重庆市两江中学校2025届高三上学期入学考试数学模拟试题一

1 2025 届高三入学考试模拟试题一 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知集合    22 , 3 4 0A x y x B x x x= = − =  − − N∣ ∣ ，则 A B =（ ） A． 1, 2− B． 0, 2 C． 0,1, 2 D． 1, 2 2．若复数 z 满足 ( )i 2i iz z+ = − ，则 z =（ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 3．已知向量 (1,2), (1, 1), (4,5)a b c= = − = ．若 a与b c+ 平行，则实数 λ 的值为（ ） A． 1 14 B． 1 14 − C．1 D． 1− 4. 函数 ( ) 2 3 cos 3 3 x x f x x x + = − 的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5．已知 π π sin sin cos sin 6 3         + = −        ，则 π tan 2 4 α   + =    （ ） A． 2 3− B． 2 3− − C． 2 3+ D． 2 3− + 6．函数 ( ) e 4, 1 ln , 1 x x x f x x x  + −  =   ，若 ( ) ( ) ( )2 1 10 5f a f a f+  − − ，则实数 a的取值范围是 （ ） A． 1− B． ( , 1− − C． )1,− + D． 1 1, e   − −    2 7．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，为此，他们设计 了测量方案．如图，在山脚 A测得山顶 P的仰角为 45°，沿倾斜角为 15°的斜坡向上走了 90 米到达 B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在 B处测得山顶 P的仰角为 60°，则山高 PQ为（ ）米 A．45( 6 2)+ B．45( 6 2)− C．90( 3 1)− D．90( 3 1)+ 8．已知双曲线E ： ( ) 2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b − =   的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过 2F 的直线与E 的右支交于A ， B 两点，且 2 22BF AF= ，若 1 0AF AB = ，则双曲线E 的离心率为（ ） A． 3 B． 17 3 C． 2 3 3 D． 10 3 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列说法中正确的是（ ） A．从一批含有 10 件正品、4 件次品的产品中任取 3 件，则取得 2 件次品的概率是 45 91 B．已知随机变量 X 服从二项分布 ( , )B n p ，若 ( ) 20, ( ) 10E X D X= = ，则 40n = C．已知随机变量服从正态分布 ( )22,N  ，若 ( 1)P p  = ，则 ( 3) 1P p  = − D．已知随机事件 A，B满足 3 2 ( ) , ( ) 5 5 P B P AB= = ，则 1 ( ) 3 P A B =∣ 10．已知函数 π ( ) sin 3 3 f x x   = +    ，下列说法正确的是（ ） A． ( )f x 的最小正周期为 2π 3 B．点 π , 0 6       为 ( )f x 图象的一个对称中心 C．若 ( ) ( R)f x a a=  在 π π , 18 9 x    −    上有两个实数根，则 3 1 2 a  D．若 ( )f x 的导函数为 ( )f x ，则函数 ( ) ( )y f x f x= +  的最大值为 10 3 11．已知 ( )f x ， ( )g x 都是定义在R 上的函数，对任意实数 x，y满足 ( ) ( ) ( ) ( )2f x y f x y g x f y+ − − = ， ( ) ( )2 1 0f f+ = 且 ( ) ( )2 1 0f f  ，则下列结论正确的是 A． ( )0 0f = B． ( ) 1 1 2 g = − C． ( )f x 为奇函数 D． ( ) 2024 1 2024 n f n = = 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知正方形 ABCD，边长为 1，点 E是 BC边上一点，若 2BE CE= ，则 AE CE = . 13. 过抛物线 2 2 ( 0)y px p= −  的焦点F 作圆C ： ( ) 2 22 4x y− + = 的两条切线，切点分 别为 ,M N ，若 FMN 为等边三角形，则 p 的值为___________. 14.已知直线 y kx b= + 既是曲线 lny x= 的切线，也是曲线 ( )lny x= − − 的切线，则 k b+ = . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分） 已知 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , , ,a b c ABC 的面积为 ( ) 1 sin sin sin 2 a c C b B a A+ − ． (1)求A ； (2)若 2a = ，且 ABC 的周长为 5，设D为边 BC中点，求 AD. 4 16．（15 分）在底面 ABCD为梯形的多面体 中． , , 2 2 2, 45 ,AB CD BC CD AB CD CBD BC AE DE⊥ = =  =  = =∥ ，且四边形BDEN 为 矩形．点Q在线段EN 上． (1)点Q是线段EN 中点时，求证： / /CQ 平面 ADE ； (2)是否存在点Q，使得直线 BE 与平面QAD所成的角为 60°？若存在，求 EQ ．若不存 在，请说明理由． 17．（15 分）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙 三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划 6 月 1 日选择“共享单车”或“地铁”两种 出行方式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲选择“共享单车”的概率为 1 2 ，乙 选择“共享单车”的概率为 2 3 ，丙选择“共享单车”的概率为 3 4 ． (1)若有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率； (2)记甲、乙、丙三人中选择“共享单车”出行的人数为 X，求 X的分布列与数学期望． 5 18．（17 分）设椭圆 ( ) 2 2 2 2 1 0 x y a b a b + =   的左焦点为F ，右顶点为 A，离心率为 1 2 ．已知 A是抛物线 ( )2 2 0y px p=  的焦点，F到抛物线的准线 l的距离为 1 2 ． (1)求椭圆的方程和抛物线的方程; (2)设 l上两点 P，Q，关于 x轴对称，直线 AP与椭圆相交于点 B（B异于点 A），直线BQ 与 x轴相交于点 D．若 APD△ 的面积为 6 2 ，求直线 AP的方程． 19.（本小题满分 17 分）已知函数 ( )y f x= ，其中 ( ) 3 2 1 3 f x x kx= − ， Rk .若点A 在函数 ( )y f x= 的图像上，且经过点A 的切线与函数 ( )y f x= 图像的另一个交点为点 B ，则称点 B 为点A 的一个“上位点”，现有函数 ( )y f x= 图像上的点列 1M ， 2M ，…， nM ，…，使 得对任意正整数n，点 nM 都是点 1nM + 的一个“上位点”. (1)若 0k = ，请判断原点O是否存在“上位点”，并说明理由； (2)若点 1M 的坐标为 ( )3 ,0k ，请分别求出点 2M 、 3M 的坐标； (3)若 1M 的坐标为 ( )3,0 ，记点 nM 到直线 y m= 的距离为 nd .问是否存在实数m 和正整数 T ，使得无穷数列 Td 、 1Td + 、…、 T nd + …严格减？若存在，求出实数m 的所有可能值；若 不存在，请说明理由. 2025届高三入学考试模拟试题一 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以， 故选：C. 2．若复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由题意可知，复数满足， 则可转化为，所以.故选：A. 3．已知向量．若与平行，则实数λ的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由，得，而，与平行， 因此，解得，所以实数λ的值为，故选D 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】因为， 所以函数为奇函数，可排除D选项； 当时，，，可排除B； 当时，，，，可排除A；故选：C. 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，即， 即，所以，故选B. 6．函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，因为在上单调递增，此时单调递增， 当时，易知单调递增，且当时，， 则在上单调递增， 因为，则， 所以由得， 所以，解得.故选：A. 7．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高PQ为（    ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，，则，， 又，则，即有，， 在中，， 由正弦定理得， 且， 则， 在中，， 所以山高为米.故选：A 8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图：设，则， 根据双曲线的定义，可得，， 因为，所以， 所以 由， 代入可得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（    ） A．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是 B．已知随机变量服从二项分布，若，则 C．已知随机变量服从正态分布，若，则 D．已知随机事件A，B满足，则 【答案】BD 【详解】对于A，从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为，故A错误； 对于B，，，解得，故B正确； 对于C，，则正态曲线的对称轴为，根据正态曲线的对称性可得，故C错误； 对于D，，， 所以，故D正确.故选：BD. 10．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．点为图象的一个对称中心 C．若在上有两个实数根，则 D．若的导函数为，则函数的最大值为 【答案】ACD 【详解】由题意可得，故A正确； ，所以不是图象的一个对称中心，故B错误； 令，由得， 根据题意可转化为直线与曲线，有两个交点， 数形结合可得，故C正确； 设为的导函数， 则，其中， 当且仅当，即当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：ACD． 11．已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是 A． B． C．为奇函数 D． 【答案】ABC 【详解】. A：令，得，则，故A正确； B：令，得，即， 又且，所以，解得，故B正确； C：令，得，即， 得，所以，得， 所以，则为奇函数，故C正确； D：由选项C知，又， 得①，令替换成，得②， ①②相加，得，则， 得，即的周期为3，所以， 因为， 所以，故D错误. 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则 . 【答案】 【详解】因为在单位正方形，点是边上一点，又，所以，， 所以. 故答案为： 13. 过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为___________. 【答案】4 【详解】如图， 过抛物线的焦点F作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，又△FMN为等边三角形， 则在直角三角形MCF中，，， 又C(2,0)，，又， 则，即，则p＝4．故答案为：4． 14.已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】/ 【解析】设曲线与的切点分别为， 易知两曲线的导函数分别为，， 所以，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知的内角的对边分别为的面积为． (1)求； (2)若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD. 【详解】（1）依题意，， 所以， 由正弦定理可得，， 由余弦定理，，解得， 因为，所以； （2）依题意，， 因为，解得， 因为， 所以， 所以． 16．（15分） 在底面为梯形的多面体中．，且四边形为矩形．点在线段上．    (1)点是线段中点时，求证：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°？若存在，求．若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由， 则为等腰直角三角形，有，则， 则， 在中，， 取线段中点，连接，则， 又因为直线平面，平面，所以直线平面， 同理直线平面，又因为， 、平面，所以平面平面， 因为直线平面，所以平面； （2）因为四边形为矩形，则， 又，、平面，故平面， 以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以, 设， 其中，解得，故， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， 因为直线与平面所成的角为， 所以， 即，解得或， 故存在点或.    17．（15分）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划6月1日选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲选择“共享单车”的概率为，乙选择“共享单车”的概率为，丙选择“共享单车”的概率为． (1)若有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率； (2)记甲、乙、丙三人中选择“共享单车”出行的人数为X，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，． 【详解】（1）记甲、乙、丙三人选择“共享单车”出行分别为事件A，B，C，记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件D， 则， 又，             所以， 即若有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为． （2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ，                     所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故， 即X的数学期望为． 18．（17分） 设椭圆的左焦点为，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线的焦点，F到抛物线的准线l的距离为． (1)求椭圆的方程和抛物线的方程; (2)设l上两点P，Q，关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线与x轴相交于点D．若的面积为，求直线AP的方程． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据题意列出关于的方程，求出它们的值，即可求得答案； （2）设，即可表示出的方程，联立椭圆方程，求出B点坐标，即可求出方程，进而求出D点坐标，可得AD的长，从而根据的面积为，列式计算求出t的值，即可求得答案. 【详解】（1）依题意设点，因，且， 由对称性知抛物线的准线方程为，则，解得，，， 于是． 从而得椭圆的方程为，抛物线的方程为． （2）由于准线方程为，依题意设，则． 因，则，得直线方程为①， 将①式代入中化简，得， 设，由韦达定理得，则， 即，则，于是得直线方程为， 令，解得，即．则， 于是，化简得，即得， 代入①式化简，得直线方程为，或. 19.（本小题满分17分）已知函数，其中，.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”. (1)若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由； (2)若点的坐标为，请分别求出点、的坐标； (3)若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）已知，则，得， 故函数经过点的切线方程为， 其与函数图像无其他交点，所以原点不存在“上位点”. （2）设点的横坐标为，为正整数， 则函数图像在点处的切线方程为， 代入其“上位点”，得， 化简得， 即， 故， 因为，得（*）， 又点的坐标为， 所以点的坐标为，点的坐标为. （3）将代入，解得， 由（*）得，. 即，又， 故是以2为首项，为公比的等比数列， 所以，即，. 令，则严格减， 因为，所以函数在区间上严格增. 当时，，于是当时，严格减，符合要求 当时，. 因为时， 所以当时，， 从而当时严格增，不存在正整数， 使得无穷数列，，…，严格减. 综上，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025 届高三入学考试模拟试题一 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知集合    22 , 3 4 0A x y x B x x x= = − =  − − N∣ ∣ ，则 A B =（ ） A． 1, 2− B． 0, 2 C． 0,1, 2 D． 1, 2 【答案】C 【详解】        2| 2 | 2 , | 3 4 0 0,1,2,3,4A x y x x x B x x x= = − =  =  − −  =N ， 所以  0,1, 2A B = ， 故选：C. 2．若复数 z 满足 ( )i 2i iz z+ = − ，则 z =（ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 【答案】A 【详解】由题意可知，复数 z 满足 i 2i( i)z z+ = − ， 则可转化为 2 i (2 i)(1 2i) 4 3 i 1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5 z − − + = = = + − − + ，所以 2 2 4 3 | | ( ) ( ) 1 5 5 z = + = .故选：A. 3．已知向量 (1,2), (1, 1), (4,5)a b c= = − = ．若 a与b c+ 平行，则实数 λ 的值为（ ） A． 1 14 B． 1 14 − C．1 D． 1− 【答案】D 【解析】由 (1, 1), (4,5)b c= − = ，得 (1 4 , 1 5 )b c  + = + − + ，而 (1,2)a = ，a与b c+ 平行， 因此2(1 4 ) 1 5 + = − + ，解得 1 = − ，所以实数 λ 的值为 1− ，故选 D 4. 函数 ( ) 2 3 cos 3 3 x x f x x x + = − 的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】因为 ( ) 2 2 3 3 ( ) cos( ) cos ( ) 3( ) 3( ) 3 3 x x x x f x x f x x x x − + − + = = − = − − − − − − ， 所以函数为奇函数，可排除 D 选项； 2 当0 1x  时， 2 cos 0x x+  ， 33 3 0x x−  ， 2 3 cos 0 3 3 x x x x +  − 可排除 B； 当 1x  时， 2 cos 0x x+  ， 33 3 0x x−  ， 2 3 cos 0 3 3 x x x x +  − ，可排除 A；故选：C. 5．已知 π π sin sin cos sin 6 3         + = −        ，则 π tan 2 4 α   + =    （ ） A． 2 3− B． 2 3− − C． 2 3+ D． 2 3− + 【答案】B 【解析】由题意 2 2 3 1 3 1 sin sin cos cos sin cos 2 2 2 2      + = − ，即 3 1 cos 2 sin 2 2 2  = ， 即 tan 2 3 = ，所以 ( ) 2 3 1π 3 1 tan 2 2 3 4 21 3 α ++  + = = = − −  −−  ，故选 B. 6．函数 ( ) e 4, 1 ln , 1 x x x f x x x  + −  =   ，若 ( ) ( ) ( )2 1 10 5f a f a f+  − − ，则实数 a的取值范围是 （ ） A． 1− B． ( , 1− − C． )1,− + D． 1 1, e   − −    【答案】A 【详解】当 1x  时， ( ) e 4xf x x= + − ，因为 e , 4xy y x= = − 在 ( ),1− 上单调递增，此时 ( )f x 单调递增， 当 1x  时，易知 ( ) lnf x x= 单调递增，且当 1x = 时， 1e 1 4 e 3 0 ln1+ − = −  = ， 则 ( )f x 在R 上单调递增， 因为 2 1 1a +  ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 5 ln 1 ln5 ln5 1 5 1f a f a a f a + + = + + = + = + ， 所以由 ( ) ( ) ( )2 1 10 5f a f a f+  − − 得 ( ) ( )25 1 10f a f a +  −  ， 所以 ( )25 1 10a a+  − ，解得 1a = − .故选：A. 7．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，为此，他们设计 了测量方案．如图，在山脚 A测得山顶 P的仰角为 45°，沿倾斜角为 15°的斜坡向上走了 90 米到达 B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在 B处测得山顶 P的仰角为 60°，则山高 PQ为（ ）米 A．45( 6 2)+ B．45( 6 2)− C．90( 3 1)− D．90( 3 1)+ 【答案】A 【详解】依题意， 45PAQ = ， 15BAQ = ，则 30PAB ， 45APQ = ， 又 60PBC = ，则 30BPC = ，即有 15BPA = ， 135PBA = ， 3 在 ABP中， 90AB = ， 由正弦定理得 sin sin AP AB ABP APB =   ， 且 6 2 sin15 sin(60 45 ) sin 60 cos 45 cos60 sin 45 4 − = − = − = ， 则 2 90 sin 90sin135 180 22 sin sin15 6 2 6 2 4 AB ABP AP APB   = = = =  − − ， 在Rt PAQ中， 180 2 2 sin 45 45( 6 2) 26 2 PQ AP= =  = + − ， 所以山高 PQ为45( 6 2)+ 米.故选：A 8．已知双曲线E ： ( ) 2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b − =   的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过 2F 的直线与E 的右支交于A ， B 两点，且 2 22BF AF= ，若 1 0AF AB = ，则双曲线E 的离心率为（ ） A． 3 B． 17 3 C． 2 3 3 D． 10 3 【答案】B 【详解】如图：设 2AF t= ，则 2 2BF t= ， 根据双曲线的定义，可得 1 2AF a t= + ， 1 2 2BF a t= + ， 因为 1 0AF AB = ，所以 1 90BAF = ， 所以 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 AF AF F F AF AB BF  + =  + =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 2 2 3 2 2 a t t c a t t a t  + + =  + + = + 由 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2a t t a t+ + = +  2 3a t= ， 代入 ( ) ( ) 2 222 2a t t c+ + = 可得 2 217 9a c=  17 e 3 c a = = . 故选：B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列说法中正确的是（ ） A．从一批含有 10 件正品、4 件次品的产品中任取 3 件，则取得 2 件次品的概率是 45 91 B．已知随机变量 X 服从二项分布 ( , )B n p ，若 ( ) 20, ( ) 10E X D X= = ，则 40n = C．已知随机变量服从正态分布 ( )22,N  ，若 ( 1)P p  = ，则 ( 3) 1P p  = − D．已知随机事件 A，B满足 3 2 ( ) , ( ) 5 5 P B P AB= = ，则 1 ( ) 3 P A B =∣ 【答案】BD 4 【详解】对于 A，从一批含有 10 件正品、4 件次品的产品中任取 3 件，则取得 2 件次品的 概率为 2 1 4 10 3 14 C C 6 10 15 C 14 13 2 91 p   = = =   ，故 A 错误； 对于 B， ( ),X B n p ， ( ) 20 1 10 np np p =  − = ，解得 40 1 2 n p =   =  ，故 B 正确； 对于 C， ( )22,N  ，则正态曲线的对称轴为 2 = ，根据正态曲线的对称性可得 ( ) ( )1 3P P p  =  = ，故 C 错误； 对于 D， ( ) ( ) ( )P B P AB P AB= + ， ( ) 3 2 1 5 5 5 P AB = − = ， 所以 ( ) ( ) ( ) 1 15 3 3 5 P AB P A B P B = = = ，故 D 正确.故选：BD. 10．已知函数 π ( ) sin 3 3 f x x   = +    ，下列说法正确的是（ ） A． ( )f x 的最小正周期为 2π 3 B．点 π , 0 6       为 ( )f x 图象的一个对称中心 C．若 ( ) ( R)f x a a=  在 π π , 18 9 x    −    上有两个实数根，则 3 1 2 a  D．若 ( )f x 的导函数为 ( )f x ，则函数 ( ) ( )y f x f x= +  的最大值为 10 【答案】ACD 【详解】由题意可得 2π 3 T = ，故 A 正确； π 5π 1 sin 0 6 6 2 f   = =     ，所以 π , 0 6       不是 ( )f x 图象的一个对称中心，故 B 错误； 令 π 3 3 t x= + ，由 π π 18 9 x−   得 π 2π 6 3 t  ， 根据题意可转化为直线 y a= 与曲线 π ( ) sin 3 3 f x x   = +    ， π π , 18 9 x    −    有两个交点， 数形结合可得 3 1 2 a  ，故 C 正确； 设 ( )f x 为 ( )f x 的导函数， 则 ( ) ( ) π π π sin 3 3cos 3 10 sin 3 10 3 3 3 f x f x x x x        + = + + + = + +              ，其中 tan 3 = ， 5 当且仅当 π π 3 2 π, Z 3 2 x k k+ + = +  ，即当且仅当 π 2 π , Z 3 18 3 k x k  = − + +  时等号成立，故 D 正确， 故选：ACD． 11．已知 ( )f x ， ( )g x 都是定义在R 上的函数，对任意实数 x，y满足 ( ) ( ) ( ) ( )2f x y f x y g x f y+ − − = ， ( ) ( )2 1 0f f+ = 且 ( ) ( )2 1 0f f  ，则下列结论正确的是 A． ( )0 0f = B． ( ) 1 1 2 g = − C． ( )f x 为奇函数 D． ( ) 2024 1 2024 n f n = = 【答案】ABC 【详解】 ( ) ( ) 2 ( ) ( )f x y f x y g x f y+ − − = . A：令 0y = ，得 ( ) ( ) 2 ( ) (0) 0f x f x g x f− = = ，则 (0) 0f = ，故 A 正确； B：令 1x y= = ，得 (2) (0) 2 (1) (1)f f g f− = ，即 (2) 2 (1) (1)f g f= ， 又 (2) (1) 0f f+ = 且 (2) (1) 0f f  ，所以 2 (1) (1) (1) 0g f f+ = ，解得 1 (1) 2 g = − ，故 B 正确； C：令 1x = ，得 (1 ) (1 ) 2 (1) ( )f y f y g f y+ − − = ，即 (1 ) (1 ) ( )f y f y f y+ − − = − ， 得 ( ) (1 ) (1 )f y f y f y= − − + ，所以 ( ) (1 ) (1 )f x f x f x= − − + ，得 ( ) (1 ) (1 )f x f x f x− = + − − ， 所以 ( ) ( ) 0f x f x+ − = ，则 ( )f x 为奇函数，故 C 正确； D：由选项 C 知 ( ) (1 ) (1 )f x f x f x= − − + ，又 (1 ) ( 1)f x f x− + = − − ， 得 ( ) (1 ) ( 1)f x f x f x= − + − − ①，令 x替换成1 x− ，得 (1 ) ( ) ( 2)f x f x f x− = + − ②， ①②相加，得 ( 1) ( 2) 0f x f x− − + − = ，则 ( 2) ( 1) ( 1)f x f x f x− = − − − = + ， 得 ( ) ( 3)f x f x= + ，即 ( )f x 的周期为 3，所以 (0) (3) 0f f == ， 因为 (1) (2) (3) 0,2024 674 3 2f f f+ + = =  + ， 所以 2024 1 ( ) (1) (2) (3) (2024) (1) (2) 0 n f n f f f f f f = = + + + + = + = ，故 D 错误. 故选：ABC 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知正方形 ABCD，边长为 1，点 E是 BC边上一点，若 2BE CE= ，则 AE CE = . 【答案】 2 9 − 【详解】因为在单位正方形 ABCD，点E 是BC边上一点，又 2BE CE= ，所以 2 3 AE AB BE AB BC= + = + ， 1 3 CE BC= − ， 所以 22 1 1 2 2 3 3 3 9 9 AE CE AB BC BC AB BC BC      = +  − = −  − = −        . 故答案为： 2 9 − 13. 过抛物线 2 2 ( 0)y px p= −  的焦点F 作圆C ： ( ) 2 22 4x y− + = 的两条切线，切点分 别为 ,M N ，若 FMN 为等边三角形，则 p 的值为___________. 【答案】4 【详解】如图， 6 过抛物线 2 )0(2y px p= － 的焦点 F作圆 C：( ) 2 22 4x y+ =－ 的两条切线，切点分别为M， N，又△FMN为等边三角形， 则在直角三角形MCF中， π 2 CMF = ， π 6 MFC = ， 又 C(2,0)， 0 2 p F   −    ， ，又 2, 2 2 p CM CF= = + ， 则 sin MC MFC CF  = ，即 2 1 22 2 p = + ，则 p＝4．故答案为：4． 14.已知直线 y kx b= + 既是曲线 lny x= 的切线，也是曲线 ( )lny x= − − 的切线，则 k b+ = . 【答案】 1 e / 1e− 【解析】设曲线 lny x= 与 ( )lny x= − − 的切点分别为 ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y ， 易知两曲线的导函数分别为 1 y x  = ， 1 y x  = − ， 所以 ( ) 1 2 1 1 2 2 1 1 0 1 ln ln 1 1 ln ln e k x x b b k kx b x b k k kx b x  = = − = + = −  + =     − + = = + = − −    ，则 1 e k b+ = . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分） 已知 ABC的内角 , ,A B C 的对边分别为 , , ,a b c ABC 的面积为 ( ) 1 sin sin sin 2 a c C b B a A+ − ． (1)求A ； (2)若 2a = ，且 ABC的周长为 5，设D为边 BC中点，求 AD. 【详解】（1）依题意， 1 1 ( sin sin sin ) sin 2 2 a c C b B a A ab C+ − = ， 所以 sin sin sin sinc C b B a A b C+ − = ， 由正弦定理可得， 2 2 2c b a bc+ − = ， 由余弦定理， 2 2 2 2 cosc b a bc A+ − = ，解得 1 cos 2 A = ， 因为 (0,π)A ，所以 π 3 A = ； （2）依题意， 5 3b c a+ = − = ， 因为 2 2 2 2( ) 3c b bc b c bc a+ − = + − = ，解得 5 3 bc = ， 7 因为 1 ( ) 2 AD AB AC= + ， 所以 2 2 2 2 2 2 5 3 1 ( ) 113( ) 4 4 4 4 6 b c bc b c bc AD AB AC − + + + − = + = = = = ， 所以 66 6 AD = ． 16．（15 分） 在底面 ABCD为梯形的多面体 中． , , 2 2 2, 45 ,AB CD BC CD AB CD CBD BC AE DE⊥ = =  =  = =∥ ，且四边形BDEN 为 矩形．点Q在线段EN 上． (1)点Q是线段EN 中点时，求证： / /CQ 平面 ADE ； (2)是否存在点Q，使得直线 BE 与平面QAD所成的角为 60°？若存在，求 EQ ．若不存 在，请说明理由． 【详解】（1）由 / / , , 2 2 2, 45 ,AB CD BC CD AB CD CBD BC AE DE⊥ = = = = = ， 则 BCD△ 为等腰直角三角形，有 2BC DC= = ，则 2, 2AE DE BD= = = ， 则 2 2( ) 2 2 2AD BC AB CD= + − = + = ， 在 ABD△ 中， 2 2 2 ,AD BD AB BD AD+ =  ⊥ ， 取线段BD中点M ，连接 ,CM QM ，则 / / , / /CM AD MQ DE ， 又因为直线MQ 平面 ADE ， AD 平面 ADE ，所以直线 / /MQ 平面 ADE ， 同理直线 / /CM 平面 ADE ，又因为MN CQ M= ， MQ、CM 平面CQM ，所以平面 / /CQM 平面 ADE ， 因为直线CQ 平面 ADE ，所以 / /CQ 平面 ADE ； （2）因为四边形BDEN 为矩形，则BD DE⊥ ， 又DE AD D = ，DE 、 AD 平面 ADE ，故BD ⊥平面 ADE ， 以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz− ， 则 ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 2,0,0 , 0, 2,0 , 1,0,1D A B E ， 所以 ( ) ( ) ( )0,2,0 , 2,0,0 , 1, 2,1DB DA BE= = = − , 设 ( ) ( )0,2,0 0,2 ,0EQ EN DB   = = = = ， 其中 0 1≤ ≤ ，解得 ( )1, 2 ,1Q  ，故 ( )1,2 ,1DQ = ， 设平面QAD的法向量为 ( ), ,n x y z= ， 8 则 0 0 n DA n DQ   =   = ，即 2 0 2 0 x x y z =  + + = ， 令 1y = ，则 0, 2x z = = − ，故 ( )0,1, 2n = − ， 因为直线 BE 与平面QAD所成的角为60 ， 所以 2 2 2 3 sin60 cos , 21 4 6 BE n BE n BE n    − − = = = = +  ， 即 2 01628 1 − + = ，解得 1 2  = 或 1 14  = ， 故存在点 , 1Q EQ = 或 1 7 . 17．（15 分）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙 三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划 6 月 1 日选择“共享单车”或“地铁”两种 出行方式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲选择“共享单车”的概率为 1 2 ，乙 选择“共享单车”的概率为 2 3 ，丙选择“共享单车”的概率为 3 4 ． (1)若有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率； (2)记甲、乙、丙三人中选择“共享单车”出行的人数为 X，求 X的分布列与数学期望． 【答案】(1) 9 11 (2)分布列见解析， 23 12 ． 【详解】（1）记甲、乙、丙三人选择“共享单车”出行分别为事件 A，B，C，记三人中恰有 两人选择“共享单车”出行为事件 D， 则 1 2 1 1 1 3 1 2 3 11 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 P D P ABC P ABC P ABC= + + =   +   +   = ， 又 1 2 3 1 1 3 3 ( ) ( ) ( ) 2 3 4 2 3 4 8 P CD P ABC P ABC= + =   +   = ， 所以 ( ) 3 ( ) 98 11( ) 11 24 P CD P C D P D = = = ， 即若有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为 9 11 ． （2）由题意可知，X的所有可能取值为 0，1，2，3， 则 1 1 1 1 ( 0) ( ) 2 3 4 24 P X P ABC= = =   = ， 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 P X P ABC P ABC P ABC= = + + =   +   +   = ， 11 ( 2) ( ) 24 P X P D= = = ， 9 1 2 3 1 ( 3) ( ) 2 3 4 4 P X P ABC= = =   = ， 所以 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 24 1 4 11 24 1 4 故 1 1 11 1 23 ( ) 0 1 2 3 24 4 24 4 12 E X =  +  +  +  = ， 即 X的数学期望为 23 12 ． 18．（17 分） 设椭圆 ( ) 2 2 2 2 1 0 x y a b a b + =   的左焦点为F ，右顶点为 A，离心率为 1 2 ．已知 A是抛物线 ( )2 2 0y px p=  的焦点，F到抛物线的准线 l的距离为 1 2 ． (1)求椭圆的方程和抛物线的方程; (2)设 l上两点 P，Q，关于 x轴对称，直线 AP与椭圆相交于点 B（B异于点 A），直线BQ 与 x轴相交于点 D．若 APD△ 的面积为 6 2 ，求直线 AP的方程． 【答案】(1) 2 2 4 1 3 y x + = ， 2 4y x= (2)3 6 3 0x y+ − = 或3 6 3 0x y− − = 【分析】（1）根据题意列出关于 , ,a c p的方程，求出它们的值，即可求得答案； （2）设 ( 1, )P t− ( )0t  ，即可表示出 AP 的方程，联立椭圆方程，求出 B点坐标，即可求出 BQ方程，进而求出 D点坐标，可得 AD的长，从而根据 APD△ 的面积为 6 2 ，列式计算 求出 t的值，即可求得答案. 【详解】（1）依题意设点F ( ,0)c− ，因 1 2 c e a = = ，且 2 p a= ， 由对称性知抛物线的准线 l方程为 x a= − ，则 1 2 a c− = ，解得 1a = ， 1 2 c = ， 2p = ， 于是 2 2 2 3 4 b a c= − = ． 从而得椭圆的方程为 2 2 4 1 3 y x + = ，抛物线的方程为 2 4y x= ． （2）由于准线 l方程为 1x= − ，依题意设 ( 1, )P t− ( )0t  ，则 ( 1, )Q t− − ． 因 (1,0)A ，则 2 AP t k = − ，得直线 AP 方程为 ( )1 2 t y x= − − ①， 10 将①式代入 2 2 4 1 3 y x + = 中化简，得 ( )2 2 2 23 2 3 0t x t x t+ − + − = ， 设 ( )0 0,B x y ，由韦达定理得 2 0 0 2 3 3 A t x x x t − = = + ，则 ( )0 0 2 3 1 2 3 t t y x t = − − = + ， 即 2 2 2 3 3 , 3 3 t t B t t  −   + +  ，则 2 6 2 BQ t k t + = ，于是得直线BQ方程为 ( ) 2 6 1 2 t y t x t + + = + ， 令 0y = ，解得 2 2 6 6 t x t − = + ，即 2 2 6 ,0 6 t D t  −   +  ．则 2 2 2 6 12 | | 1 6 6 t AD t t − = − = + + ， 于是 2 6 1 12 | | 2 2 6 APDS t t = =   + ，化简得 ( ) 2 6 0t − = ，即得 6t =  ， 代入①式化简，得直线 AP 方程为3 6 3 0x y+ − = ，或3 6 3 0x y− − = . 19.（本小题满分 17 分）已知函数 ( )y f x= ，其中 ( ) 3 2 1 3 f x x kx= − ， Rk .若点A 在函数 ( )y f x= 的图像上，且经过点A 的切线与函数 ( )y f x= 图像的另一个交点为点 B ，则称点 B 为点A 的一个“上位点”，现有函数 ( )y f x= 图像上的点列 1M ， 2M ，…， nM ，…，使 得对任意正整数n，点 nM 都是点 1nM + 的一个“上位点”. (1)若 0k = ，请判断原点O是否存在“上位点”，并说明理由； (2)若点 1M 的坐标为 ( )3 ,0k ，请分别求出点 2M 、 3M 的坐标； (3)若 1M 的坐标为 ( )3,0 ，记点 nM 到直线 y m= 的距离为 nd .问是否存在实数m 和正整数 T ，使得无穷数列 Td 、 1Td + 、…、 T nd + …严格减？若存在，求出实数m 的所有可能值；若 不存在，请说明理由. 【解】（1）已知 ( ) 3 1 3 f x x= ，则 ( ) 2f x x = ，得 ( )0 0f  = ， 故函数经过点O的切线方程为 0y = ， 其与函数 ( ) 3 1 3 f x x= 图像无其他交点，所以原点O不存在“上位点”. （2）设点 nM 的横坐标为 nt ， n为正整数， 则函数 ( )y f x= 图像在点 1nM + 处的切线方程为 ( ) ( )( )1 1 1n n ny f t f t x t+ + +− = − ， 代入其“上位点” ( )( ),n n nM t f t ，得 ( ) ( ) ( )( )1 1 1n n n n nf t f t f t t t+ + +− = − ， 化简得 ( ) ( )2 2 21 1 1 1 1 1 2 3 n n n n n n n nt t t t k t t t kt+ + + + ++ + − + = − ， 即 ( ) ( )2 2 21 1 1 1 13 3 6n n n n n n n nt t t t t k t t kt+ + + + ++ + − = + − ， 故 ( )( ) ( )1 1 12 3n n n n n nt t t t k t t+ + +− + = − ， 因为 1n nt t + ，得 12 3n nt t k+ + = （*）， 又点 1M 的坐标为 ( )3 ,0k ， 所以点 2M 的坐标为 ( )0,0 ，点 3M 的坐标为 33 9, 2 8 k k   −    . （3）将 ( )3,0 代入 ( )y f x= ，解得 1k = ， 由（*）得， 12 3n nt t+ + = . 即 ( )1 1 1 1 2 n nt t+ − = − − ，又 1 3t = ， 11 故 1nt − 是以 2 为首项， 1 2 − 为公比的等比数列， 所以 1 1 1 2 2 n nt −   − =  −    ，即 ( ) 1 21 1 2 n n nt − −= + −  ， ( )n nd f t m= − . 令 1n nu t= − ，则 22 nnu −= 严格减， 因为 ( )3 23 3 3x x x  − = − ，所以函数 33y x x= − 在区间 ( )0,1 上严格增. 当 2 3 m = − 时， ( )3 1 3 3 n n nd u u= − ，于是当 3n  时， nd 严格减，符合要求 当 2 3 m  − 时， ( ) 2 2 3 3 n nd f t m   = + − +    . 因为 3n  时 ( ) ( )3 2 2 1 3 2 3 3 n n n n nf t u u u −+ = −  = ， 所以当 2 2 log 2 3 n m + + 时， ( ) ( )3 2 2 2 1 3 3 3 3 3 n n n nd m f t m u u= + − + = + − − ， 从而当 2 2 log 2 3 n m + + 时 nd 严格增，不存在正整数T ， 使得无穷数列 Td ， 1Td + ，…， T nd + 严格减. 综上， 2 3 m = − . 2025届高三入学考试模拟试题一 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 3．已知向量．若与平行，则实数λ的值为（    ） A． B． C．1 D． 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高PQ为（    ）米 A． B． C． D． 8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（    ） A．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是 B．已知随机变量服从二项分布，若，则 C．已知随机变量服从正态分布，若，则 D．已知随机事件A，B满足，则 10．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．点为图象的一个对称中心 C．若在上有两个实数根，则 D．若的导函数为，则函数的最大值为 11．已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是 A． B． C．为奇函数 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则 . 13. 过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为___________. 14.已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知的内角的对边分别为的面积为． (1)求； (2)若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD. 16．（15分）在底面为梯形的多面体中．，且四边形为矩形．点在线段上．   (1)点是线段中点时，求证：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°？若存在，求．若不存在，请说明理由． 17．（15分）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划6月1日选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲选择“共享单车”的概率为，乙选择“共享单车”的概率为，丙选择“共享单车”的概率为． (1)若有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率； (2)记甲、乙、丙三人中选择“共享单车”出行的人数为X，求X的分布列与数学期望． 18．（17分）设椭圆的左焦点为，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线的焦点，F到抛物线的准线l的距离为． (1)求椭圆的方程和抛物线的方程; (2)设l上两点P，Q，关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线与x轴相交于点D．若的面积为，求直线AP的方程． 19.（本小题满分17分）已知函数，其中，.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”. (1)若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由； (2)若点的坐标为，请分别求出点、的坐标； (3)若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$