导数与函数的极值、最值导学案-2025届高三数学一轮复习

高碑店紫泉中学一轮复习导学提纲（高三数学） 编制人：许志成 审核：高三数学组 编号： 班级： 姓名： 日期： 课题：3.3导数与函数的极值、最值 【学习目标】 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极值、最值. 3.通过用导数研究函数的极值、最值的综合问题以及简单的优化问题，发展数学运算素养、逻辑推理素养. 【学习重点】利用导数研究函数的极值、最值. 【学习难点】用导数求函数的极值、最值的综合问题，以及简单的优化问题. 【基础感知】 1.如图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的正负有什么规律？ 极值反应的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质. 2.如上图，函数，的图象，你能找出的最小值、最大值吗？ 例1.求函数的极值. 变式：将例题改为“求在区间上的最大值与最小值”. 练习： 1．函数的导函数的图象如图所示，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. 2.求下列函数的极值： （1） （2） 3. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值. （1） （2） 4.证明不等式：. 思考：三次函数的单调性和图象有什么特点呢？ 【能力提升】 例题2. （1）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为 . （2）若函数在上的最大值为4，则 （3）已知函数在处有极小值，则的值为 . （4）已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围 是 . 例题3.给定函数. （1） 判断函数的单调性，并求出的极值； （2） 画出函数的大致图象； （3） 求出方程的解的个数. 例题4.已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值. 例题5.某制造商制造并出售球形的某种饮料.瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是瓶子的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6. （1） 瓶子半径多大时，能使每瓶的饮料的利润最大？ （2） 瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 【思维训练】 1.已知函数的最小值为2，则实数的值为 . 2.函数在上有仅有一个极值点，则实数的取值范围是 . 3.若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是 . 4.利用函数得单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证. （1） （2） 【重温高考】 1.（2023.全国乙卷，文）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.（2021.全国乙卷）设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 3.（2022.全国乙卷，理）已知和分别是函数的极小值点和极大值点.若，则的取值范围是 . 4.（2021.新高考Ⅰ卷）函数的最小值为 . 【学习总结】 这节你有哪些收获？请写一写. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$