第10讲 直线的交点坐标与距离公式（4个知识点+3个要点+6种题型+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

第10讲直线的交点坐标与距离公式（4个知识点+3个要点+6种题型+过关检测） 知识点1：两条直线的交点坐标 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组的解． 知识点2：两点间的距离 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝＝·|x2－x1|，或|P1P2|＝|y2－y1|. 知识点3：点到直线的距离 点到直线的距离公式：d＝. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 知识点4：两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 注意点： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 要点1：对称问题 对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式． 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x,2b－y)． (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得． (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题． 要点2：善于利用几何特征解题 解析几何部分最重要的思想就是数形结合在坐标法解题的大背景下,善于发现、利用几何特征是解决此类问题的关键， 要点3：利用直线的对称求距离的最值 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 题型1：两直线的交点问题 【例题1】（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·天津滨海新·阶段练习）直线，直线，则与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·广东广州·期中）已知直线与直线垂直，则 ，这两条直线的交点坐标为 ． 【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）判断下列两条直线的位置关系.若相交，求出交点坐标. (1)，； (2)，. 题型2：经过两条直线交点的直线方程 【例题2】（23-24高二上·甘肃酒泉·期中）经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·广西玉林·阶段练习）经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·吉林白山·期末）经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为 . 【变式3】（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）请求出满足题意的直线方程： (1)过定点且在两坐标轴上截距相等的直线； (2)求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程． 题型3：两点间距离公式的应用 【例题3】（22-23高二·江苏·假期作业）已知点，，则A，B两点的距离为（    ） A．25 B．5 C．4 D． 【变式1】（21-22高二·全国·课后作业）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）在x轴上找一点Q，使点Q与A（5，12）间的距离为13，则Q点的坐标为 ． 【变式3】（23-24高二上·广西玉林·阶段练习）已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 题型4：点到直线的距离 【例题4】（23-24高二上·北京大兴·期中）点到直线的距离等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·安徽·期中）点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（24-25高二上·全国·课前预习）点到直线的距离 . 【变式3】（23-24高二上·河南·期中）在平面直角坐标系中，已知． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若点在直线上，且，求点到直线的距离． 题型5：两条平行直线间的距离 【例题5】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）与距离为的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（24-25高二上·全国·课前预习）两条平行直线与之间的距离是 . 【变式3】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线与 （）． (1)若，求的值； (2)若，求直线到的距离． 题型6：最值问题 【例题6】（21-22高二·全国·课后作业）已知x，y∈R，，则S的最小值是（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【变式1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是 . 【变式3】（23-24高二上·天津和平·阶段练习）已知，求的最小值． 一、单选题 1．（22-23高二上·天津河西·阶段练习）已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 2．（21-22高二·全国·课后作业）与两平行线：，：等距离的直线的方程为（    ） A． B． C．或 D． 3．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线与直线平行，那么该两平行线之间距离是（    ） A．0 B． C． D． 4．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 5．（24-25高二上·全国·单元测试）已知点，点在直线上．若直线垂直于直线，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·四川凉山·期中）已知直线，直线与直线的交点为，则点到直线的距离最大时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．（22-23高二上·浙江绍兴·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 8．（22-23高二上·广西贵港·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知点到直线的距离为3，则实数等于（    ） A．0 B． C．3 D．2 10．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 11．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）已知直线，则（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若与相交于点，则 D．若，则在两坐标轴上的截距相等 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·课后作业）已知点到直线l的距离为5，且直线l在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有 条． 13．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线与交于点，则 ． 14．（23-24高二上·江苏南京·期末）求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课前预习）怎样求两条平行直线与间的距离？ 16．（23-24高二上·北京房山·期末）已知的三个顶点分别为． (1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程； (2)求边上的高线的长． 17．（23-24高二上·贵州）已知的三个顶点是． (1)试判定的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程． 18．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知三条直线，和. (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值. 19．（23-24高二上·全国·期中）请求出满足题意的直线方程： (1)过定点且在两坐标轴上截距相等的直线； (2)求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲直线的交点坐标与距离公式（4个知识点+3个要点+6种题型+过关检测） 知识点1：两条直线的交点坐标 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组的解． 知识点2：两点间的距离 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝＝·|x2－x1|，或|P1P2|＝|y2－y1|. 知识点3：点到直线的距离 点到直线的距离公式：d＝. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 知识点4：两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 注意点： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 要点1：对称问题 对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式． 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x,2b－y)． (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得． (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题． 要点2：善于利用几何特征解题 解析几何部分最重要的思想就是数形结合在坐标法解题的大背景下,善于发现、利用几何特征是解决此类问题的关键， 要点3：利用直线的对称求距离的最值 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 题型1：两直线的交点问题 【例题1】（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解二元一次方程组即得交点坐标. 【详解】解方程组，得， 所以所求交点坐标为. 故选：B 【变式1】（22-23高二上·天津滨海新·阶段练习）直线，直线，则与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两直线方程联立即可解得交点坐标. 【详解】由得：，即与交点坐标为. 故选：D 【变式2】（22-23高二上·广东广州·期中）已知直线与直线垂直，则 ，这两条直线的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】由两直线垂直可直接构造方程求得，联立两直线方程即可求得交点坐标. 【详解】，，解得：； 则，， 由得：，两条直线的交点坐标为. 故答案为：； 【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）判断下列两条直线的位置关系.若相交，求出交点坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)平行 (2)相交， 【分析】（1）求出两直线的斜率，即可判断； （2）首先判断两直线不平行，再联立直线方程，求出交点坐标. 【详解】（1）对于，， 则，，所以， 又因为，所以. （2）因为与的斜率分别为，，则，所以两条直线相交， 由，解得，所以两条直线的交点坐标为 题型2：经过两条直线交点的直线方程 【例题2】（23-24高二上·甘肃酒泉·期中）经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立方程组求得两直线的交点坐标为，再由题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点坐标为， 因为直线的一个方向向量，可得所求直线的斜率为， 所以所求直线方程为，即. 故选：A. 【变式1】（22-23高二上·广西玉林·阶段练习）经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得两条直线和的交点坐标， 再利用直线垂直的等价条件以及直线的点斜式方程，即可求得该直线的方程. 【详解】由，可得， 又垂直于直线的直线的斜率， 则所求直线方程为，即. 故选：D 【变式2】（23-24高二上·吉林白山·期末）经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为 . 【答案】 【分析】求出交点坐标，根据直线的方向向量得到直线方程. 【详解】，解得，故交点坐标为， 因为直线的一个方向向量，所以直线方程为， 即. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）请求出满足题意的直线方程： (1)过定点且在两坐标轴上截距相等的直线； (2)求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）根据截距为0和不为0两种情况，即可根据待定系数法求解直线方程， （2）联立方程求解交点坐标，即可根据直线垂直满足的斜率关系求解斜率，进而根据直线的点斜式求解即可. 【详解】（1）①截距均为：设直线方程：， 直线过定点， ②截距不为0：设直线方程：，直线过定点 即 综上，满足题意直线方程为， （2）设的交点为，直线斜率为 联立，解得，所以的交点为， 直线与直线垂直，直线的斜率为 ， 由点斜式可得，整理得，即 题型3：两点间距离公式的应用 【例题3】（22-23高二·江苏·假期作业）已知点，，则A，B两点的距离为（    ） A．25 B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】由两点间的距离公式求解即可. 【详解】由两点间的距离公式得． 故选：B. 【变式1】（21-22高二·全国·课后作业）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【答案】C 【分析】计算出，由此确定三角形的形状. 【详解】， ， ， ， 所以三角形是直角三角形. 故选：C 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）在x轴上找一点Q，使点Q与A（5，12）间的距离为13，则Q点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】根据两点之间距离公式求解. 【详解】设，则有，解得或. 即或. 故答案为：或 【变式3】（23-24高二上·广西玉林·阶段练习）已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形 (2) 【分析】（1）根据斜率公式与两点间的距离公式求出，，，，即可判断； （2）求出、的中点的坐标，再根据斜率公式求出，最后由点斜式求出直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； （2）易求中点坐标，所以直线的斜率， 边上的中线为，化为一般式为 题型4：点到直线的距离 【例题4】（23-24高二上·北京大兴·期中）点到直线的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离等于. 故选：C 【变式1】（23-24高二上·安徽·期中）点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先把直线方程化为一般式，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】解：点P到直线的距离． 故选：A 【变式2】（24-25高二上·全国·课前预习）点到直线的距离 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 【变式3】（23-24高二上·河南·期中）在平面直角坐标系中，已知． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若点在直线上，且，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算直线的斜率为，确定高所在直线的斜率为1，得到直线方程. （2）计算直线方程，的垂直平分线方程，联立得到，计算距离即可. 【详解】（1）直线，即，直线的斜率为， 故边上的高所在直线的斜率为1， 所以边上的高所在的直线方程为，整理得； （2）直线，即， 的中点为，所以的垂直平分线所在的直线方程为， 因为为垂直平分线与直线的交点，所以，解得， 所以到直线的距离为 题型5：两条平行直线间的距离 【例题5】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线间方程的特征，结合平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】因为和互相平行， 所以，解得. 直线可以转化为， 由两条平行直线间的距离公式可得. 故选：D 【变式1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）与距离为的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】设所求直线方程为，利用两平行直线间的距离公式得到方程，求出的值，即可得解. 【详解】依题意设所求直线方程为， 则两平行直线间的距离，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·全国·课前预习）两条平行直线与之间的距离是 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 【变式3】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线与 （）． (1)若，求的值； (2)若，求直线到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的垂直的充要条件求解； （2）由直线平行的条件求出，再检验后，根据平行线间距离公式求解. 【详解】（1）因为 ， 所以，解得. （2）因为, 所以，解得或， 当时，与 平行， 当时，与重合，不符合题意， 故， 此时， 直线到的距离 题型6：最值问题 【例题6】（21-22高二·全国·课后作业）已知x，y∈R，，则S的最小值是（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由表示点P(x，y)到点A(－1，0)与点B(1，0)的距离之和，利用数形结合法求解. 【详解】解：表示点P(x，y)到点A(－1，0)与点B(1，0)的距离之和， 如图所示：    由图象知：， 当点P在线段AB上时，等号成立， 所以S取得最小值为2． 故选：B 【变式1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助几何图形，并求出点关于直线的对称点的坐标，再求出线段长即得. 【详解】如图，显然点在直线的同侧，设点关于直线的对称点为点， 则，解得，，即点， 由对称性知， 当且仅当点为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 【变式2】（2023高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】利用对称关系求出点的对称点为，则最小值为之间的距离. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是4， 故答案为：4 【变式3】（23-24高二上·天津和平·阶段练习）已知，求的最小值． 【答案】 【分析】将目标式理解为点到点和的距离之和，求得点关于直线的对称点，数形结合即可求得最小值. 【详解】设点的坐标为， 则表示点到点和的距离之和， 点为直线上一个动点，作图如下：    不妨设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， ， 当且仅当三点共线时取得等号； 故的最小值为. 一、单选题 1．（22-23高二上·天津河西·阶段练习）已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接用两点间得距离公式计算即可. 【详解】由两点间的距离公式得：，解得. 故选：D 2．（21-22高二·全国·课后作业）与两平行线：，：等距离的直线的方程为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】设与两直线平行的直线方程为，再根据平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】设与两直线平行的直线方程为， 又：，：，故， 即，故或，故， 所求直线方程为，即. 故选：A 3．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线与直线平行，那么该两平行线之间距离是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行得到方程与不等式，得到，再利用两平行直线间的距离公式求出答案. 【详解】且，解得， 两直线方程为与直线， 即与 故两平行线之间的距离为. 故选：B 4．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 5．（24-25高二上·全国·单元测试）已知点，点在直线上．若直线垂直于直线，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线垂直和斜率的关系设直线的方程为，代入点坐标，求出直线方程，再联立直线即可. 【详解】由题意可设直线的方程为，代入点， 则，解得，则直线的方程为， 联立直线，解得，则点的坐标为. 故选：C. 6．（22-23高二上·四川凉山·期中）已知直线，直线与直线的交点为，则点到直线的距离最大时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先求得以及直线所过定点，根据斜率求得正确答案. 【详解】由解得，即. 由整理得， 由解得，所以直线过定点， ，， 则当点到直线的距离最大时，. 故选：A 7．（22-23高二上·浙江绍兴·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用两点间距离公式及线段和的性质求解. 【详解】如图，设，， ， ， 表示点与之间的距离； 表示点与之间的距离； 表示点与之间的距离； 表示点与之间的距离； 所以 ， 其中是以1为边长的正方形内任意一点， ，； 故， 当且仅当时，，等号成立，所以原式的最小值为. 故选：B 8．（22-23高二上·广西贵港·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，边上的高所在直线方程为，得到边所在直线的方程，再与边上的中线所在直线方程联立求得点C，设，由点B在AC的高线上和AB的中线上求解. 【详解】解：因为，边上的高所在直线方程为， 所以， 所以边所在直线的方程为，即. 又边上的中线所在直线方程为， 由，解得， 所以. 设，则线段的中点， 则 解得 即， 所以所在直线的方程为. 故选：D 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知点到直线的距离为3，则实数等于（    ） A．0 B． C．3 D．2 【答案】AB 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】依题意，解得或. 故选：AB. 10．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 【答案】AD 【分析】根据两直线平行求出的值，可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；根据两直线垂直求出的值，可判断C选项；根据两直线相交求出的范围，可判断D选项. 【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合， 若，则，得，检验符合，故A选项正确； 若，由A选项可知，：，直线的方程可化为， 故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确； 若，则，得，故C选项不正确； 由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确. 故选：AD. 11．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）已知直线，则（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若与相交于点，则 D．若，则在两坐标轴上的截距相等 【答案】BC 【分析】根据直线平行和垂直的条件求出参数a的值，可判断A，B；将代入的方程求出a，判断C；求出在两坐标轴上的截距判断D. 【详解】若，则，解得或，故A错误； 若，则，且，解得或，故B正确； 若与相交于点，则，解得，故C正确； 若，则在x轴和y轴上的截距分别为和， 显然截距不相等，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·课后作业）已知点到直线l的距离为5，且直线l在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有 条． 【答案】3 【分析】结合点到直线的距离公式，分截距是否为0进行讨论即可得解. 【详解】当截距不为0时，由题意设所求直线为， 则，解得； 当截距为0时，设原点为，则，注意到， 所以此时满足题意的直线方程可以是； 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故答案为：3. 13．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线与交于点，则 ． 【答案】 【分析】求出两直线交点坐标后可得． 【详解】由得，所以， ， 故答案为：3. 14．（23-24高二上·江苏南京·期末）求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 【答案】 【分析】先求出直线和的交点，再设直线，代入交点求解即可． 【详解】由得， 设直线为，代入解得， 故方程为， 故答案为：． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课前预习）怎样求两条平行直线与间的距离？ 【答案】答案见解析 【详解】在直线上任取一点，点到直线的距离，就是这两条平行直线间的距离，即， 因为点在直线上，所以，即， 因此. 16．（23-24高二上·北京房山·期末）已知的三个顶点分别为． (1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程； (2)求边上的高线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由中点坐标公式可得线段的中点为的坐标，再根据点斜式即得中线所在直线的方程； （2）由题意可得直线的斜率，由直线的点斜式可得方程，然后由点到直线的距离公式代入可求得边上的高线的长. 【详解】（1）设的坐标为，则，， 即，所以 ， 则中线所在直线方程为，即 ． （2）由题意得 ． 则直线的方程为，即 中，边上的高线的长就是点到直线的距离 ． 17．（23-24高二上·贵州）已知的三个顶点是． (1)试判定的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2) 【分析】（1）由顶点坐标，得和，由得出；再根据两点之间距离公式求出和，得出，即可证明； （2）由点的坐标求出边中点的坐标，再求出，即可写出直线的点斜式方程． 【详解】（1）由题可知，， 因为， 所以， 所以是直角三角形， 又因为， 所以， 所以是等腰三角形 综上可知，是等腰直角三角形． （2）的中点坐标为，又， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为：，即， 所以边上的中线所在直线的方程为：． 18．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知三条直线，和. (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两条直线平行的条件求解即可； （2）先由两条确定的直线求出交点坐标，然后带入含参直线求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以.解得. 经检验，时，. 所以. （2）由，解得即与的交点为， 因为三条直线相交于一点，所以点在上， 所以.解得. 19．（23-24高二上·全国·期中）请求出满足题意的直线方程： (1)过定点且在两坐标轴上截距相等的直线； (2)求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）根据截距为0和不为0两种情况，即可根据待定系数法求解直线方程， （2）联立方程求解交点坐标，即可根据直线垂直满足的斜率关系求解斜率，进而根据直线的点斜式求解即可. 【详解】（1）①截距均为：设直线方程：， 因为直线过定点， 所以， ②截距不为0：设直线方程：，因为直线过定点， 所以 ， 所以，即 综上，满足题意直线方程为，. （2）设的交点为，直线斜率为， 联立，解得，所以的交点为， 因为与直线垂直，直线的斜率为， ， 由点斜式可得， 整理得，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$