第一章 特殊的平行四边形（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记.巧练（北师大版2024，贵州专用）

第一章 特殊的平行四边形（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对边相等 C．邻边相等 D．对角线相等 【解答】解：矩形的特性是：四个角都是直角，对角线相等．平行四边形不具有此性质． 故选：D． 2．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M、C两点间的距离为（　　） A．2.4 k m B．3.6 k m C．4.2 k m D．4.8 k m 【解答】解：∵公路AC、BC互相垂直， ∴∠ACB＝90°， ∵M为AB的中点， ∴， ∵AB＝4.8 km， ∴CM＝2.4（ km），即M，C两点间的距离为2.4 km， 故选：A． 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　） A．BD＝AB B．OA＝OB C．AC⊥BD D．OD＝AC 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O， ∴AB＝AD，AC⊥BD， ∴由“菱形ABCD中，AC⊥BD”不能证明菱形ABCD为正方形， 故C不符合题意； ∵BD＝AB， ∴BD＝AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°， ∴菱形ABCD不是正方形， 故A不符合题意； ∵OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，且OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴AC＝BD， ∴菱形ABCD是矩形， ∴菱形ABCD是正方形， 故B符合题意； ∵OD＝AC＝2OA， ∴∠OAD＞45°， ∵AB＝AD，AC⊥BD， ∴∠OAB＝∠OAD＞45°， ∴∠BAD＝2∠OAD＞90°， ∴菱形ABCD不是正方形， 故D不符合题意， 故选：B． 4．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠ACB＝40°．则∠E的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【解答】解：连接BD交AC于点F， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC， ∵BE＝AC， ∴BD＝BE， ∴∠E＝∠BDE， ∵BF＝DF＝BD，CF＝AF＝AC， ∴BF＝CF， ∴∠DBE＝∠ACB＝40°， ∵∠BDE+∠E＝2∠E＝180°﹣∠DBE＝140°， ∴∠E＝70°， 故选：D． 5．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，DC的中点．若EF＝4，则菱形ABCD的周长为（　　） A．8 B．16 C．24 D．32 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵点E，F分别是AC，DC的中点． ∴EF＝AD， ∵EF＝4， ∴AD＝8， 即AB＝BC＝CD＝AD＝8， ∴菱形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝8+8+8+8＝32． 故选：D． 6．在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点分别为E、F、②作直线EF，交对角线AC于点G．③连接DG．若∠B＝75°，则∠AGD度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【解答】解：如图，连接BG， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝75°， ∴AB＝AD，∠DAB＝105°，∠GAB＝∠GAD＝∠DAB， 由题意可得：EF垂直平分AB， ∴AG＝GB， ∴∠GAB＝∠GBA＝∠DAB， ∴∠AGB＝180°﹣∠GAB﹣∠GBA＝180°﹣∠DAB＝75°， ∵AB＝AD，∠GAB＝∠GAD，AG＝AG， ∴△AGB≌△AGD（SAS）， ∴∠AGB＝∠AGD＝75°， 故选：D． 7．平行四边形ABCD中，EF经过两条对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F，在对角线AC上通过作图得到点M，N如图1，图2，下面关于以点F，M，E，N为顶点的四边形的形状说法正确的是（　　） A．都为矩形 B．都为菱形 C．图1为矩形，图2为平行四边形 D．图1为矩形，图2为菱形 【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，OA＝OC， ∴∠FCO＝∠EAO，∠CFO＝∠AEO， ∴△FCO≌△EAO（AAS）， ∴OE＝OF， 由图1作图可得OE＝OF＝OM＝ON， ∴图1以点F，M，E，N为顶点的四边形为矩形， 由图2中作图可知，EM⊥AC，FN⊥AC， ∴∠EMO＝∠FNO＝90°， 又∵∠EOM＝∠FON，OE＝OF， ∴△OME≌△ONF（AAS）， ∴OM＝ON， 又∵OE＝OF， ∴图2以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形， 故选C． 8．如图，三角尺EFG的顶点F，G分别在矩形ABCD的边AB，AD上，∠EFG＝90°，∠FEG＝30°，若∠GMC＝75°，则∠AFG的度数为（　　） A．65° B．75° C．85° D．95° 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， ∵∠GMC＝75°， ∴∠AGM＝∠GMC＝75°， ∵∠EFG＝90°，∠FEG＝30°， ∴∠FGE＝60°， ∴∠AGF＝∠AGM﹣∠FGM＝75°﹣60°＝15°， ∴∠AFG＝90°﹣∠AGF＝90°﹣15°＝75°， 故选：B． 9．在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是近AB上的一个动点（不与A、B重合）连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，下列四个结论中： 甲：对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形； 乙：若∠ABC＜90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形； 丙：若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形； 丁：若AB＞AD，∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形． 以上所有正确说法的序号是（　　） A．甲、丙、丁正确，乙错误 B．甲、乙、丙、丁都正确 C．甲、乙、丙正确，丁错误 D．甲、乙、丙错误，丁正确 【解答】解：如图1， ∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O， ∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD， ∴∠OAE＝∠OCF， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形， 即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形， 故选项甲正确； 如图2， 当CE⊥AB时，点E不在边AB上，故选项乙错误． 如图3， 当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，故选项丙正确． 由丙知，若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形， ∵∠BAC＝45°， ∴∠DAC＝∠BAC＝45°， ∴∠DAB＝90°， ∴若AB＞AD，∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形，故选项丁正确． 故选：A． 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，∠ABO＝60°，若AB＝2，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥y轴于E， ∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，AB＝2， ∴OB＝AB＝1，AO＝OB＝， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°＝∠DEA＝∠AOB， ∴∠DAE+∠BAO＝90°＝∠BAO+∠ABO， ∴∠DAE＝∠ABO， ∴△DAE≌△ABO（AAS）， ∴AE＝OB＝1，DE＝OA＝， ∴OE＝+1， ∴点D（，+1）， 故选：C． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　） A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．6 【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°， ∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠DAE＝∠EAB＝30°． ∵DF∥AB， ∴∠F＝∠BAE＝30°． ∴∠DAF＝∠F＝30°， ∴AD＝DF． ∵AB＝13，∠B＝30°， ∴AD＝6.5， ∴DF＝6.5． 故选：B． 12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　） A． B．13 C． D． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12， ∴BC＝＝13， ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DMAN是矩形， ∴MN＝AD， ∴当AD⊥BC时，AD的值最小， 此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD， ∴AD＝＝， ∴MN的最小值为； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．一个矩形的一条对角线长为20，且两条对角线相交所成的钝角为120°，则这个矩形的面积为　100　． 【解答】解：如图，矩形ABCD中，∠AOD＝120°，AC＝20， 则∠AOB＝60°， ∵AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OB＝AC＝10， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝10， ∴BC＝＝10， ∴S矩形ABCD＝BC•AB＝100． 故答案为：100． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边AC的中点，点E为线段BD的中点．若AB＝3，AE＝2，则边AC的长为 　2　． 【解答】解：∠BAC＝90°，点E为线段BD的中点，AE＝2， ∴BD＝2AE＝4， 又AB＝3， ∴， ∵点D为边AC的中点， ∴， 故答案为：． 15．如图菱形ABCD中，∠B＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，连接DE，则∠ADE的度数是 　55°　． 【解答】解：如图，连接BE， ∵菱形 ABCD中，∠ABC＝70°， ∴AD∥BC，∠DAC＝∠BAC， ∴∠DAB＝180°﹣70°＝110°，∠DAC＝∠BAC＝55°， ∵AB的垂直平分线交对角线AC于点E， ∴EA＝EB， ∴∠EAB＝∠EBA＝55°， ∴由菱形的轴对称的性质可得： ∠ADE＝∠ABE＝55°， 故答案为：55° 16．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　4　s后，四边形ABPQ成为矩形． 【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得 3x＝20﹣2x． 解得x＝4， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F．求证：DE＝BF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， ∵AE⊥CD，AF⊥BC， ∴∠AED＝∠AFB＝90°， 在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（AAS）， ∴DE＝BF． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD：∠DCA＝2：3，E是斜边AB的中点，求∠ECD． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，BCD：∠DCA＝2：3， ∴∠BCD＝∠ACB＝36°，∠DCA＝∠ACB＝54°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°， ∴∠EAC＝90°﹣∠DCA＝36°， ∵E是斜边AB 的中点， ∴CE＝AE＝AB， ∴∠ECA＝∠EAC＝36°， ∴∠ECD＝∠DCA﹣∠ECA＝18°， ∴∠ECD的度数为18°． 19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，△AOB是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝5，求BC的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． ∵△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°． ∵△AOB是等边三角形， ∴AO＝AB＝5，则AC＝10， ∴． 20．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O作OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若AB＝6，BC＝10． （1）求△ABE的周长． （2）延长EO交BC于点F，连接DF，求BF的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝10， ∵O是BD的中点， ∴OB＝OD， 又∵OE⊥BD， ∴OE垂直平分BD， ∴BE＝ED， C△ABE＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝6+10＝16， ∴△ABE的周长为16； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，CD＝AB＝6，∠C＝90°， ∴∠EDO＝∠FBO， 在△DOE与△BOF中， ， ，∴△DOE≌△BOF（ASA）， ∴DE＝BF， 又∵DE∥BF， ∴四边形BEDF为平行四边形， 又∵BE＝ED， ∴四边形BEDF为菱形， ∴BF＝DF， 设BF＝DF＝x，则FC＝10﹣x， 在Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2， ∴62+（10﹣x）2＝x2， 解得， ∴BF的长为． 21．如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 【解答】（1）证明： ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴DE∥OC，CE∥OD， ∴四边形ODEC是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OD＝OC＝OA＝OB， ∴四边形ODEC是菱形， ∴OE⊥DC， （2）∵DE＝2，且四边形ODEC是菱形 ∴OD＝OC＝DE＝2＝OA， ∴AC＝4 ∵∠AOD＝120，AO＝DO ∴∠DAO＝30°，且∠ADC＝90° ∴CD＝2，AD＝CD＝2 ∴S矩形ABCD＝2×2＝4 22．如图，在长方形ABCD中，BC＝3，AB＝4，点E为边AB上一动点，连接CE，随着点E的运动△BCE的面积也发生变化． （1）求△BCE的面积y与AE的长x（0＜x＜4）之间的关系式； （2）当x＝2时，求y的值． 【解答】解：（1）由三角形的面积公式得， y＝CD•DE ＝×3×（4﹣x） ＝﹣x+6， 答：△DCE的面积y与AE的长x（0＜x＜4）之间的关系式为y＝﹣x+6； （2）当x＝2时，y＝﹣3+6＝3， 答：当x＝2时，y＝3． 23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD． 小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE． （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2）连接CE，交AB于点F，试判断BF与DE有怎样的关系，并证明你的结论． 【解答】（1）证明：选小星：连接BE， ∵AE∥BD，DE∥BA， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE＝BD， ∵BD＝BC， ∴AE＝BC， ∵AE∥BC， ∴四边形AEBC是平行四边形， ∵∠C＝90°， ∴四边形AEBC是矩形， ∴∠EBC＝90°， ∴BE⊥CD； 选小红：连接CE， ∵AE∥BD，DE∥BA， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE＝BD，AB＝DE， ∵BD＝BC， ∴AE＝BC， ∵AE∥BC， ∴四边形AEBC是平行四边形， ∵∠C＝90°， ∴四边形AEBC是矩形， ∴AB＝CE， ∴DE＝CE； （2）BF∥DE， 理由如下： 证明：如图，连接BE，CE， ∵四边形AEBC是矩形， ∴CF＝EF， ∵BD＝BC， ∴BF是△CDE 的中位线 ∴BF∥DE，． 24．如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上一点，射线AM交CD于E，交BC的延长线于点F，CG⊥CM交EF于点G． （1）求证：AM＝CM． （2）探究CG与EF的数量关系，并说明理由． （3）连接DG，若DG⊥BD，AB＝8，求DE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴AB＝BC，∠ABM＝∠CBM＝45°， 又∵BM＝BM， ∴△ABM≌△CBM（SAS）， ∴AM＝CM； （2）CG＝EF，理由： 由（1）△ABM≌△CBM， ∴∠BAM＝∠BCM， ∴90°﹣∠BAM＝90°﹣∠BCM， 即∠DAM＝∠DCM， ∵MC⊥GC， ∴∠MCG＝90°＝∠MCE+∠ECG， 又∵∠ECG+∠GCF＝90°， ∴∠GCF＝∠MCE＝∠DAM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∠BDC＝45°， ∴∠F＝∠DAM， ∵∠DAM+∠AED＝90°，∠AED＝∠CEF， ∴∠F＝∠GCF，∠ECG＝∠CEG， ∴CG＝FG，CG＝EG， ∴CG＝EF； （3）∵∠BCM+∠MCD＝90°＝∠MCD+∠DCG， ∴∠BCM＝∠DCG， ∵BD⊥DG， ∴∠BDG＝90°＝∠BDC+CDG， ∵∠BDC＝45°， ∴∠CDG＝45°＝∠CBM， ∵BC＝DC， ∴△BCM≌△DCG（ASA）， ∴CM＝CG， 由（2）可得，AM＝CM＝CG＝FG， 设AM＝a，则MG＝＝a，MF＝（1+）a， ∴＝＝， ∵AD∥BC， ∴△ADM∽△FCM， ∴＝＝， 即＝， ∴BF＝8+8， ∴CF＝8+8﹣8＝8， 由＝可得，＝， 解得DE＝8﹣8． 25．已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（0＜t＜8）． （1）如图1，点P在AB边上，PQ，AC相交于点O，当PQ，AC互相平分时，求t的值； （2）如图2，点P在BC边上，AP，BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，求t的值． 【解答】解：（1）由题意得DQ＝t cm，AP＝2t cm， ∵四边形ABCD是边长为8cm的正方形， ∴CQ＝（8﹣t）cm， 当PQ，AC互相平分时，四边形APCQ为平行四边形， ∴AP＝CQ， ∴2t＝8﹣t， 解得t＝， 即t的值为s； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°， ∵AP⊥BQ， ∴∠BAP+∠ABH＝∠ABH+∠CBQ＝90°， ∴∠BAP＝∠CBQ， ∴△ABP≌△BCQ（ASA）， ∴BP＝CQ， ∵BP＝2t﹣AB＝2t﹣8，CQ＝8﹣t， ∴2t﹣8＝8﹣t， 解得t＝， 即t的值为s． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/27 13:03:03；用户：赵玉琴；邮箱：13721589064；学号：37201216 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊的平行四边形（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对边相等 C．邻边相等 D．对角线相等 2．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M、C两点间的距离为（　　） A．2.4 k m B．3.6 k m C．4.2 k m D．4.8 k m 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　） A．BD＝AB B．OA＝OB C．AC⊥BD D．OD＝AC 4．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠ACB＝40°．则∠E的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 5．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，DC的中点．若EF＝4，则菱形ABCD的周长为（　　） A．8 B．16 C．24 D．32 6．在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点分别为E、F、②作直线EF，交对角线AC于点G．③连接DG．若∠B＝75°，则∠AGD度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 7．平行四边形ABCD中，EF经过两条对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F，在对角线AC上通过作图得到点M，N如图1，图2，下面关于以点F，M，E，N为顶点的四边形的形状说法正确的是（　　） A．都为矩形 B．都为菱形 C．图1为矩形，图2为平行四边形 D．图1为矩形，图2为菱形 8．如图，三角尺EFG的顶点F，G分别在矩形ABCD的边AB，AD上，∠EFG＝90°，∠FEG＝30°，若∠GMC＝75°，则∠AFG的度数为（　　） A．65° B．75° C．85° D．95° 9．在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是近AB上的一个动点（不与A、B重合）连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，下列四个结论中： 甲：对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形； 乙：若∠ABC＜90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形； 丙：若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形； 丁：若AB＞AD，∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形． 以上所有正确说法的序号是（　　） A．甲、丙、丁正确，乙错误 B．甲、乙、丙、丁都正确 C．甲、乙、丙正确，丁错误 D．甲、乙、丙错误，丁正确 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，∠ABO＝60°，若AB＝2，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　） A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．6 12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　） A． B．13 C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．一个矩形的一条对角线长为20，且两条对角线相交所成的钝角为120°，则这个矩形的面积为　 　． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边AC的中点，点E为线段BD的中点．若AB＝3，AE＝2，则边AC的长为 　 　． 15．如图菱形ABCD中，∠B＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，连接DE，则∠ADE的度数是 　 　． 16．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　 　s后，四边形ABPQ成为矩形． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F．求证：DE＝BF． 18．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD：∠DCA＝2：3，E是斜边AB的中点，求∠ECD． 19．（11分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，△AOB是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝5，求BC的长． 20．（11分）如图，在矩形ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O作OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若AB＝6，BC＝10． （1）求△ABE的周长． （2）延长EO交BC于点F，连接DF，求BF的长． 21．（11分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 22．（10分）如图，在长方形ABCD中，BC＝3，AB＝4，点E为边AB上一动点，连接CE，随着点E的运动△BCE的面积也发生变化． （1）求△BCE的面积y与AE的长x（0＜x＜4）之间的关系式； （2）当x＝2时，求y的值． 23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD． 小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE． （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2）连接CE，交AB于点F，试判断BF与DE有怎样的关系，并证明你的结论． 24．（12分）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上一点，射线AM交CD于E，交BC的延长线于点F，CG⊥CM交EF于点G． （1）求证：AM＝CM． （2）探究CG与EF的数量关系，并说明理由． （3）连接DG，若DG⊥BD，AB＝8，求DE的长． 25．（13分）已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（0＜t＜8）． （1）如图1，点P在AB边上，PQ，AC相交于点O，当PQ，AC互相平分时，求t的值； （2）如图2，点P在BC边上，AP，BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，求t的值． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$