第01章 一元二次方程 章节测试练习卷-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第01章 一元二次方程 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）方程，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）若菱形的一条对角线长为12，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（    ） A．20 B．24 C．28 D．20或28 5．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息可列方程为（    ） 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10    12 14    A． B． C． D． 6．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）判断方程的根的情况是（　　） A．有四个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 8．（2024·江苏宿迁·二模）已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 9．（2024·江苏南京·二模）若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 10．（2024九年级上·江苏·专题练习）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2． 填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．（2024九年级上·江苏·专题练习）将方程化成一般形式是 ． 12．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）若关于的方程一个根是1，则另一根为 ． 13．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则 ． 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程至少有一个整数根，则整数a的值为 ． 15．（23-24·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 16．（2024·江苏泰州·二模）若，则M的最小值为 ． 17．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）若关于x的方程有实数根，则k的范围是 ；若方程有两个不相等的实数根，则k的范围是 ． 18．（2022·江苏南通·一模）“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了 人． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．（2024九年级上·江苏·专题练习）若是关于x的一元二次方程，求m的值． 20．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知5个连续整数的和是m，它们的平方和是n，且，求这5个连续整数． 21．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； (2)当a取何整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数． 22．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）李明准备进行如下操作试验，把一根长的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 23．（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫的单价降了x元． (1)完成如表（用含x的整式填空）； 每天的销售量 每件衬衫的利润 总利润 降价前 20 40 800 降价后 _______ _______ 1250 (2)求衬衫的单价降了多少元？ 24．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 25．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是_______； ①    ②    ③ (2)若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值． 26．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 一元二次方程 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤．配方法的一般步骤为：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，即可求解． 【详解】解：， ． 故选B． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，以及一元二次方程的定义，把代入一元二次方程，求出k值，然后再根据一元二次方程的定义选择合适的k值即可． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得， 解得或1； 又， 即； 所以． 故选：C． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）方程，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要利用换元法变形，注意变形时与互为相反数，符号要变化．注意变形时符号的变化． 【详解】解：∵ ∴ 所以． 故选：D． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）若菱形的一条对角线长为12，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（    ） A．20 B．24 C．28 D．20或28 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形三边关系的应用，以及因式分解法解一元二次方程，先用因式分解法解一元二次方程，得出菱形的边长，再利用三角形三边关系的应用得出菱形的适合边长，最后根据菱形的周长计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 或， 解得或， 分两种情况： 当时， ∵， ∴不能构成三角形； 当时， ∵， ∴能构成三角形， 综上所述：该菱形的边长为7， ∴菱形的周长为：， 故选：C． 5．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息可列方程为（    ） 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10    12 14    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设增长率为x，列方程为， 故选B． 6．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：，． 当运动时间为秒时，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 点的运动时间是． 故选：A． 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）判断方程的根的情况是（　　） A．有四个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．先判断出，再将分式方程化成一元二次方程，利用直接开平方法解方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得或（不满足，舍去）， 经检验，是原方程的解， 所以方程的根的情况是有一个实数根， 故选：C． 8．（2024·江苏宿迁·二模）已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，把变形为，即可求解． 【详解】解：点是反比例函数图象上一点， ，， ， ， 当，时，有最小值为， 故选：A． 9．（2024·江苏南京·二模）若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法，得到的两个根为，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：， ∴关于y的方程的两根为， ∴； 故选A． 10．（2024九年级上·江苏·专题练习）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛10场，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．（2024九年级上·江苏·专题练习）将方程化成一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据多项式与多项式的乘法法则、移项、合并同类项法则计算即可． 【详解】解：， ， ， 即方程的一般形式是． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）若关于的方程一个根是1，则另一根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 关于的方程一个根是1， ， 故答案为：． 13．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，将代入原方程，得到关于m的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：2． 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程至少有一个整数根，则整数a的值为 ． 【答案】1或9 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先判断出，再解方程得到 ，根据 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．把它的两个根解出来，判断a的值即可． 【详解】解：当时，则，等式不成立； ∴， ∴方程是一元二次方程， ∴， ∵方程至少有一个整数根， ∴必须是整数， ∴必须是整数， ∴或， ∴或 故答案为：1或9． 15．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 16．（2024·江苏泰州·二模）若，则M的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解和配方法，将原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式进行进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 当时，原式取最小值2， 故答案为：2． 17．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）若关于x的方程有实数根，则k的范围是 ；若方程有两个不相等的实数根，则k的范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，，方程有两个不相等是实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程有没有实数根．据此列不等式求解即可．先分两种情况：方程为一元一次方程或一元二次方程，再求解即可，根据方程有两个不相等的实数根可得，再解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， 当时，方程为一元一次方程，方程有实数根， 当时，即， ， 解得：， 综上：关于x的方程有实数根，则k的范围是； 方程有两个不相等的实数根， 且 解得：且， 故答案为：；且． 18．（2022·江苏南通·一模）“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了 人． 【答案】4 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据一人患病经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染， 由题意得 解得或（舍去） 所以，每轮传染中平均一个人传染了4人 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．（2024九年级上·江苏·专题练习）若是关于x的一元二次方程，求m的值． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义解答即可，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵ ∴且， 解得． 即m的值为4． 20．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知5个连续整数的和是m，它们的平方和是n，且，求这5个连续整数． 【答案】这5个连续整数为，，，，；或10，11，12，13，14 【分析】由5个连续整数的和是m，设五个连续整数分别为，，，，根据题意得出方程求得答案即可． 【详解】解：设五个连续整数分别为，，，，， 由题意得 整理得：， 解得，， 因此这5个连续整数为，，，，；或10，11，12，13，14． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，掌握连续整数之间的联系再建立方程是解决问题的关键． 21．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； (2)当a取何整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：⇔方程有两个不相等的实数根；⇔方程有两个相等的实数根；⇔方程没有实数根． （1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案； （2）先利用因式分解法求出方程的两根为，x2，再根据两个实数根均为负整数，得出必须为正整数，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵ ∴无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，或， 解得，． 要使两个实数根均为负整数，则必须为正整数， ∴整数． 22．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）李明准备进行如下操作试验，把一根长的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)应将之剪成和的两段； (2)正确，理由见解析 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，一元二次方程的判别式，理解题意，列出相应方程是解题关键． （1）设其中一段的长度为，根据两个正方形的面积之和等于建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为，根据两个正方形的面积之和等于建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确． 【详解】（1）设其中一段的长度为， 根据题意得，， 整理得，， 解得，， ∴应将之剪成和的两段； （2）解：设剪成的较短的这段为， 两正方形面积之和为时，， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数解， ∴不可能使得两正方形面积之和为，李明的说法正确． 23．（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫的单价降了x元． (1)完成如表（用含x的整式填空）； 每天的销售量 每件衬衫的利润 总利润 降价前 20 40 800 降价后 _______ _______ 1250 (2)求衬衫的单价降了多少元？ 【答案】(1)； (2)衬衫的单价降了15元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用： （1）根据题意完成表格，即可求解； （2）根据“降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元”列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：衬衫的单价降了x元， 每天的销售量为：件， 每件衬衫的利润为：元， 故答案为：；； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：衬衫的单价降了15元． 24．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，灵活选用钥匙方法是解答本题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）方程移项后再运用因式分解法求解即可； （3）方程运用直接开平方法求解即可； （4）方程整理后运用因式分解法求解即可； （5）方程整理后运用因式分解法求解即可； （6）运用因式分解法求解即可 【详解】（1）解： 或， ； （2）解： ， 或， ，； （3）解： ， ， ； （4）解： ， ， 或， ； （5）解： ， ， ， 或， ， 又， ； （6）解： ， 或， 或（无解）， ． 25．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是_______； ①    ②    ③ (2)若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，“三倍根方程”，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． （1）解一元二次方程然后根据“三倍根方程”的定义进行判定即可； （2）设方程两个根为，，利用根与系数关系得：，，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：对于①，解得，，不是“三倍根方程”； 对于②，解得，，不是“三倍根方程”； 对于③，解得，，是“三倍根方程”； 故答案为③ （2）解：设方程两个根为，， 利用根与系数关系得：，， 所以． 26．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1) (2) (3)2025和2022 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （3）解：， ， 由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数， ， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， 或， 解得：或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为或． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$