重庆市两江中学校2025届高三上学期入学考试数学模拟试题三

高2025届高三入学考试模拟试题三 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知变量x和y的统计数据如表： x 1 2 3 4 5 y 6 6 7 8 8 根据上表可得回归直线方程，据此可以预测当时，（　　） A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 5. 等差数列的前项和记为，若，，则（ ） A. 51 B. 102 C. 119 D. 238 6. 现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（ ） A. 216 B. 432 C. 864 D. 1080 7. 已知函数，则下列结论不正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 若是偶函数，则， D. 在区间上的值域为 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则的面积为 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若且有两解，则的取值范围是 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极值点为 B. 的极值点为1 C. 直线是曲线的一条切线 D. 有两个零点 11. 已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 4为的一个周期 B. 8为的一个周期 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，有理项的个数为________． 13. 已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则_________． 14. 在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为，且满足． （1）求角大小； （2）求的最大值． 16. （15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面AB，且分别为中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 17. （15分）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.已知在单位时间内，甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率分别为和，假设每次操作能否成功相互独立. （1）随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率； （2）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案： 方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作； 方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作. 假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值. 18. （17分）设椭圆E：经过点，且离心率，直线垂直x轴交x轴于T，过T的直线l1交椭圆E于，两点，连接，，． （1）求椭圆E方程； （2）设直线PA，PB的斜率分别为，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）如图：过P作x轴的垂线l，过A作PT的平行线分别交PB，l于M，N，求的值． 19．（17分）已知数列是斐波那契数列，其数值为：.这一数列以如下递推的方法定义：.数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”. (1)已知数列满足.判断是否对，总存在确定的正整数，使得数列为“阶可分拆数列”，并说明理由. (2)设数列的前项和为， （i）若数列为“阶可分拆数列”，求出符合条件的实数的值； （ii）在（i）问的前提下，若数列满足，，其前项和为.证明：当且时，成立. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2025届高三入学考试模拟试题三 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由，得， 所以，故选：A. 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点的纵坐标为，所以，所以根据三角函数的定义，得：.所以.故选：D 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为在上单调递减，则，即； 又因为在上单调递减，则，即； 可得，且在上单调递增， 则，即；综上所述：.故选：D. 4. 已知变量x和y的统计数据如表： x 1 2 3 4 5 y 6 6 7 8 8 根据上表可得回归直线方程，据此可以预测当时，（　　） A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 【答案】D 【详解】依题意，，， 即样本的中心点为，于是，解得，即， 当时，预测.故选：D 5. 等差数列的前项和记为，若，，则（ ） A. 51 B. 102 C. 119 D. 238 【答案】B 【详解】等差数列中，，，即， 所以，则.故选：B. 6. 现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（ ） A. 216 B. 432 C. 864 D. 1080 【答案】B 【详解】求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有种方法， 再把4名语文教师按分成3组，并分配到三所学校，有种方法， 最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有种方法， 由分步乘法计数原理得不同的安排种数为.故选：B 7. 已知函数，则下列结论不正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 若是偶函数，则， D. 在区间上的值域为 【答案】D 【详解】由题意， 在中， ， A项，，A正确； B项，令, 得, 当时,, 所以的图象关于点 对称,故B正确; C项，是偶函数， ∴ ， 解得：, 故C正确； D项, 当 时, , 所以, 所以在区间上的值域为，故D错误.故选：D. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【详解】设的内切圆半径为，则，，， 所以，又,，所以，即，所以，故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则的面积为 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若且有两解，则的取值范围是 【答案】ACD 【详解】选项A：中，若， 即，所以由正弦定理得， 又由余弦定理得，所以，为钝角三角形，A说法正确； 选项B：中，若，则由正弦定理得，解得， 所以或，所以或，面积或，B说法错误； 选项C：因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以，则， 又因为在单调递增，所以，C说法正确； 选项D：如图所示， 若有两解，则，解得，D说法正确； 故选：ACD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极值点为 B. 的极值点为1 C. 直线是曲线的一条切线 D. 有两个零点 【答案】BC 【详解】对A：因为，所以， 令，得；令，得， 所以在上单调递减；在上单调递增. 可知在处取得唯一极小值，也是的最小值， 所以的极值点为，故A错误，B正确； 对C：因为，， 所以在处的切线方程为， 即，故C正确． 对D：因为，，结合在上的单调性， 可知是在上的唯一零点； 当时，恒成立，故恒成立， 所以在上没有零点； 综上：只有一个零点，故D错误． 故选：BC. 11. 已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 4为的一个周期 B. 8为的一个周期 C. D. 【答案】BCD 【详解】因为和分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，，且， 又因为，所以， 即，① 用替换中的，得， 即，② 由①＋②，得， 所以函数关于中心对称，且， 由，可得， ， 所以， 所以为周期函数，8为周期，故A错误； 用替换且的，得， 又因为， 所以，所以， 所以为周期函数，8为周期，故B正确； 所以，故C正确； 又因为，即， 令，则有， 令，则有， …… 令，则有， 所以 所以，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，有理项的个数为________． 【答案】7 【详解】展开式中的第项为， 当时为有理项，共7项． 故答案为：7. 13. 已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则_________． 【答案】 【详解】函数的图象相邻对称轴之间的距离为， 则有，得，所以，则， 又函数图象关于对称，则，且，所以． 故答案为：. 14. 在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为___________. 【答案】 【详解】当三棱锥的体积最大时平面平面， 如图，取的中点为，连接，则， 设分别为外接圆的圆心， 为三棱锥的外接球的球心，则在上，在上， 且，且，平面， 平面， 因为平面平面，平面平面，平面， 故平面，故， 同理，，故四边形为平行四边形， 因为平面，平面，故， 故四边形矩形，故，而， 故外接球半径， 故外接球的表面积为， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为，且满足． （1）求角大小； （2）求的最大值． 解：【小问1详解】 由可知，． 所以． 因为，所以． 【小问2详解】 由已知 ． 因为，所以， 所以当，即时，取最大值， 所以的最大值是． 16. （15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面AB，且分别为中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 因为分别为的中点，所以， 在直角梯形中，因为，所以， 又因为平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 由平面，平面，得，又， 建立如图空间直角坐标系，设， 则，， 所以， 设平面的法向量为， 则， 取，则，即， 设平面的法向量为， 则， 取，则，即， 设平面与平面所成角为， 则， 所以. 17. （15分）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.已知在单位时间内，甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率分别为和，假设每次操作能否成功相互独立. （1）随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率； （2）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案： 方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作； 方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作. 假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值. 解：小问1详解】 用事件表示选择甲种无人运输机，用事件表示选择乙种无人运输机， 用事件表示“选中的无人运输机操作成功” 则， 【小问2详解】 设方案一和方案二操作成功的次数分别为，，则，的所有可能取值均为0，1，2， 方案一：， ， ， 所以. 方案二： ， ， ， 所以. 所以，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值. 18. （17分）设椭圆E：经过点，且离心率，直线垂直x轴交x轴于T，过T的直线l1交椭圆E于，两点，连接，，． （1）求椭圆E方程； （2）设直线PA，PB的斜率分别为，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）如图：过P作x轴的垂线l，过A作PT的平行线分别交PB，l于M，N，求的值． 解：【小问1详解】 由题意知 解得， 所以椭圆E的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）易知，，，， 设直线方程为，由直线过知， 联立方程 得， 变形得：， 即； （ⅱ）设直线的倾斜角分别为, 则，，，,，， 在中，， 在中，， 所以 由知，，即， 故. . 19．（17分）已知数列是斐波那契数列，其数值为：.这一数列以如下递推的方法定义：.数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”. (1)已知数列满足.判断是否对，总存在确定的正整数，使得数列为“阶可分拆数列”，并说明理由. (2)设数列的前项和为， （i）若数列为“阶可分拆数列”，求出符合条件的实数的值； （ii）在（i）问的前提下，若数列满足，，其前项和为.证明：当且时，成立. 【详解】（1）存在，理由如下： 由已知得，，， 即 对，当正整数时，存在，使得成立， 即数列为“阶可分拆数列”； （2）， 当时，， 当时，， （i）若数列为“阶可分拆数列”，则存在正整数使得成立， 当时，，即，解得， 当时，，即， 因，所以，又， 故方程无解. 综上所述，符合条件的实数a的值为. （ii）方法一： 证明：， 当时，， ， ， 由（i）知，所以， ①， ②， 由①-②可得 ， ， ， ， 当且时， 成立. 方法二： 证明：， 当时，， ， ， 由（i）知，所以， ①， ②， ③， 由①②③可得 ， ， 当且时， 成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$高 2025 届高三入学考试模拟试题三 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 已知复数 z满足 ( )3 4i 2 6 iz + = − ，则 z =（ ） A. 3 4 i 5 5 + B. 4 3 i 5 5 + C. 3 4 i 5 5 − D. 4 3 i 5 5 【答案】A 【详解】由 ( )3 4i 2 6 iz + = − ，得 ( ) ( )( ) 2 2 5 3 4i(2 6) ( 1) 3 4 i 3 4i 3 4i 3 4i 5 5 z −+ − = = = − + + − ， 所以 3 4 i 5 5 z = + ，故选：A. 2. 已知角 的顶点在坐标原点，始边在 x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点 P，且点 P 的纵坐标为 1 2 ，则sin 2     − =    （ ） A. 1 2 B. 1 2 − C. 3 2 D. 3 2 − 【答案】D 【详解】因为角 的顶点在坐标原点，始边在 x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象 限的点 P，且点 P 的纵坐标为 1 2 ，所以 3 1 2 2 P   −     ， ，所以根据三角函数的定义，得： 3 cos 2  = − .所以 2 s n s 2 coi 3      − =  = −   .故选：D 3. 已知 3.10.5a = ， 0.9 3og .l 0b = ， 1 3 1 log 2 c = ，则 a，b，c的大小关系为（ ） A. c b a  B. c<a<b C. b a c  D. a c b  【答案】D 【详解】因为 0.5xy = 在R 上单调递减，则 3.1 1 100. .55 2  = ，即 1 2 a  ； 又因为 0.9logy x= 在 ( )0, + 上单调递减，则 0.9 0.9log l0.3 0g 1o .9 = ，即 1b  ； 可得 1 3 3 1 log log 2 2 c = = ，且 3logy x= 在 ( )0, + 上单调递增， 则 3 3 3 1 log 3 log 2 log 3 1 2 =   = ，即 1 1 2 c  ；综上所述： a c b  .故选：D. 4. 已知变量 x和 y的统计数据如表： x 1 2 3 4 5 y 6 6 7 8 8 根据上表可得回归直线方程 0.6y x a= + ，据此可以预测当 8x = 时， y =（ ） A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 【答案】D 【详解】依题意， 1 2 3 4 5 3 5 x + + + + = = ， 6 6 7 8 8 7 5 y + + + + = = ， 即样本的中心点为 (3,7) ，于是7 0.6 3 a=  + ，解得 5.2a = ，即 0.6 5.2y x= + ， 当 8x = 时，预测 0.6 8 5.2 10y =  + = .故选：D 5. 等差数列 na 的前n项和记为 nS ，若 1 2a = ， 3 7 8a a+ = ，则 17S =（ ） A. 51 B. 102 C. 119 D. 238 【答案】B 【详解】等差数列 na 中， 1 2a = ， 3 7 52 8a a a+ = = ，即 5 4a = ， 所以 5 1 1 5 1 2 a a d − = = − ，则 17 17 16 1 17 2 102 2 2 S  =  +  = .故选：B. 6. 现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人， 要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（ ） A. 216 B. 432 C. 864 D. 1080 【答案】B 【详解】求不同的安排种数需要分成 3 步，把 3 名心理教师分配到三所学校，有 3 3A 种方 法， 再把 4 名语文教师按2:1:1分成 3 组，并分配到三所学校，有 2 3 4 3C A 种方法， 最后把 2 名数学教师分配到只有 1 名语文教师的两所学校，有 2 2A 种方法， 由分步乘法计数原理得不同的安排种数为 3 2 3 2 3 4 3 2A C A A 432  = .故选：B 7. 已知函数 ( ) 23 sin 2 cos 2 cos 2f x x x x= + ，则下列结论不正确的是（ ） A. ( )f x 的最小正周期为 π 2 B. ( )f x 的图象关于点 5π 1 , 24 2       对称 C. 若 ( )f x t+ 是偶函数，则 π π 12 4 k t = + ， Zk D. ( )f x 在区间 π 0, 4       上的值域为 0,1 【答案】D 【详解】由题意， 在 ( ) 23 sin 2 cos 2 cos 2f x x x x= + 中， ( ) 3 1 1 π 1 sin 4 cos 4 sin 4 2 2 2 6 2 f x x x x   = + + = + +    ， A 项， 2π π 4, 2 T  = = = ，A 正确； B 项，令 π 4 π 6 x k+ = , 得 π π 4 24 k x = − , 当 1k = 时, 5π 24 x = , 所以 ( )f x 的图象关于点 5π 1 , 24 2       对称,故 B 正确; C 项， π 1 ( ) sin 4 4 6 2 f x t x t   + = + + +    是偶函数， ∴ π π 4 π 6 2 t k+ = + Zk ， 解得： π π , Z 12 4 k t k= +  , 故 C 正确； D 项, 当 π 0, 4 x        时, π π 7π 4 , 6 6 6 x   +     , 所以 π 1 sin 4 ,1 6 2 x     +  −        , 所以 ( )f x 在区间 π 0, 4       上的值域为 3 0, 2       ，故 D 错误.故选：D. 8. 已知双曲线 ( ) 2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b − =   的左，右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P 在双曲线的右 支上， I 为 1 2PF F△ 的内心，记 1PF I ， 2PF I△ ， 1 2IF F△ 的面积分别为 1S ， 2S ， 3S ， 且满足 31 2 3 S S S= + ，则双曲线的离心率是（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 【答案】D 【详解】设 1 2PF F△ 的内切圆半径为 r ，则 1 1 1 2 S PF r= ， 2 2 1 2 S PF r= ， 3 1 2 1 2 S F F r= ， 所以 ( )1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 S S PF r PF r r PF PF ar− = − = − = ，又 3S cr= , 3 1 2 3 S S S− = ，所 以 1 3 ar cr= ，即 3c a= ，所以 3e = ，故选：D. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四 个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 对于 ABC 有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若 2 2 2sin sin cos 1A B C+ +  ，则 ABC 为钝角三角形 B. 若 3, 1, 30AB AC B= = = ，则 ABC 的面积为 3 2 C. 在锐角 ABC 中，不等式sin cosA B 恒成立 D. 若 π , 2 3, 3 B a= = 且 ABC 有两解，则b 的取值范围是 ( )3,2 3 【答案】ACD 【详解】选项 A： ABC 中，若 2 2 2 2 2 2sin sin cos sin sin 1 sin 1A B C A B C+ + = + + −  ， 即 2 2 2sin sin sin 0A B C+ −  ，所以由正弦定理得 2 2 2 0a b c+ −  ， 又由余弦定理得 2 2 2 cos 0 2 a b c C ab + − =  ，所以 π ,π 2 C       ， ABC 为钝角三角形，A 说 , 法正确； 选项 B： ABC 中，若 3, 1, 30AB AC B= = = ，则由正弦定理得 sin sin AC AB B C = ，解得 3 sin 2 C = ， 所以 60C = 或120，所以 90A = 或 30A = ， ABC 面积 1 3 sin 2 2 S AB AC A=   = 或 3 4 ，B 说法错误； 选项 C：因为 ABC 是锐角三角形，所以 π 2 C  ，所以 π π 2 A B C+ = −  ， 又 π , 0, 2 A B       ，所以 π 2 A B − ，则 π π 0, 2 2 B   −     ， 又因为 siny x= 在 π 0, 2       单调递增，所以 π sin sin cos 2 A B B    − =    ，C 说法正确； 选项 D：如图所示， 若 ABC 有两解，则 sina B b a  ，解得3 2 3b  ，D 说法正确； 故选：ACD 10. 已知函数 ( ) ex x f x = − ，则下列说法正确的是（ ） A. ( )f x 的极值点为 1 1, e   −    B. ( )f x 的极值点为 1 C. 直线 2 2 1 4 e e y x= − 是曲线 ( )y f x= 的一条切线 D. ( )f x 有两个零点 【答案】BC 【详解】对 A：因为 ( ) ex x f x = − ，所以 ( ) 1 ex x f x − = ， 令 ( ) 0f x  ，得 1x  ；令 ( ) 0f x  ，得 1x  ， 所以 ( )f x 在 ( ),1− 上单调递减；在 ( )1, + 上单调递增. 可知 ( )f x 在 1x = 处取得唯一极小值，也是 ( )f x 的最小值， 所以 ( )f x 的极值点为 1x = ，故 A 错误，B 正确； 对 C：因为 ( ) 2 2 2 e f = − ， ( ) 2 1 2 e f  = ， 的 所以 ( )f x 在 2x = 处的切线方程为 ( )2 2 2 1 2 e e y x+ = − ， 即 2 2 1 4 e e y x= − ，故 C 正确． 对 D：因为 ( )0 0f = ， ( ) 1 1 0 e f = −  ，结合 ( )f x 在 ( ),1− 上的单调性， 可知 0x = 是 ( )f x 在 ( ),1− 上的唯一零点； 当 1x  时，e 0x  恒成立，故 ( ) 0 ex x f x = −  恒成立， 所以 ( )f x 在 ( )1, + 上没有零点； 综上： ( )f x 只有一个零点，故 D 错误． 故选：BC. 11. 已知 ( )f x 和 ( )g x 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 ( ) ( )1 1 1f x g x+ + − = ， 则下列说法中正确的是（ ） A. 4 为 ( )f x 的一个周期 B. 8 为 ( )g x 的一个周期 C. ( )2024 0g = D. ( ) 2024 1 4 2 2024 n f n = − = 【答案】BCD 【详解】因为 ( )f x 和 ( )g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数， 所以 ( ) ( )f x f x− = ， ( ) ( )g x g x− = − ，且 ( )0 0g = ， 又因为 ( ) ( )1 1 1f x g x+ + − = ，所以 ( ) ( )2 1f x g x+ + − = ， 即 ( ) ( )2 1f x g x+ − = ，① 用 x− 替换 ( ) ( )1 1 1f x g x+ + − = 中的 x ，得 ( ) ( )1 1 1f x g x− + + = ， 即 ( ) ( )2 1f x g x− + = ，② 由①＋②，得 ( ) ( )2 2 2f x f x+ + − = ， 所以函数 ( )y f x= 关于 ( )2,1 中心对称，且 ( )2 1f = ， 由 ( ) ( )2 2 2f x f x+ + − = ，可得 ( ) ( )4 2f x f x+ + − = ， ( ) ( ) ( )4 2 2f x f x f x+ = − − = − ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( )8 2 4 2 2f x f x f x f x + = − + = − − =  ， 所以 ( )f x 为周期函数，8 为周期，故 A 错误； 用 8x+ 替换且 ( ) ( )1 1 1f x g x+ + − = 的 x，得 ( ) ( )1 8 1 8 1f x g x + + + − + =  ， 又因为 ( ) ( )1 8 1f x f x+ + = + ， 所以 ( ) ( ) ( )1 1 8 1 8g x g x g x   − = − + = − +   ，所以 ( ) ( )8g x g x+ = ， 所以 ( )g x 为周期函数，8 为周期，故 B 正确； 所以 ( ) ( ) ( )2024 253 8 0 0 0g g g=  + = = ，故 C 正确； 又因为 ( ) ( )4 2f x f x+ + − = ，即 ( ) ( )4 2f x f x+ + = ， 令 2x = ，则有 ( ) ( )2 6 2f f+ = ， 令 10x = ，则有 ( ) ( )10 14 2f f+ = ， …… 令 8090x = ，则有 ( ) ( )8090 8094 2f f+ = ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1012 2 6 10 14 8090 8094 2 2 2 2024f f f f f f+ + + + + + = + + + = 个 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2024 1 4 2 2 6 10 14 8090 8094 2024 n f n f f f f f f =  − = + + + + + + =  ， 故 D 正确． 故选：BCD. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 在 12 2 x x   −    的展开式中，有理项的个数为________． 【答案】7 【详解】展开式中的第 ( )1 0,1, ,12k k+ =  项为 ( ) 12 3 612 2 12 12 2 C 2 C k k kk k kx x x − −−    − = −      ， 当 0,2,4,6,8,10,12k = 时为有理项，共 7 项． 故答案为：7. 13. 已知三角函数 ( ) ( ) π sin 0, 0, 2 f x x       = +        的图象关于 ( ), 0 对称，且其 相邻对称轴之间的距离为 π 2 ，则 = _________． 【答案】 π 3 【详解】函数 ( ) ( ) π sin 0, 0, 2 f x x       = +        的图象相邻对称轴之间的距离为 π 2 ， 则有 π 2 2 T = ，得 2π πT  = = ，所以 2 = ，则 ( ) ( )sin 2f x x = + ， 又函数图象关于 ( ), 0 对称，则 ( ) ( )sin 3 0f  = = ，且 π 0, 2        ，所以 π 3  = ． 故答案为： π 3 . 14. 在边长为 6 的菱形 ABCD中， 3 A   = ，现将 ABD△ 沿 BD折起，当三棱锥 A BCD− 的体积最大时，三棱锥 A BCD− 的外接球的表面积为___________. 【答案】60 【详解】当三棱锥 A BCD− 的体积最大时平面 ABD ⊥平面BCD， 如图，取 BD的中点为 H ，连接 ,AH CH ，则 AH BD⊥ ， 设 1 2,O O 分别为 ,ABD BCD 外接圆的圆心， O为三棱锥 A BCD− 的外接球的球心，则 1O 在 AH 上， 2O 在CH 上， 且 1 1 2 2 2 3 3 AO O H AH= =  = ，且 2O H BD⊥ ， 1OO ⊥平面 ABD ， 2OO ⊥平面BCD， 因为平面 ABD ⊥平面BCD，平面 ABD平面BCD BD= ， AH  平面 ABD ， 故AH ⊥平面 BCD，故 2//AH O O， 同理， 1//CH O O ，故四边形 1 2O OO H 为平行四边形， 因为AH ⊥平面BCD， 2O H 平面BCD，故 2AH O H⊥ ， 故四边形 1 2O OO H 矩形，故 2 1 3OO O H= = ，而 2 2 3 6 2 3 3 2 CO =   = ， 故外接球半径 2 2 2 2 3 12 15R OO CO= + = + = ， 故外接球的表面积为4 15 60  = ， 故答案为：60 . 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤. 15. （13 分）在 ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，设 ABC 的面积为S ，且 满足 ( )2 2 2 3 4 S a b c= + − ． （1）求角C 大小； （2）求sin sinA B 的最大值． 解：【小问 1 详解】 由 ( )2 2 2 3 4 S a b c= + − 可知， 1 3 sin 2 cos 2 4 ab C ab C=  ． 所以 tan 3C = ． 因为0 πC  ，所以 π 3 C = ． 【小问 2 详解】 由已知 ( )sin sin sin sin πA B A C A= − − 2π 3 1 sin sin sin cos sin 3 2 2 A A A A A    = − = +        3 1 1 1 π 1 sin 2 cos 2 sin 2 4 4 4 2 6 4 A A A   = − + = − +    ． 的 因为 2π 0 3 A  ，所以 π π 7π 2 6 6 6 A−  −  ， 所以当 π π 2 6 2 A− = ，即 π 3 A = 时，sin sinA B 取最大值 3 4 ， 所以sin sinA B 的最大值是 3 4 ． 16. （15 分）如图，在四棱锥 P ABCD− 中，底面 ABCD为直角梯形， , ,AD BC AB AD PA⊥ ⊥∥ 底面 ABCD，且 2 2 , 2 , ,PA AB BC AD BC E F= = = 分 别为 ,PB PC 中点. （1）证明： EF 平面PAD ； （2）求平面 AEF 与平面 PBC 所成角的正弦值. 【小问 1 详解】 因为 ,E F 分别为 ,PB PC 的中点，所以 / /EF BC ， 在直角梯形 ABCD中，因为 / /AD BC ，所以 / /AD EB ， 又因为 AD 平面 ,PAD EF 平面PAD ， 所以 EF / / 平面PAD ； 【小问 2 详解】 由 PA⊥平面 ABCD， ,AB AD 平面 ABCD，得 ,PA AB PA AD⊥ ⊥ ，又 AB AD⊥ ， 建立如图空间直角坐标系，设 2AB = ， 则 ( ) ( ) ( ) ( )2,0,0 , 2,2,0 , 0,0,2 2 , 0,4,0B C P D ， ( ) ( )1,0, 2 , 1,1, 2E F ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( )1,0, 2 , 1,1, 2 , 2,2, 2 2 , 2,0, 2 2AE AF PC PB= = = − = − ， 设平面 AEF 的法向量为 ( )1 1 1, ,m x y z= ， 则 1 1 1 1 1 2 0 2 0 m AE x z m AF x y z   = + =   = + + = ， 取 1 2x = ，则 1 11, 0z y= − = ，即 ( )2,0, 1m = − ， 设平面PBC 的法向量为 ( )2 2 2, ,xn y z= ， 则 2 2 1 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 n PC x y z n PD x z   = + − =   = − = ， 取 2 2z = ，则 2 22, 0x y= = ，即 ( )2,0, 2n = ， 设平面 AEF 与平面PBC 所成角为， 则 2 2 2 1 cos cos , 32 1 4 2 m n m n m n  − = = = = +  + ， 所以 2 2 2 sin 1 cos 3  = − = . 17. （15 分）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新 企业.该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴 熟，才能发挥更大的作用.已知在单位时间内，甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率 分别为 3 4 和 1 2 ，假设每次操作能否成功相互独立. （1）随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率； （2）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案： 方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次 继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作； 方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第 二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作. 假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值. 解： 小问 1 详解】 用事件 1A 表示选择甲种无人运输机，用事件 2A 表示选择乙种无人运输机， 用事件 B 表示“选中的无人运输机操作成功” 则 1 1 2 2( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A P B A P A P B A= + ， 1 3 1 1 5 2 4 2 2 8 =  +  = 【小问 2 详解】 设方案一和方案二操作成功的次数分别为 X ，Y ，则 X ，Y 的所有可能取值均为 0，1， 2， 方案一： ( ) 1 3 1 1 1 3 1 0 1 1 1 1 2 4 2 2 2 4 8 P X         = =  −  − +  −  − =                ， ( ) 1 3 1 1 3 3 1 1 3 1 1 1 15 1 1 1 1 1 2 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 32 P X         = =  −  +   − +  −  +   − =                ， ( ) 1 3 3 1 1 1 2 2 4 4 2 2 1 2 3 3 2 P X = =   +   = ， 所以 ( ) 1 15 13 0 1 2 8 32 32 32 41 E X =  +  +  = . 方案二： ( ) 3 1 3 3 1 1 1 5 0 1 1 1 1 2 4 4 2 22 2 P Y         = =  −  − +  −  − =                ， ( ) 1 12 2 1 3 3 1 1 1 1 C 1 C 1 2 4 4 2 2 2 7 16 P Y     = =   −  +   −  =        ， ( ) 1 3 3 1 1 1 2 2 4 4 2 2 1 2 3 3 2 P Y = =   +   = ， 所以 ( ) 5 7 13 0 1 2 32 16 32 4 5 E Y =  +  +  = . 所以 ( ) ( )E X E Y ，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期 望值. 18. （17 分）设椭圆 E： 2 2 2 2 1 x y a b + = ( )0a b  经过点 ( )2, 1P − ，且离心率 2 2 e = ，直 线 : 3m x = 垂直 x轴交 x轴于 T，过 T的直线 l1 交椭圆 E于 ( )1 1,A x y ， ( )2 2,B x y 两点，连 接 PA ， PB ， PT ． （1）求椭圆 E 方程； （2）设直线 PA，PB的斜率分别为 1k ， 2k ． （ⅰ）求 1 2k k+ 的值； （ⅱ）如图：过 P作 x轴的垂线 l，过 A作 PT的平行线分别交 PB，l于 M，N，求 | | | | MN MA 的 值． 解：【小问 1 详解】 由题意知 2 2 2 2 2 4 1 1 2 2 a b c a a b c  + =   =  = +   解得 6a = ， 3b c= = 所以椭圆 E的方程为 2 2 1 6 3 x y + = ； 【小问 2 详解】 （ⅰ）易知 ( )3,0T ， 1PTk = ， 1 1 1 1 2 y k x + = − ， 2 2 2 1 2 y k x + = − ， 设直线 1l 方程为 ( ) ( )2 1 1m x n y− + + = ，由直线 1l 过 ( )3,0T 知 1m n+ = ， 的 的 联立方程 ( ) ( ) 2 2 1 6 3 2 1 0 x y m x n y  + =   − + + = 得 ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 2 2 2 4 1 4 4 2 1 1 4 2 0n y n m x y m x− + + − − + + + − = ， 变形得： ( ) ( ) 2 1 1 2 4 4 4 1 4 0 2 2 y y n n m m x x + +  − + − + + =  − −  ， 即 ( ) 1 2 4 4 14 4 8 4 2 4 2 4 2 4 2 n nn m n k k n n n − −− − + = = = = − − − ； （ⅱ）设直线 ,PA PB的倾斜角分别为 ,  , 则 1 tank = ， 2 tank = ， 5π 4 NMP  = − ， π 2 MPN  = − , π 4 PAN  = − ， π 2 APN  = − ， 在 PMN 中， π sin sin πsin 2 sin 4 PN PN MN MPN NMP     =  = −      −    ， 在 PAN△ 中， π sin sin πsin 2 sin 4 PN PN AN APN PAN     =  = −      −    ， 所以 ( ) ( ) π π 2sin sin cos sin cos tan 12 4 2 π π tan 12 sin sin cos sin cos 4 2 2 MN AN                 −  − −  −    −   = = = − −    −  −  −        由 1 2 2k k+ = 知， tan tan 2 + = ，即 tan 1 1 tan 1   − = − − ， 故 1 MN AN = . . 19．（17 分）已知数列 na 是斐波那契数列，其数值为：1,1,2,3,5,8,13, 2134      , .这一数列 以如下递推的方法定义： 1 2 2 11 1 n n na a a a a+ += = = +， ， *( )nN .数列 nb 对于确定的正整数 k ，若存在正整数n使得 k n k nb b b+ = + 成立，则称数列 nb 为“ k 阶可分拆数列”. (1)已知数列 nc 满足 n nc ma= *n m N R（ ， ）.判断是否对 m R，总存在确定的正整数 k ，使得数列 nc 为“ k 阶可分拆数列”，并说明理由. (2)设数列{ }nd 的前n项和为 3 n nS a= − ( )0a  ， （i）若数列{ }nd 为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a的值； （ii）在（i）问的前提下，若数列 nf 满足 n n n a f S = ， *nN ，其前n项和为 nT .证明：当 *nN 且 3n  时， 2 2 2 2 1 2 3 1 1n n n nT a a a a a a + + + + + − + 成立. 【详解】（1）存在，理由如下： 由已知得 1 1a = ， 2 1a = ， 3 1 2 2a a a= + = ， 1 2 3, , 2 ,c m c m c m = = = 3 1 2+ ,c c c = 即 1+2 1 2+ ,c c c= 对 m R，当正整数 =1k 时，存在 =2n ，使得 k n k nc c c+ = + 成立， 即数列 nc 为“1阶可分拆数列”； （2） 3nnS a= − ， 当 1n = 时， 1 3d a= − ， 当 2n  时， 1 11 (3 ) (3 ) 2 3 n n n n n nd S S a a − − −= − = − − − =  ， （i）若数列{ }nd 为“1阶可分拆数列”，则存在正整数n使得 1 1n nd d d+ = + 成立， 当 1n = 时， 2 1 1d d d= + ，即 ( )6 2 3 a= − ，解得 0a = ， 当 2n  时， ( ) 12 3 3 +2 3n na − = −  ，即 14 3 3n a− = − ， 因 0a  ，所以3 3a−  ，又 14 3 12n−  ， 故方程 14 3 3n a− = − 无解. 综上所述，符合条件的实数 a 的值为 0 . （ii）方法一： 证明： * 2 1 , ( )n n na a a n+ += + N ， 当 2n  时， ( )2 1 1 1 1n n n n n n n na a a a a a a a+ − + −= − = − ，  2 2 2 2 1 2 3 na a a a+ + + + ( ) ( ) ( )21 2 3 2 1 3 4 3 2 4 5 4 3+ + +a a a a a a a a a a a a a= + − − + −    ( )1 1n n n na a a a+ −− 2 1 2 1=a a a− 1+ n na a + 1= n na a + ， 2 2 2 2 1 2 3 1 1=1n n na a a a a a + + + ++ − + ， 由（i）知 3 n nS = ，所以 3 n n n a f = ， 3 11 2 1 2 3 1 = + + + + 3 3 3 3 3n n n n n a a aa a T − −   + ①， 3 11 2 2 3 4 +1 1 = + + + + 3 3 3 3 3 3 n n n nn a a aa a T −      + ②， 由①-②可得 3 2 4 3 11 2 11 2 3 4 +1 2 = + + + + 3 3 3 3 3 3 3 n n n n nn a a a a a a aa a a T − − −   − −+ − 21 2 3 4 +1 1 = + + + 3 3 3 3 3 n n n n a aa a −    −+ 1 2 2 2 1 2 2 +1 1 1 = + + + 3 3 3 3 3 3 n n n n a a a a− −    −   +（ ） -22 +1 1 1 = + 3 3 3 n n n a T − ， +12 < 0 3 n n n n a T T−  ， ， -22 +1 2 2 1 1 1 1 = + + 3 3 3 3 3 3 n n n nn a T T T−  ， 3 1 5 nT   ， 当 *nN 且 3n  时， 2 2 2 2 1 2 3 1 1n n n nT a a a a a a + + + + + − + 成立. 方法二： 证明： * 2 1 , ( )n n na a a n+ += + N ， 当 2n  时， ( )2 1 1 1 1n n n n n n n na a a a a a a a+ − + −= − = − ，  ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 2 1 3 4 3 2 4 5 4 3= + + + +na a a a a a a a a a a a a a a a a+ + +    + − − + −    ( ) ( ) ( )21 2 3 2 1 3 4 3 2 4 5 4 3= + + +a a a a a a a a a a a a a+ − − + −    ( )1 1n n n na a a a+ −− 2 1 2 1=a a a− 1+ n na a + 1= n na a + ， 2 2 2 2 1 2 3 1 1=1n n na a a a a a + + + ++ − + ， 由（i）知 3 n nS = ，所以 3 n n n a f = ， 3 11 2 1 2 3 1 = + + + + 3 3 3 3 3n n n n n a a aa a T − −   + ①， 3 11 2 2 3 4 +1 1 = + + + + 3 3 3 3 3 3 n n n nn a a aa a T −      + ②， 1 2 3 2 1 2 3 4 5 +1 +2 1 = + + + + + 3 3 3 3 3 3 3 n n n n n n n a a a a a a T − −      + ③， 由①−②−③可得 1 2 1 1 1 2 2 +1 +1 +2 5 = + 9 3 3 3 3 3 3 n n n nn n n a a a a a a T −− − − − 1 +1 +1 +2 1 1 = 3 3 3 3 3 n n n n n n a a a−− − − ， 3 1 5 nT   ， 当 *nN 且 3n  时， 2 2 2 2 1 2 3 1 1n n n nT a a a a a a + + + + + − + 成立. 1 高 2025 届高三入学考试模拟试题三 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 已知复数 z满足 ( )3 4i 2 6 iz + = − ，则 z =（ ） A. 3 4 i 5 5 + B. 4 3 i 5 5 + C. 3 4 i 5 5 − D. 4 3 i 5 5 2. 已知角 的顶点在坐标原点，始边在 x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点 P，且点 P 的纵坐标为 1 2 ，则sin 2     − =    （ ） A. 1 2 B. 1 2 − C. 3 2 D. 3 2 − 3. 已知 3.10.5a = ， 0.9 3og .l 0b = ， 1 3 1 log 2 c = ，则 a，b，c的大小关系为（ ） A. c b a  B. c<a<b C. b a c  D. a c b  4. 已知变量 x和 y的统计数据如表： x 1 2 3 4 5 y 6 6 7 8 8 根据上表可得回归直线方程 0.6y x a= + ，据此可以预测当 8x = 时， y =（ ） A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 5. 等差数列 na 的前n项和记为 nS ，若 1 2a = ， 3 7 8a a+ = ，则 17S =（ ） A. 51 B. 102 C. 119 D. 238 6. 现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人， 要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（ ） A. 216 B. 432 C. 864 D. 1080 7. 已知函数 ( ) 23 sin 2 cos 2 cos 2f x x x x= + ，则下列结论不正确的是（ ） A. ( )f x 的最小正周期为 π 2 B. ( )f x 的图象关于点 5π 1 , 24 2       对称 C. 若 ( )f x t+ 是偶函数，则 π π 12 4 k t = + ， Zk D. ( )f x 在区间 π 0, 4       上的值域为 0,1 2 8. 已知双曲线 ( ) 2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b − =   的左，右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P 在双曲线的右 支上， I 为 1 2PF F△ 的内心，记 1PF I ， 2PF I△ ， 1 2IF F△ 的面积分别为 1S ， 2S ， 3S ， 且满足 31 2 3 S S S= + ，则双曲线的离心率是（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四 个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 对于 ABC 有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若 2 2 2sin sin cos 1A B C+ +  ，则 ABC 为钝角三角形 B. 若 3, 1, 30AB AC B= = = ，则 ABC 的面积为 3 2 C. 在锐角 ABC 中，不等式sin cosA B 恒成立 D. 若 π , 2 3, 3 B a= = 且 ABC 有两解，则b 的取值范围是 ( )3,2 3 10. 已知函数 ( ) ex x f x = − ，则下列说法正确的是（ ） A. ( )f x 的极值点为 1 1, e   −    B. ( )f x 的极值点为 1 C. 直线 2 2 1 4 e e y x= − 是曲线 ( )y f x= 的一条切线 D. ( )f x 有两个零点 11. 已知 ( )f x 和 ( )g x 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 ( ) ( )1 1 1f x g x+ + − = ， 则下列说法中正确的是（ ） A. 4 为 ( )f x 的一个周期 B. 8 为 ( )g x 的一个周期 C. ( )2024 0g = D. ( ) 2024 1 4 2 2024 n f n = − = 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 在 12 2 x x   −    的展开式中，有理项的个数为________． 3 13. 已知三角函数 ( ) ( ) π sin 0, 0, 2 f x x       = +        的图象关于 ( ), 0 对称，且其 相邻对称轴之间的距离为 π 2 ，则 = _________． 14. 在边长为 6 的菱形 ABCD中， 3 A   = ，现将 ABD△ 沿 BD折起，当三棱锥 A BCD− 的体积最大时，三棱锥 A BCD− 的外接球的表面积为___________. 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤. 15. （13 分）在 ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，设 ABC 的面积为S ，且 满足 ( )2 2 2 3 4 S a b c= + − ． （1）求角C 大小； （2）求sin sinA B的最大值． 的 4 16. （15 分）如图，在四棱锥P ABCD− 中，底面 ABCD为直角梯形， , ,AD BC AB AD PA⊥ ⊥∥ 底面 ABCD，且 2 2 , 2 , ,PA AB BC AD BC E F= = = 分 别为 ,PB PC 中点. （1）证明：EF 平面PAD ； （2）求平面 AEF 与平面PBC 所成角的正弦值. 17. （15 分）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新 企业.该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴 熟，才能发挥更大的作用.已知在单位时间内，甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率 分别为 3 4 和 1 2 ，假设每次操作能否成功相互独立. （1）随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率； （2）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案： 方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次 继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作； 方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第 二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作. 假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值. 5 18. （17 分）设椭圆 E： 2 2 2 2 1 x y a b + = ( )0a b  经过点 ( )2, 1P − ，且离心率 2 2 e = ，直 线 : 3m x = 垂直 x轴交 x轴于 T，过 T的直线 l1 交椭圆 E于 ( )1 1,A x y ， ( )2 2,B x y 两点，连 接 PA， PB ， PT ． （1）求椭圆 E 方程； （2）设直线 PA，PB的斜率分别为 1k ， 2k ． （ⅰ）求 1 2k k+ 的值； （ⅱ）如图：过 P作 x轴的垂线 l，过 A作 PT的平行线分别交 PB，l于 M，N，求 | | | | MN MA 的 值． 19．（17 分）已知数列 na 是斐波那契数列，其数值为：1,1,2,3,5,8,13, 2134      , .这一数列 以如下递推的方法定义： 1 2 2 11 1 n n na a a a a+ += = = +， ， *( )nN .数列 nb 对于确定的正整数 k ，若存在正整数n使得 k n k nb b b+ = + 成立，则称数列 nb 为“ k 阶可分拆数列”. (1)已知数列 nc 满足 n nc ma= *n m N R（ ， ）.判断是否对 m R，总存在确定的正整数 k ，使得数列 nc 为“ k 阶可分拆数列”，并说明理由. (2)设数列{ }nd 的前n项和为 3 n nS a= − ( )0a  ， （i）若数列{ }nd 为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a的值； （ii）在（i）问的前提下，若数列 nf 满足 n n n a f S = ， *nN ，其前n项和为 nT .证明：当 *nN 且 3n  时， 2 2 2 2 1 2 3 1 1n n n nT a a a a a a + + + + + − + 成立. 的