重庆市两江中学校2025届高三上学期入学考试数学模拟试题二

高2025届高三入学考试模拟试题二 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2．已知向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（    ）（附：的值取3，） A． B． C． D． 5. 若函数在上有且只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．设，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 7．若，则（    ） A． B． C． D． 8. 若定义在上的函数满足：，，且对任意，，都有，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 是的一个周期 D. 图象关于对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（    ）． A．的一个对称中心 B．的对称轴方程为 C．在上的值域为 D．的单调递减区间为 10．已知复数z，，，下列结论正确的有（    ） A．若复数z满足，则 B．若，z满足，则 C．若，则 D．若复数z满足，则z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆 11. 在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. 边上的高为 B. 为定值 C. 的最小值为2 D. 若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知非零向量满足，且，则的夹角大小为 ． 13.已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为 14．已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）如图，在四棱锥中，平面平面，且．   (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 16．（15分）在中，已知角，，所对的边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 17．（15分）地区生产总值(地区)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的 x值为1，2020 年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表： 年份编号x 1 2 3 4 5 地区生产总值y(百亿元) 14.64 17.42 20.72 25.20 30.08 (1)该地区2023年的人均生产总值为9.39 万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2 个，记随机变量 Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求 的概率； (2)该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均)u(万元)之间的线性回归方程. 参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数； 线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是： ， 若，则. 18．（17分）已知为圆上一个动点，MN垂直轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为. (1)求点的轨迹方程; (2)记（1）中的轨迹为曲线，直线与曲线相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程. 19．（17分）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的根． (i)求的取值范围； (ii)证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1 高 2025 届高三入学考试模拟试题二 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 若集合 ( )   2| lg , | 2 01M x y N y y yx= = = −− > ，则 ( )M N =R （ ） A.  1,2 B. ( 1, 2 C. ( )2,+ D.  )1, 2 2．已知向量 (2,4), (3, 1)a b= = − ，则“ 2k = ”是“ ( ) ( )a kb a kb+ ⊥ − ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知 π (0, ),3sin 2 cos 2 1 2    = + ，则 tan 2 =（ ） A． 2 B． 3 C． 3 4 D． 4 3 4．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧 壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿 彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高3.8cm， 其中底部圆柱高0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附： π的值取 3， 25.4025 5 ） A． 2311.31cm B． 2300.88cm C． 2322.24cm D． 2332.52cm 5. 若函数 ( ) π sin 4 f x x   = +    在 π 0, 3       上有且只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 6．设 ln2 2 a = ， 1 e b = ， 2 2 ln2 2e c + = ，则 , ,a b c的大小顺序为（ ） A．c b a  B．b c a  C．b a c  D．c a b  7．若 ( ) sin20 sin 20 tan20 3  − = − ，则 ( )sin 2 50 + =（ ） A． 1 8 B． 1 8 − C． 7 8 − D． 7 8 8. 若定义在R 上的函数 ( )f x 满足： π 0 4 f       ， 3π 0 4 f   =    ，且对任意 1 x ， 2x R ，都 有 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 π 4 4 f x x f x x f x f x   + + − =  +    ，则（ ） A. ( )0 0f = B. ( )f x 为偶函数 C. π是 ( )f x 的一个周期 D. ( )f x 图象关于 π 4 x = 对称 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知函数 ( ) ( )( )sin 0, 0,0 πf x A x A   = +     的部分图象如图所示，令 ( ) ( ) cos 2g x f x x= − ，则下列说法正确的有（ ）． A． ( )g x 的一个对称中心 π , 0 6       B． ( )g x 的对称轴方程为 ( ) π π 2 3 k x k= + Z C． ( )g x 在 π 0, 2       上的值域为 1 1, 2   −    D． ( )g x 的单调递减区间为 ( ) π π π , π 6 3 k k k   − +     Z 3 10．已知复数 z， 1z ， 2z ，下列结论正确的有（ ） A．若复数 z满足 1 R z  ，则 Rz B．若 1 2z z ，z满足 1 2zz zz= ，则 0z = C．若 1 2 1 2z z z z+ = − ，则 1 2 0z z = D．若复数 z满足 2 2 8z z+ + − = ，则 z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆 11. 在锐角△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 2 sinc a B= ，则（ ） A. AB 边上的高为 2 c B. 1 1 tan tanA B + 为定值 C. sin cos cos C A B 的最小值为 2 D. 若 tan 3C = ，则 2 2 4 10 5 a b ab+ = 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知非零向量 ,a b满足2 a b= ，且 ( )a a b⊥ − ，则a b，的夹角大小为 ． 13.已知 1 2,F F 是双曲线 2 2 2 2 : 1 x y E a b − = 的左，右焦点，点M 在E 上， 1MF 与 x 轴垂直， 2 1s 1 3 in MF F = ,则E 的离心率为 14．已知函数 y x= 的图象与函数 lny a x= 的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐 标为 . 4 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）如图，在四棱锥P ABCD− 中，平面PAB ⊥平面 , ,ABCD PA AB AB CD⊥ ∥ ， 且 2 2 2 2 2AB CD AD BC AP= = = = = ． (1)证明：平面PAC ⊥平面PBC ； (2)求平面PAD 与平面PBC 夹角的正弦值． 16．（15 分）在 ABC 中，已知角A ， B ，C 所对的边分别为a，b ， c， ( ) 2 2 3sin sin 2 2 2 B A ab a b a b c + = + + ． (1)求角C 的大小； (2)若 ABC 为锐角三角形，求 a b c + 的取值范围． 5 17．（15 分）地区生产总值(地区GDP )是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年 (2019 年-2023 年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从 1464 亿元增长到 了 3008 亿元，若该地区在这五年中的年份编号 x(2019 年对应的 x值为 1，2020 年对应的 x值为 2，以此类推)与地区生产总值 y(百亿元)的对应数据如下表： 年份编号 x 1 2 3 4 5 地区生产总值 y(百亿元) 14.64 17.42 20.72 25.20 30.08 (1)该地区 2023 年的人均生产总值为 9.39 万元，若 2023 年全国的人均生产总值 X(万元)服 从正态分布 ( )28.57,0.82X N ，那么在全国其他城市或地区中随机挑选 2 个，记随机变量 Y为“2023 年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求 1Y = 的概率； (2)该地区的人口总数 t(百万人)与年份编号 x的回归方程可以近似为 0.2 2.2t x= + ，根据上 述的回归方程，估算该地区年份编号 x与人均生产总值(人均GDP )u(万元)之间的线性回归 方程u bx a= + . 参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总．．．．．值÷人口总数； 线性回归方程 ˆ ˆy bx a= + 中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是： ( )( ) ( ) 1 2 1 ˆ ˆˆ, n i i i n i i x x y y b a y bx x x = = − − = = − −   ， 若 ( )2,X N   ，则 ( ) ( )0.68, 2 2 0.95P x P x       −   +  −   +  . 6 18．（17 分）已知M 为圆 2 2 9x y+ = 上一个动点，MN垂直 x轴，垂足为 N，O为坐标原 点， OMN 的重心为G . (1)求点G 的轨迹方程; (2)记（1）中的轨迹为曲线C ，直线 l与曲线C 相交于 A、B两点，点 (0,1)Q ，若点 ( 3,0)H 恰好是 ABQ 的垂心，求直线 l的方程. 19．（17 分）已知函数 ( ) ( )ln ex f x ax = ，其中 e为自然对数的底数． (1)讨论 ( )f x 的单调性； (2)若方程 ( ) 1f x = 有两个不同的根 1 2,x x ． (i)求 a的取值范围； (ii)证明： 2 2 1 2 2x x+  ． 高2025届高三入学考试模拟试题二 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由题得，故， 解得或，故，则， 所以.故选：B. 2．已知向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，， 所以，， 当时， ，即解得 所以“”是的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，而，即， 则，所以. 故选：C 4．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（    ）（附：的值取3，） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该圆台的母线长为，两底面圆半径分别为，（其中）， 则，，， 所以， 故圆台部分的侧面积为， 圆柱部分的侧面积为， 故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为. 故选：A. 5. 若函数在上有且只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【详解】由题意且是整数， 若，则， 若函数在上有且只有一条对称轴和一个对称中心， 所以，解得，即.故选：C. 6．设，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，且， 构造函数，可得， 当时，，单调递减， 又由，故，即. 选选：C. 7．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意， ， 而 . 故选：D 8. 若定义在上的函数满足：，，且对任意，，都有，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 是的一个周期 D. 图象关于对称 【答案】D 【详解】在中，令，得，则是函数的一个对称中心， 在中，令，得，所以，是的一个周期， 接下来我们构造反例说明ABC错误，然后证明D正确： 首先对于ABC而言，由以上分析不妨设， 而 ， ， 若要恒成立， 只需恒成立，只需， 因为，所以，从而满足题意的可以是， 但是，故A错误； ，故B错误； 是函数的一个最小正周期，故C错误； 现在我们来证明D是正确的： 对于D，由以上分析有，，这表明图象关于对称，故D正确 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（    ）． A．的一个对称中心 B．的对称轴方程为 C．在上的值域为 D．的单调递减区间为 【答案】BCD 【详解】由题图可得，，解得． 又， 可得，解得． 因为，所以，所以． 所以 ． 对于A，当，， 所以不是的一个对称中心，故A错误； 对于B，令，可得， 故的对称轴方程为，故B正确； 对于C，时，，所以， 故在上的值域为，故C正确； 对于D，令，解得， 所以的单调递减区间为，故D正确． 故选：BCD． 10．已知复数z，，，下列结论正确的有（    ） A．若复数z满足，则 B．若，z满足，则 C．若，则 D．若复数z满足，则z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆 【答案】ABD 【详解】对于A选项，令， 因为，所以，即，所以，故A正确； 对于B选项，令， 因为，所以或 ， ； ； 因为，所以， 因为或，所以， 所以，故B正确； 对于C选项，令，易知，所以，故C错误； 对于D选项，令，因为， 所以， 由椭圆定义可得z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆，故D正确， 故选：ABD. 11. 在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. 边上的高为 B. 为定值 C. 的最小值为2 D. 若，则 【答案】ABD 【详解】对A，边上的高为，由题意，故A正确； 对B，由正弦定理即， 故， 又锐角，故，即，故B正确； 对C，， 又，故 ，当且仅当， 即时取等号，此时，，与锐角矛盾，故C错误； 对D，， 即，又，即， 故，解得，故. 则，即，解得. 故，，或，. 不妨设，， 则，， 故，，， 故，由正弦定理，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知非零向量满足，且，则的夹角大小为 ． 【答案】 【分析】由向量垂直的数量积表示和数量积的定义式运算即可. 【详解】因为，设向量 与的夹角为6， 所以， 又因为， 所以，所以. 因为，所以. 所以向量的夹角大小为. 故答案为：. 13.已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为 【答案】 【解析】由题,因为与轴垂直且,所以,即, 由双曲线的定义可知,则,, 又因为,则,即,则,所以 14．已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，可得，由， 设曲线与曲线的公共点为， 由于在公共点处有共同的切线，所以，所以， 由，可得，联立可得， 解得，所以，所以公共点坐标为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）如图，在四棱锥中，平面平面，且．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【详解】（1）由题意，则， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系，    则， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，令，得， 设平面的法向量， 则，令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 16．（15分）在中，已知角，，所对的边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【详解】（1）在中， ， 因为， 所以， 化简得，由余弦定理得， 又，所以；..........................................................6分 （2）由正弦定理知 ， 由为锐角三角形可知，而，..........................................................9分 所以得，所以， 所以，即 ， 则的取值范围为...........................................................13分 17．（15分）地区生产总值(地区)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的 x值为1，2020 年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表： 年份编号x 1 2 3 4 5 地区生产总值y(百亿元) 14.64 17.42 20.72 25.20 30.08 (1)该地区2023年的人均生产总值为9.39 万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2 个，记随机变量 Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求 的概率； (2)该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均)u(万元)之间的线性回归方程. 参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数； 线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是： ， 若，则. 【详解】（1）易知，所以根据正态分布区间公式有， 即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为， 则，所以：； （2）因为，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为： ， ， 所以， 则， 由公式可知， 即. 18．（17分）已知为圆上一个动点，MN垂直轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为. (1)求点的轨迹方程; (2)记（1）中的轨迹为曲线，直线与曲线相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程. 【详解】（1）设，则，因为的重心， 故有：，解得，代入，化简得， 又，故，所以的轨迹方程为. （2）因为的垂心，故有， 又，所以，故设直线的方程为， 与联立消去得：， 由得， 设，则， 由，得，所以， 所以， 所以，化简得， 解得（舍去）或（满足），故直线的方程为. 19．（17分）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的根． (i)求的取值范围； (ii)证明：． 【详解】（1）由题意得，，则， 由，解得． 显然， 若，则当时，单调递增，当时，单调递减； 若，则当时，单调递减，当时，单调递增． 综上，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． （2）（i）由，得， 设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是． （ii）不妨设，则，且． 解法一： 当时，，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 解法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增， 又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即，又，所以，得证． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1 高 2025 届高三入学考试模拟试题二 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 若集合 ( )   2| lg , | 2 01M x y N y y yx= = = −− > ，则 ( )M N =R （ ） A.  1,2 B. ( 1, 2 C. ( )2,+ D.  )1, 2 【答案】B 【详解】由题得 1 0 1x x−    ，故 ( )1,M = + ， 解 2 2 0y y− > 得 0y  或 2y  ，故 ( ) ( ),0 2,N = − + ，则  0,2N =R ， 所以 ( ) ( 1, 2M N =R .故选：B. 2．已知向量 (2,4), (3, 1)a b= = − ，则“ 2k = ”是“ ( ) ( )a kb a kb+ ⊥ − ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为 (2,4)a = ， (3, 1)b = − ， 所以 ( )+ 2 3 ,4a kb k k= + − ， ( )2 3 ,4a kb k k− = − + ， 当 ( ) ( )a kb a kb+ ⊥ − 时， ( ) ( )· 0a kb a kb+ − = ，即 (2 3 )(2 3 ) (4 )(4 ) 0k k k k+ − + − + = 解得 2k =  所以“ 2k = ”是 ( ) ( )a kb a kb+ ⊥ − 的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知 π (0, ),3sin 2 cos 2 1 2    = + ，则 tan 2 =（ ） A． 2 B． 3 C． 3 4 D． 4 3 【答案】C 【详解】由3sin 2 cos2 1 = + ，得 26sin cos 2cos  = ，而 π (0, ) 2   ，即cos 0  ， 则 1 tan 3  = ，所以 2 2 1 2 2 tan 33tan 2 11 tan 4 1 ( ) 3     = = = − − . 故选：C 4．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧 壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿 彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高 3.8cm，其中底部圆柱高0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附： π的值取 3， 25.4025 5 ） A． 2311.31cm B． 2300.88cm C． 2322.24cm D． 2332.52cm 【答案】A 2 【详解】设该圆台的母线长为 l，两底面圆半径分别为 R ， r （其中R r ）， 则2 22.5R = ，2 14.4r = ， 3.8 0.8 3h = − = ， 所以 2 2 2 22 2 3 4.05 25.4025 5 2 R r l h −  = + = + =     ， 故圆台部分的侧面积为 ( ) ( ) 2 1 π 3 11.2 276.755 7.2 5 cmS R r l= +   +  = ， 圆柱部分的侧面积为 2 2 2π 0.8 6 7.2 0.8 34.56cmS r=  =   = ， 故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为 2 1 2 276.75 34.56 311.31cmS S+  + = . 故选：A. 5. 若函数 ( ) π sin 4 f x x   = +    在 π 0, 3       上有且只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【详解】由题意 0  且是整数， 若 π 0, 3 x       ，则 π π π π , 4 4 3 4 x    +  +    ， 若函数 ( ) π sin 4 f x x   = +    在 π 0, 3       上有且只有一条对称轴和一个对称中心， 所以 *π π 3ππ , N 3 4 2   +   ，解得 *9 15 , N 4 4     ，即 3 = .故选：C. 6．设 ln2 2 a = ， 1 e b = ， 2 2 ln2 2e c + = ，则 , ,a b c的大小顺序为（ ） A．c b a  B．b c a  C．b a c  D．c a b  【答案】C 【详解】由 1 lne e e b = = ，且 2 2 2 2 ln2 ln2e 2e 2e c + = = ， 构造函数 ( ) lnx f x x = ，可得 ( ) 2 1 lnx f x x −  = ， 当 ( )e,x + 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减， 又由 ( ) ln2 ln4 4 2 4 a f= = = ，故 ( ) ( ) ( )2e 4 2ef f f  ，即b a c  . 选选：C. 7．若 ( ) sin20 sin 20 tan20 3  − = − ，则 ( )sin 2 50 + =（ ） A． 1 8 B． 1 8 − C． 7 8 − D． 7 8 【答案】D 【详解】根据题意， ( ) sin20 sin 20 cos 20 sin 20 tan20 3 sin 20 3 cos 20      − = = − − ( ) 1 sin 40 sin 20 cos 20 sin 20 cos 20 sin 20 cos 20 12 2sin 40 2sin 40 42sin 401 3 2 sin 20 cos 20 2 2            = = = = = − − −  − −    ， 而 ( ) ( ) ( )sin 2 50 sin 2 40 90 cos 2 20  + = − + = − 3 ( ) 2 2 1 71 2sin 20 1 2 4 8    = − − = −  − =    . 故选：D 8. 若定义在R 上的函数 ( )f x 满足： π 0 4 f       ， 3π 0 4 f   =    ，且对任意 1 x ， 2x R ， 都有 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 π 4 4 f x x f x x f x f x   + + − =  +    ，则（ ） A. ( )0 0f = B. ( )f x 为偶函数 C. π是 ( )f x 的一个周期 D. ( )f x 图象关于 π 4 x = 对称 【答案】D 【详解】在 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 π 4 4 f x x f x x f x f x   + + − =  +    中，令 1 3π 4 x = ，得 2 2 3π 3π 0 4 4 f x f x     + + − =        ，则 3π , 0 4       是函数 ( )f x 的一个对称中心， 在 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 π 4 4 f x x f x x f x f x   + + − =  +    中，令 2 π 2 x = ，得 1 2 π π 0 2 2 f x f x     + + − =        ，所以 ( ) ( ) ( )π 2πf x f x f x= − − = − ，2π是 ( )f x 的一个 周期， 接下来我们构造反例说明 ABC 错误，然后证明 D 正确： 首先对于 ABC 而言，由以上分析不妨设 ( ) ( ) 3π sin , 0 4 f x a x a   = −     ， 而 ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 3π 3π sin sin 4 4 f x x f x x a x x a x x     + + − = + − + − −        1 2 1 2 1 2 1 2 3π 3π 3π 3π sin cos cos sin sin cos cos sin 4 4 4 4 a x x a x x a x x a x x         = − + − + − − −                1 2 3π 2 sin cos 4 a x x   = −    ， ( ) 2 21 2 1 2 1 2 π 3π π 3π 3π 4 4 sin sin 4 sin cos 4 4 4 4 4 f x f x a x x a x x          + = − + − = − −                ， 若要 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 π 4 4 f x x f x x f x f x   + + − =  +    恒成立， 只需 2 1 2 1 2 3π 3π 2 sin cos 4 sin cos 4 4 a x x a x x     − = − −        恒成立，只需 22 4a a= − ， 因为 0a  ，所以 1 2 a = − ，从而满足题意的 ( )f x 可以是 ( ) 1 3π sin 2 4 f x x   = − −    ， 但是 ( ) 1 3π 2 0 sin 0 2 4 4 f   = − − =     ，故 A 错误； 4 3π 1 3π 3π 1 3π sin 0 4 2 4 4 2 4 f f       − = − − − =  =            ，故 B 错误； 2π是函数 ( )f x 的一个最小正周期，故 C 错误； 现在我们来证明 D 是正确的： 对于 D，由以上分析有， π 3π 9 π π 4 4 4 4 f x f x f x f x         + = − − = − = −                ，这表明 ( )f x 图象关于 π 4 x = 对称，故 D 正确 故选：D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知函数 ( ) ( )( )sin 0, 0,0 πf x A x A   = +     的部分图象如图所示，令 ( ) ( ) cos 2g x f x x= − ，则下列说法正确的有（ ）． A． ( )g x 的一个对称中心 π , 0 6       B． ( )g x 的对称轴方程为 ( )ππ 2 3 k x k= + Z C． ( )g x 在 π 0, 2       上的值域为 1 1, 2   −    D． ( )g x 的单调递减区间为 ( ) π π π , π 6 3 k k k   − +     Z 【答案】BCD 【详解】由题图可得 3A = ， 3 3 2π 5π π 3π 4 4 12 3 4 T    =  = − − =    ，解得 2 = ． 又 5π 5π 3 sin 3 12 6 f      = + = −        ， 可得 ( ) 5π 3π 2 π 6 2 k k+ = + Z ，解得 ( ) 2π 2 π 3 k k = + Z ． 因为0 π  ，所以 2π 3  = ，所以 ( ) 2π 3 sin 2 3 f x x   = +    ． 所以 ( ) ( ) 2π cos 2 3 sin 2 cos 2 3 g x f x x x x   = − = + −    3 3 sin 2 cos 2 cos 2 2 2 x x x= − + − 1 3 cos 2 sin 2 cos 2 2 2 π 3 x x x   = − = +    ． . 5 对于 A，当 π 6 x = ， ( ) π π 2π 1 cos 2 cos 6 3 3 2 g x   =  + = = −    ， 所以 π , 0 6       不是 ( )g x 的一个对称中心，故 A 错误； 对于 B，令 π 2 π π 3 x k+ = + ，可得 ( ) π π 2 3 k x k= + Z ， 故 ( )g x 的对称轴方程为 ( )π π 2 3 k x k= + Z ，故 B 正确； 对于 C， π 0, 2 x        时， π π 4π 2 , 3 3 3 x   +      ，所以 π 1 cos 2 1, 3 2 x     +  −        ， 故 ( )g x 在 π0, 2       上的值域为 1 1, 2   −    ，故 C 正确； 对于 D，令 ( ) π 2 π 2 π 2 π 3 k x k k +  + Z ，解得 ( ) π π π π 6 3 k x k k− +   + Z ， 所以 ( )g x 的单调递减区间为 ( ) π π π , π 6 3 k k k   − +     Z ，故 D 正确． 故选：BCD． 10．已知复数 z， 1z ， 2z ，下列结论正确的有（ ） A．若复数 z满足 1 R z  ，则 Rz B．若 1 2z z ，z满足 1 2zz zz= ，则 0z = C．若 1 2 1 2z z z z+ = − ，则 1 2 0z z = D．若复数 z满足 2 2 8z z+ + − = ，则 z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆 【答案】ABD 【详解】对于 A 选项，令 iz a b= + ， ( )( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 i i i i i i a b a b a b z a b a b a b a b a b a b − − = = = = − + + − + + + 因为 1 R z  ，所以 2 2 0 b a b − = + ，即 0b = ，所以 Rz ，故 A 正确； 对于 B 选项，令 1 1 1 2 2 2i, i, iz a b z x y z x y= + = + = + ， 因为 1 2z z ，所以 1 2x x 或 2 2y y ， ( )( ) ( )1 1 1 1 1 1 1i i izz a b x y ax by ay bx= + + = − + + ； ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2i i izz a b x y ax by ay bx= + + = − + + ； 因为 1 2zz zz= ，所以 1 1 2 2 1 1 2 2 ax by ax by ay bx ay bx − = −  + = + ， 因为 1 2x x 或 2 2y y ，所以 0a b ， 所以 0z = ，故 B 正确； 对于 C 选项，令 1 2 iz z ==1， ，易知 1 2 1 2z z z z+ = − ，所以 1 2 i 0z z =  ，故 C 错误； 对于 D 选项，令 iz x y= + ，因为 2 2 8z z+ + − = ， 所以 ( ) ( ) 2 22 22 2 8 4x y x y+ + + − + =  ， 由椭圆定义可得 z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆，故 D 正确， 故选：ABD. 6 11. 在锐角△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 2 sinc a B= ，则（ ） A. AB 边上的高为 2 c B. 1 1 tan tanA B + 为定值 C. sin cos cos C A B 的最小值为 2 D. 若 tan 3C = ，则 2 2 4 10 5 a b ab+ = 【答案】ABD 【详解】对 A， AB 边上的高为 sina B，由题意 sin 2 c a B = ，故 A 正确； 对 B，由正弦定理 2 sinc a B= 即 ( )sin sin 2sin sinC A B A B= + = ， 故 sin cos cos sin 2sin sinA B A B A B+ = ， 又锐角 ABC ，故 cos cos 2 sin sin B A B A + = ，即 1 1 2 tan tanA B + = ，故 B 正确； 对 C， ( )sinsin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos cos cos A BC A B A B A B A B A B A B + + = = = + ， 又 1 1 2 tan tanA B + = ，故 ( ) 1 1 1 tan tan tan tan 2 tan tan A B A B A B   + = + +    1 tan tan 1 tan tan 2 2 2 2 2 tan tan 2 tan tan B A B A A B A B    = + +  +  =        ，当且仅当 tan tan tan tan B A A B = ， 即 tan tan 1A B= = 时取等号，此时 π 4 A B= = ， π 2 C = ，与锐角 ABC 矛盾，故 C 错 误； 对 D， ( ) ( )tan tan π tan 3C A B A B = − + = − + =  ， 即 tan tan 3 1 tan tan A B A B + = − − ，又 1 1 2 tan tanA B + = ，即 tan tan 2 tan tanA B A B+ = ， 故 2 tan tan 3 1 tan tan A B A B = − − ，解得 tan tan 3A B = ，故 tan tan 6A B+ = . 则 ( )tan 6 tan 3A A− = ，即 2tan 6 tan 3 0A A− + = ，解得 tan 3 6A =  . 故 tan 3 6A = + ， tan 3 6B = − ，或 tan 3 6A = − ， tan 3 6B = + . 不妨设 tan 3 6A = + ， tan 3 6B = − ， 则 ( ) 2 3 6 sin 3 6 1 A + = + + ， ( ) 2 3 6 sin 3 6 1 B − = − + ， 故 2 15 6 6 sin 16 6 6 A + = + ， 2 15 6 6 sin 16 6 6 B − = − ， ( ) ( ) 2 2 3 6 3 6 3 10 sin sin 20 3 6 1 3 6 1 A B + − =  = + + − + ， 7 故 2 2 4 10 sin sin sin sin 5 A A BB+ = ，由正弦定理 2 2 4 10 5 a b ab+ = ，故 D 正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知非零向量 ,a b满足2 a b= ，且 ( )a a b⊥ − ，则a b，的夹角大小为 ． 【答案】 π 3 【分析】由向量垂直的数量积表示和数量积的定义式运算即可. 【详解】因为 ( )a a b⊥ − ，设向量 a 与b 的夹角为 6， 所以 22( ) cos 0a a b a a b a a b  − = −  = −  = ， 又因为 2 a b= ， 所以 2 2 cos 0a a a −  = ，所以 1 cos 2  = . 因为0 π  ，所以 π 3  = . 所以向量a b，的夹角大小为 π 3 . 故答案为： π 3 . 13.已知 1 2,F F 是双曲线 2 2 2 2 : 1 x y E a b − = 的左，右焦点，点M 在E 上， 1MF 与 x 轴垂直， 2 1s 1 3 in MF F = ,则E 的离心率为 【答案】 2 【解析】由题,因为 1MF 与 x 轴垂直且 2 1s 1 3 in MF F = ,所以 1 2 1 2 1 sin 3 MF MF F MF  = = ,即 2 13MF MF= , 由双曲线的定义可知 2 1 2MF MF a− = ,则 2 3MF a= , 1MF a= , 又因为 1 2 2F F c= ,则 2 2 2 2 1 1 2MF MF F F= + ,即 ( ) ( ) 2 223 2a a c= + ,则 2 22a c= ,所以 2 c e a = = 14．已知函数 y x= 的图象与函数 lny a x= 的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐 标为 . 【答案】 ( )2e ,e 【详解】函数 lny a x= 的定义域为 (0, )+ ，可得 ( ) a f x x  = ，由 1 ( ) 2 g x x  = ， 设曲线 ( ) lnf x a x= 与曲线 ( )g x x= 的公共点为 0 0( , )x y ， 由于在公共点处有共同的切线，所以 00 1 2 a xx = ，所以 2 0 4 ( 0)x a a=  ， 由 0 0( ) ( )f x g x= ，可得 0 0lna x x= ，联立可得 2 0 0 0 4 ln x a a x x  =  = ， 解得 2 0 ex = ，所以 0 ey = ，所以公共点坐标为 2(e ,e) . 故答案为： 2(e ,e) . 8 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）如图，在四棱锥P ABCD− 中，平面PAB ⊥平面 , ,ABCD PA AB AB CD⊥ ∥ ，且 2 2 2 2 2AB CD AD BC AP= = = = = ． (1)证明：平面PAC ⊥平面PBC ； (2)求平面PAD 与平面PBC 夹角的正弦值． 【详解】（1）由题意 2 2 2 2AB CD AD BC= = = = ，则 60ABC = ， 因为 1, 2BC AB= = ，所以 90 ,ACB AC BC = ⊥ ， 因为平面PAB ⊥平面 ABCD，平面PAB平面 ABCD AB= ， 且 ,PA AB PA⊥ 平面PAB， 所以PA⊥平面 ABCD， 因为 BC 平面 ABCD，所以PA BC⊥ ， 且 , ,AC PA A AC PA= 平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ， 又 BC 平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC ； （2）如图，以 A 为原点， ,AP AB分别为 x 轴， y 轴正方向，在平面 ABCD内过点 A 作平 面 ABC 的垂线为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 1 3 3 3 (1,0,0), (0,2,0), 0, , , 0, , 2 2 2 2 P B D C                ， 所以 1 3 (1,0,0), 0, , 2 2 AP AD   = =      ， 1 3 ( 1,2,0), 0, , 2 2 PB BC   = − = −     ， 设平面 PAD 的一个法向量 1 ( , , )n x y z= ， 则 1 1 0 3 0 2 2 n AP x y z n AD   = =    = + =  ，令 1z = − ，得 1 (0, 3, 1)n = − ， 设平面 PBC 的法向量 ( )2 , ,n m n p= ， 则 2 2 2 0 3 0 2 2 n PB m n n p n BC   = − + =    = − + =  ，令 1p = ，得 2 (2 3, 3,1)n = ， 9 设平面 PAD 与平面PBC 的夹角为，则 1 2 1 2 2 1 cos 2 4 4 n n n n   = = =  ， 所以平面PAD 与平面 PBC 夹角的正弦值为 2 15 1 cos 4 − = ． 16．（15 分）在 ABC 中，已知角A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ， ( ) 2 2 3sin sin 2 2 2 B A ab a b a b c + = + + ． (1)求角C 的大小； (2)若 ABC 为锐角三角形，求 a b c + 的取值范围． 【详解】（1）在 ABC 中， ( ) ( )2 2 1 cos 1 cos cos cossin sin 2 2 2 2 2 2 a B b AB A a b a B b A a b − − + + + = + = − ( ) 2 2 2 2 2 21 1 cos cos 2 2 2 2 2 2 a b a b a c b b c a a B b A a b ac bc  + + + − + − = − + = −  +     2 a b c+ − = ， 因为 ( ) 2 2 3sin sin 2 2 2 B A ab a b a b c + = + + ， 所以 ( ) 3 2 2 a b c ab a b c + − = + + ， 化简得 2 2 2a b c ab+ − = ，由余弦定理得 2 2 2 1 cos 2 2 a b c C ab + − = = ， 又 ( )0,πC ，所以 π 3 C = ；..........................................................6 分 （2）由正弦定理知 2π sin sin sin sin 3 πsin sin 3 A A a b A B c C   + − + +  = = 2 3 1 2 3 3 sin cos sin sin cos 2 2 2 23 3 A A A A A     = + + = +           3 1 π 2 sin cos 2sin 2 2 6 A A A     = + = +        ， 由 ABC 为锐角三角形可知 π 0 2 π 0 2 A B         ，而 π 3 C = ，..........................................................9 分 所以 π 0 2 2π π 0 3 2 A A       −   得 π π 6 2 A  ，所以 π π 2π 3 6 3 A +  ， 所以 3 π sin 1 2 6 A    +     ，即 π 3 2sin 2 6 A    +     ， 则 a b c + 的取值范围为 ( 3 2， ...........................................................13 分 10 17．（15 分）地区生产总值(地区GDP )是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年 (2019 年-2023 年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从 1464 亿元增长到 了 3008 亿元，若该地区在这五年中的年份编号 x(2019 年对应的 x值为 1，2020 年对应的 x值为 2，以此类推)与地区生产总值 y(百亿元)的对应数据如下表： 年份编号 x 1 2 3 4 5 地区生产总值 y(百亿元) 14.64 17.42 20.72 25.20 30.08 (1)该地区 2023 年的人均生产总值为 9.39 万元，若 2023 年全国的人均生产总值 X(万元)服 从正态分布 ( )28.57,0.82X N ，那么在全国其他城市或地区中随机挑选 2 个，记随机变 量 Y为“2023 年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求 1Y = 的概率； (2)该地区的人口总数 t(百万人)与年份编号 x的回归方程可以近似为 0.2 2.2t x= + ，根据上 述的回归方程，估算该地区年份编号 x与人均生产总值(人均GDP )u(万元)之间的线性回归 方程u bx a= + . 参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总．．．．．值÷人口总数； 线性回归方程 ˆ ˆy bx a= + 中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是： ( )( ) ( ) 1 2 1 ˆ ˆˆ, n i i i n i i x x y y b a y bx x x = = − − = = − −   ， 若 ( )2,X N   ，则 ( ) ( )0.68, 2 2 0.95P x P x       −   +  −   +  . 【详解】（1）易知9.39 8.57 0.82= + ，所以根据正态分布区间公式有 ( ) ( ) ( )1 9.39 0.16 2 P x P X P x       − −   +  =  + = = ， 即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为0.16， 则 ( )2,0.16Y B ，所以： ( ) ( ) ( ) 1 21 C 0.16 1 0.16 0.2688P Y = =   − = ； （2）因为 0.2 2.2t x= + ，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为： 1 2 3 14.64 17.42 20.72 6.1, 6.7, 7.4 0.2 1 2.2 0.2 2 2.2 0.2 3 2.2 u u u= = = = = =  +  +  + ， 4 5 25.2 30.08 8.4, 9.4 0.2 4 2.2 0.2 5 2.2 u u= = = =  +  + ， 所以 ( ) ( ) 1 1 1 2 3 4 5 3, 6.1 6.7 7.4 8.4 9.4 7.6 5 5 x u=  + + + + = =  + + + + = ， 则 ( )( ) 5 1 8.3i i i x x u u = − − = ， ( ) 5 2 1 10i i x x = − = 由公式可知 ( )( ) ( ) 5 1 5 2 1 8.3 0.83, 7.6 0.83 3 5.11 10 ˆ ˆˆ i i i i i x x u u b a u bx x x = = − − = = = = − = −  = −   ， 即 0.83 5.11u x= + . 18．（17 分）已知 M 为圆 2 2 9x y+ = 上一个动点，MN垂直 x 轴，垂足为 N，O为坐标原 点， OMN 的重心为G . (1)求点G 的轨迹方程; (2)记（1）中的轨迹为曲线C ，直线 l与曲线C 相交于 A、B两点，点 (0,1)Q ，若点 ( 3,0)H 恰好是 ABQ 的垂心，求直线 l的方程. 【详解】（1）设 ( ) ( )0 0, , ,G x y M x y ，则 ( )0 ,0N x ，因G 为 OMN 的重心， 11 故有： 0 0 2 3 3 x x y y  =   =  ，解得 0 0 3 , 3 2 x x y y= = ，代入 2 2 0 0 9x y+ = ，化简得 2 2 1 4 x y+ = ， 又 0 0 0x y  ，故 0xy  ，所以G 的轨迹方程为 ( ) 2 2 1 0 4 x y xy+ =  . （2）因H 为 ABQ 的垂心，故有 ,AB HQ AH BQ⊥ ⊥ ， 又 1 0 3 30 3 HQk − = = − − ，所以 3lk = ，故设直线 l的方程为 ( )3 1y x m m= +  ， 与 2 2 1 4 x y+ = 联立消去 y 得： 2 213 8 3 4 4 0+ + − =x mx m ， 由 2Δ 208 16 0m= −  得 2 13m  ， 设 ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 2 1 2 1 2 8 3 4 4 , 13 13 m m x x x x − − + = = ， 由 AH BQ⊥ ，得 1 2 21 1 1 3 y y xx −  = − − ，所以 ( ) ( )( )2 1 1 23 3 3 1 0x x x m x m− + + + − = ， 所以 ( )( ) 21 2 1 24 3 1 0x x m x x m m+ − + + − = ， 所以 ( ) ( ) ( )2 24 4 4 24 1 13 0m m m m m− − − + − = ，化简得 25 11 16 0m m+ − = ， 解得 1m = （舍去）或 16 5 m = − （满足Δ 0 ），故直线 l的方程为 16 3 5 y x= − . 19．（17 分）已知函数 ( ) ( )ln ex f x ax = ，其中 e为自然对数的底数． (1)讨论 ( )f x 的单调性； (2)若方程 ( ) 1f x = 有两个不同的根 1 2,x x ． (i)求 a 的取值范围； (ii)证明： 2 2 1 2 2x x+  ． 【详解】（1）由题意得 ( ) ( )ln e 1 lnx x f x ax ax + = = ， ( )0,x + ，则 ( ) 2 lnx f x ax = − ， 由 ( ) 0f x = ，解得 1x = ． 显然 0a  ， 若 0a  ，则当0 1x  时， ( ) ( )0,f x f x  单调递增，当 1x  时， ( ) ( )0,f x f x  单调递 减； 若 0a  ，则当0 1x  时， ( ) ( )0,f x f x  单调递减，当 1x  时， ( ) ( )0,f x f x  单调递 增． 综上，当 0a  时， ( )f x 在区间 ( )0,1 内单调递增，在区间 ( )1,+ 内单调递减； 当 a<0时， ( )f x 在区间 ( )0,1 内单调递减，在区间 ( )1,+ 内单调递增． 12 （2）（i）由 ( )ln e 1 x ax = ，得 1 lnx a x + = ， 设 ( ) 1 lnx g x x + = ，由(1)得 ( )g x 在区间 ( )0,1 内单调递增，在区间 ( )1,+ 内单调递减， 又 ( ) 1 0, 1 1 e g g   = =    ，当 1x  时， ( ) 0g x  ，且当 x →+时， ( ) 0g x → ， 所以当 0 1a  时，方程 1 lnx a x + = 有两个不同的根，即方程 ( )ln e 1 x ax = 有两个不同的根，故 a 的取值范围是 ( )0,1 ． （ii）不妨设 1 2x x ，则 1 20 1x x   ，且 1 2 1 2 ln 1 ln 1x x x x + + = ． 解法一： 当  )2 2,x  + 时， 2 2 2 1 2 2 4 2x x x+    ，即 2 2 1 2 2x x+  ； 当 ( )2 1, 2x  时， ( )22 0,1x−  ． 设 ( ) ( ) ( ) ln 1 2 x p x g x g x x x = − − = + − ( )ln 2 1 ,0 1, 2 2 x x x x − −   − − 则 ( ) ( ) ( ) 22 2 ln 2ln ln 2 xx x p x x xx − = − −  − − −  ( ) ( ) 2 2 2 ln 1 1ln 2 0, xx x x  − − +−  = −  所以 ( )p x 在区间 ( )0,1 内单调递增， 则 ( ) ( )1 0p x p = ，即 ( ) ( )2g x g x − ， 所以 ( ) ( ) ( )1 1 22 ,g x g x g x−  = 又 ( ) ( )1 1 20,1 ,2 1, 1,x x x g x −   在区间 ( )1,+ 内单调递减， 所以 1 22 x x−  ，即 1 2 2x x+  ， 又 1 2x x ，所以 2 2 1 2 1 22x x x x+  ， 故 ( ) 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4x x x x x x x x+  + + = +  ，所以 2 2 1 2 2x x+  ，得证． 解法二： 设 ( ) ( ) ( ) 1 1 ln 1 ln x h x g x g x x x x +  = − = − −    ， ( )0,x + ， 则 ( ) 2 2 2 ln 1 ln ln 0 x x h x x x x x  − − = + =   ， 所以 ( )h x 在区间 ( )0, + 内单调递增， 又 ( )1 0h = ， 所以 ( ) ( )1 1 1 1 0h x g x g x   = −     ，即 ( )1 1 1 g x g x        ． 又 ( ) ( )2 1g x g x= ，所以 ( )2 1 1 g x g x        ， 又 ( )2 1 1 1, 1,x g x x   在区间 ( )1,+ 内单调递减． 所以 2 1 1 x x  ，即 1 2 1x x  ，又 1 2x x ，所以 2 2 1 2 1 22 2x x x x+   ，得证．