-2n)-(2m-3n)-3m- $xy-7x-4ry-5xy+7x=ry.又因 2n-2m+3n-m+n-0. 2- 1 6.2026 点拨:2m}-4m+2024-2(m}- 5.a十c 点拨:由数轴,得c<0<a<b,且 $m)+2024-2×1+2024-2026$ l$a <clb,所以a+b>0,c-b<0,所 7.解:(1)原式=2x-5y-3x+5y-1= 以原式=a+b-[-(c-b)]=a+b+c b-a十c. (2) 原式=3a*-6ab+6ab-2b}= 6.解:由已知得a=3,+1=1,所以a=3$ 3a?-262. 或一3,b=-2或0.又a>b,所以a=3 $=-2或0.因为3a-(2a-3)+2(a-b)= (3)解,M-N=(-6x+25)-(-6x+10) 3$a-2a+3b+2a-2b-3a+b,所以当a-3. --6x+25+6x-10 $=-2时,原式=3x3+(-2)=7;当a -x+15. 3,6-0时,原式-3×3+0-9 .2二0. 点拨;根据同类项的定义和绝对值的意义 *.^+15>0,即M-N>0. 求出a,b的值,再化简多项式,最后将a,/ .MN. 的值代入计算 第3课时 整式加减的运算法则 7.解;化简原多项式得一十b十3,此式不含 【基础过关】 字母a,故a的值抄错与否对最后的结果无 1.A 点拨:3x*+4x-1-(3x*+9x)= 影响: 3 +4t-1-3x-9x--5 -1. 【综合探究】 2.D 点拨:5-x+3y=5-(x-3y)-5- 1.解:($$×10+2×5)+[(115-)× (-3)-5+3-8. 3.B 点拨:x十y十(x-y)=x十y十x- y-2x. 化简,得(}×10+25)+[2(115-)× 4.D 点拨:根据题意可列式为(3a^{-2a-5)- ($2-3a^{)-3a^{}-2a-5-2+3a{}-6^}- 2a一7.注意去括号时,观察括号前是正数 还是负数. 6.4.*-9 点拨:由题意知(4x^*}+3x-7)+ (-3x-2)=4r+3x-7-3x-2= 点拨:这是一道紧密联系实际的应用题,先 42-9. 7.(1)5x*+5x-9 确定各数量之间的关系:两班捐款总额一 (2)4a2-4a-3 甲班捐款额十乙班捐款额,又因为甲班有工 8.解:(1)3(x2-2x-1)-4(3x-2)+2(x- 人,则乙班人数为(115一x)人,再按人数关 1)-3x-6x-3-12+8+2x-2-3x- 系列出代数式并进行化简 16.x+3,当x=-3时,原式=3×(-3)- 2.(1)< $6$(-3)+3-27+48+3-78 (2)当a-b>0时,则a>b;当a-b<0时, (2)2x-y+(2y-x”)-(r+2y)-2- 则 b;当a-b-0时,则a-b$ y+2y---2y--2x+2x-y,当$ x=1,=-2时,原式=-2x1+2x 1 (3):a-2b-3①,2b-c=-4②,c-= (-2)--2+2+2-2. 10③. 【素养提升】 .①十②,得a-c=-1; 1.C 点拨:;(-x*+3xy-)-(-+ ②+③,得26-d-6. ..(a-c)+(2b-d)-(2b-c) 47)-(-+)-+ --1+6-(-4)-9. 2.解:甲种方式所用绳长为4a十4b十8c,乙种 方式所用绳长为4a十66十6c,丙种方式所 y--xy,所以被墨水遮住的一项是-xy. 用绳长为6a+66+4c,因为a>b>c,所以 2.C 点拨:知道和与其中一个加数,求另一 乙种方式比甲种方式多用绳(4a十6十6c) 个加数用减法,注意要用括号将其括起来 -(4a+4b+8c)-2b-2c,丙种方式比乙种 列式应为(a^{}-ab)-(5a^{②}+3ab-^) 方式多用绳(6a+66十4c)-(4a+6b+6c) -ab-5a-3ab+b--4a}-4ab+$}, -2a一2c.因此,甲种方式用绳最少,丙种 故选C. 方式用绳最多 3.100b十a 点拨:用整式的加减来揭示一般性规律,体 4.4 现了数学知识在实际生活中的应用 $.2 点拨:P=3xy-8x+1,Q=x-2xy- 数学活动 2,又因为3P-2Q=3(3xv-8x+1) 活动1 2(x-2xy-2)-7恒成立,所以9xy- $ 4+3-2x+4xy+4-7,13xy-26x=0. 解:(1)3+4+5+10+11+12+17+18+ $3.x(y-2)=0.因为x去0,所以y-2=0, 19=99,99六11-9,则方框中9个数之和为 所以y-2. 方框正中心数的9倍 6.n2十n (2)9个数之和是方框正中心数的9倍 7.解:(1)a十a-30-(2a-30)(人). 设正中心的数为x,则(x-8)十(x一7)十 (2)a+10-(a-30-10)-50(人) (x-6)十(x-1)十x+(x十1)+(x+6)+ 【综合探究】 (x十7)十(x十8)-9x,所以9个数之和是方 1.解:(1)-(a-b) 框正中心数的9倍. (2)..x?-2y-5. 活动2 解:(1)①23 5 ..原式-3(x-2y)-23 ②168 3 -3×5-23 $2)①2325-21000+3100+2$t10+5$$ -15-23 -2(999+1)+3×(99+1)+2×(9+1)+5 --8. -2$999+2+3×99+3+2×9+2+5 =(2×999+3×99+2×9)+(2+3+2+5) 六次单项式,故C错;x+3x}-xy-2n -3(2×333+3×33+2×3)+3$4 是六次多项式,且有四项,故选D 因为2×333+3×33+2×3为整数,4为整 3.C 数,所以2325可以被3整除 4.A 点拨:由题意,得n-n-2n,即n=3n $$ +3+2+5-12-3×4,3×4能被3整除 故选A. 所以2325及其各个数位上的数字之和都可 5.B 点拨:合并同类项后的结果为一3x- 以被3整除. 2.故它的值只与c有关,故选B ②abcd-1000a+100b+10c+d 6.A 点拨:S阴=2x·3y-0.5y·x=6xy =a(999+1)+b(99+1)+c(9+1)+ ##_11. 1 11 -999a+a+99b+b+9c+c+d -(999a+99b+9c)+(a+b十c+d) 7.C -3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d). 1 a+26,x2-2 因为a,b,c,d为整数 所以333a+336+3c是整数. 2. 3441 3 所以3×(333a+33b+3c)能被3整除,所以 3.3x+3x-8 点拨:由题意,得(8r②+2x- 若a十b十c十d能被3整除,则abcd可以被3 $)-(5-+3)=8r^*+2x-5-5r+$$ 整除. x-3-3x+3x-8. 复习课 4.30 点拨:因为a-3b-5,所以2(a-3)^*}+$ 【综合复习】 3$-a-15-2(a-3b)-(a-3b)-15 一、1.D 点拨:A中4的a倍用代数式表示 2×5-5-15-30 为4a; 5.(6n十6) 点拨:火柴棒的根数即为图中点 B中a的4倍用代数式表示为4a 的个数. C中4个a相加用代数式表示为a十a士 6.9.x a十a-4a; 三、1.(1)ab (2)9a②-3ab D中4个a相乘用代数式表示为a·a· 2.解:(1)原式-3x^*y-7xy②},当x=-1. a.a-a. 故选D. y-2时, 2.D 点拨:3x*-x十2的一次项系数为-1, 原式=3x(-1)x2-7x(-1)×2^*}= 故A错;xyz的系数为1,故B错;a{}c是 6+28-34.