专题04 二次根式乘除【九大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题04 二次根式的乘除 考点类型 知识一遍过 （一）二次根式乘法法则 二次根式的乘法法则: 【注意】 ①要注意a≥0，b≥0这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立； ②同样成立； ③乘法交换律在二次根式中仍然适用。 二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：=（a≥0，b≥0） （二）二次根式除法法则 二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 【注意】 ①要注意a≥0，b＞0这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。 ②在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）： （a≥0，b＞0） （三）最简二次根式 ①被开方数不含分母，例：、； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：。 ③分母有理化两种形式：、 考点一遍过 考点1：二次根式乘法 典例1：计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：小聪：，，所以． 小明：， 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明； (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 考点2：二次根式除法 典例2：计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式1】计算 (1). (2). (3). (4). 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】下面是小明和大刚分别计算：，的做法． 小明的做法： 解： ． 大刚的做法： 解： ． 两人的做法是否都正确?并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目： (1)； (2)． 考点3：二次根式乘除——混合运算 典例3：计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算：； 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 考点4：最简二次根式的判断 典例4：下列二次根式中，最简二次根式的是（  ）. A． B． C． D． 【变式1】下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】将式子（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．写出一个符合条件a的值 ． 【变式3】在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 考点5：最简二次根式化简 典例5：下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列根式中与其他三个不同类的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 【变式3】化简： ． 考点6：最简二次根式——求字母 典例6：若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】若最简二次根式与（a为有理数）可以合并，则m的值为（    ） A．2021 B． C．2025 D． 【变式2】若最简二次根式可以与合并，则的值可以是（    ） A．5 B．4 C．2 D．1 【变式3】若最简二次根式2与是同类二次根式，则a的值为（　　） A． B．2 C．﹣3 D． 考点7：分母有理化 典例7：认真阅读下列解答过程，并解答下列各题： 比较与的大小． 解： 因为     所以 即： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算： 【变式1】在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： 因为；所以， 所以，；所以， 所以． 请你根据小明的分析和解答过程，解决如下问题： (1)化简：（结果的分母中不含根号）； (2)若，求的值 【变式2】小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据小辰的分析过程，解决如下问题： (1)①化简 ． ②当时，求的值． (2)化简． 【变式3】已知，，求． 考点8：分母有理化的应用 典例8：阅读下列解题过程： …………………………，请回答下列回题： (1)观察上面的解答过程，请写出___________； (2)利用上面的化解方法，请计算： 【变式1】大家知道，因式分解是代数中一种重要的恒等变形．应用因式分解的思想方法有时能取得意想不到的效果，如化简： …… (1)从以上化简的结果中找出规律，直接写出用n（n是正整数）表示上面规律的式子． (2)根据以上规律，计算 【变式2】【阅读材料】 像，（），（），， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 (1)的有理化因式为______； (2)化简：； (3)如图，中，与的角平分线相交于点，若的周长为，面积为，求点到边的距离； (4)化简：． 【变式3】像，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与与与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，试比较的大小，并说明理由． 考点9：比较二次根式的大小 典例9：在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【变式1】先用“”“”“”填空． ______；______；______． 再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由． 【变式2】阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【变式3】“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即：； 例如：比较与2的大小． ∵   又∵   则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． (3)已知，试用“比差法”比较与的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式的乘除 考点类型 知识一遍过 （一）二次根式乘法法则 二次根式的乘法法则: 【注意】 ①要注意a≥0，b≥0这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立； ②同样成立； ③乘法交换律在二次根式中仍然适用。 二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：=（a≥0，b≥0） （二）二次根式除法法则 二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 【注意】 ①要注意a≥0，b＞0这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。 ②在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）： （a≥0，b＞0） （三）最简二次根式 ①被开方数不含分母，例：、； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：。 ③分母有理化两种形式：、 考点一遍过 考点1：二次根式乘法 典例1：计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2)6 000 (3)10 (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （1）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （2）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （3）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （4）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算： （1）根据二次根式乘法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算． （1）按照二次根式的乘法运算法则计算即可． （2）利用平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式3】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：小聪：，，所以． 小明：， 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明； (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1)；举例见解析 (2)①24；②77 (3)18 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键． （1）由题意可得：； （2）①根据，即可求解； ②根据，即可求解； （3）由长方形的面积可求，再化简求值即可． 【详解】（1）解：； 例如：，， ∴． （2）解：①； ②． （3）解：∵长方形的长为，宽为， ∴， 答：这个长方形的面积为18． 考点2：二次根式除法 典例2：计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （4）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解答本题的关键． 【变式1】计算 (1). (2). (3). (4). 【答案】(1)；(2)2；(3)；(4) 【分析】（1）根据公式 计算即可. （2）根据公式 计算即可. （3）根据公式 计算即可. （4）根据公式 计算即可. 【详解】（1） (2). (3) (4). 【点睛】本题考查的是二次根式的除法，熟记公式是关键. 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次乘法法则计算即可； （2）根据二次除法法则计算即可； （3）根据二次乘法法则计算即可； （4）根据二次除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 【变式3】下面是小明和大刚分别计算：，的做法． 小明的做法： 解： ． 大刚的做法： 解： ． 两人的做法是否都正确?并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目： (1)； (2)． 【答案】(1)两人的做法都正确； (2) 【分析】（1）（2）先判断正确性，再对照已知做法计算即可． 【详解】（1）解：两人的做法都正确， ； （2） 【点睛】本题考查了二次根式的乘法和除法，解题的关键是掌握运算法则，并判断已知做法的正确性． 考点3：二次根式乘除——混合运算 典例3：计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 【变式1】计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可 【详解】解：∵ ∴， ∴ 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质和乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)20 (2) (3)10 (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的乘法、除法、乘除混合运算，以及二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式相关运算法则是解题的关键． （1）直接利用二次根式的性质化简计算得出答案； （2）直接化简二次根式进而计算得出答案； （3）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （5）直接利用二次根式的化简计算得出答案； （6）直接利用二次根式的乘除混合运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 考点4：最简二次根式的判断 典例4：下列二次根式中，最简二次根式的是（  ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，解题关键是掌握二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式．据此逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，故C选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，故D选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简二次根式，二次根式的化简，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念逐一判断即可解题． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【变式2】将式子（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．写出一个符合条件a的值 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴可以为，，，， ∴或或或， 解得：或或或， 故答案为：． 【变式3】在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】2 【分析】将各二次根式能化简的依次化简后即可得到答案. 【详解】解： =，=，=，=，=，=，=， ∴，是最简二次根式， 故答案为：2. 【点睛】此题考查最简二次根式：①被开方数不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数或因式，以及化简二次根式. 考点5：最简二次根式化简 典例5：下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，掌握最简二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键．根据最简二次根式的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，不符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、最简二次根式，符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列根式中与其他三个不同类的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】、； 、由； 、由 ； 、由； 通过化简比较可知，与其他三个选项不同类， 故选：． 【变式2】已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查同类二次根式的概念，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同是同类二次根式，先化简，根据最简二次根式被开方数相等，由此可得出关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】解： 由题意可得：， 解得：． 当时，与是同类二次根式． 故答案为：4． 【变式3】化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式性质：被开方式非负得到，解得，根据化简即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用二次根式性质化简，涉及二次根式被开方式非负、及去绝对值运算等知识，熟练掌握二次根式是解决问题的关键． 考点6：最简二次根式——求字母 典例6：若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 【变式1】若最简二次根式与（a为有理数）可以合并，则m的值为（    ） A．2021 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】最简二次根式与可以合并，则与是同类二次根式，即被开方数相同，即，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴ 与是同类二次根式， ∴． 解得． 故选：B． 【点睛】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 【变式2】若最简二次根式可以与合并，则的值可以是（    ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查合并同类二次根式，涉及同类二次根式、最简二次根式、合并同类二次根式等知识，由题意，将化为最简二次根式，从而得到，解方程即可得到答案，熟记最简二次根式及同类二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解： ，是最简二次根式，且可以与合并， ，解得， 故选：C． 【变式3】若最简二次根式2与是同类二次根式，则a的值为（　　） A． B．2 C．﹣3 D． 【答案】B 【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】∵最简二次根式2与是同类二次根式， ∴3a﹣1＝a+3，解得a＝2， 故选：B． 【点睛】此题考查同类二次根式的定义，最简二次根式的特点，正确理解题意列出方程是解题的关键. 考点7：分母有理化 典例7：认真阅读下列解答过程，并解答下列各题： 比较与的大小． 解： 因为     所以 即： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算： 【答案】(1) (2)9 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据题中方法进行二次根式的化简比较即可； （2）利用题目所给的方法以及结合二次根式的变形进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 因为， 所以， 即：； （2）解： ． 【变式1】在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： 因为；所以， 所以，；所以， 所以． 请你根据小明的分析和解答过程，解决如下问题： (1)化简：（结果的分母中不含根号）； (2)若，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，代数式求值，对于（1），分子和分母都乘以，再计算化简即可； 对于（2），先化简求出a，进而得出，然后平方化简得，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）； （2）因为，所以， 所以，即，所以， 所以． 【变式2】小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据小辰的分析过程，解决如下问题： (1)①化简 ． ②当时，求的值． (2)化简． 【答案】(1)①；②2 (2)22 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意． （1）①根据题中所给方法可进行求解； ②根据题中所给方法可进行求解； （2）根据分母有理化可进行求解． 【详解】（1）解：（1）①； ② ； （2）解： ． 【变式3】已知，，求． 【答案】10 【分析】本题考查二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键． 先利用分母有理化进行化简，然后再求出和的值，从而利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴ ． 考点8：分母有理化的应用 典例8：阅读下列解题过程： …………………………，请回答下列回题： (1)观察上面的解答过程，请写出___________； (2)利用上面的化解方法，请计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，实数运算有关的规律，正确理解题意得到规律是解题的关键． （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）根据（1）得到规律，据此求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， … ∴可以得到规律， ∴ ． 【变式1】大家知道，因式分解是代数中一种重要的恒等变形．应用因式分解的思想方法有时能取得意想不到的效果，如化简： …… (1)从以上化简的结果中找出规律，直接写出用n（n是正整数）表示上面规律的式子． (2)根据以上规律，计算 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式中的规律探究： （1）根据已知等式，得到规律即可； （2）根据规律，裂项相加即可． 【详解】（1）解：由题意，得： （2）原式． 【变式2】【阅读材料】 像，（），（），， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 (1)的有理化因式为______； (2)化简：； (3)如图，中，与的角平分线相交于点，若的周长为，面积为，求点到边的距离； (4)化简：． 【答案】(1)； (2)； (3)点到边的距离为； (4)． 【分析】（）直接利用材料中的定义求解即可； （）先对分母进行有理化，再求解即可； （）先作出点到各边的垂线段，再表示出的面积，求出点到各边的距离即可； （）先对分母进行有理化，然后合并同类二次根式即可； 本题考查了二次根式的有理化运算，角平分线的性质，解题关键是读懂题意，理解有理化因式的概念并能正确运用它解决实际问题． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：； （2）解： ， ， ， ； （3）如图，过分别作，，，连接， ∵与的角平分线相交于点， ∴， 设点到边的距离为， ， ， ∴， ∵的周长为，面积为， ∴， 则； （4）解： ， ， ． 【变式3】像，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与与与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，试比较的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)；理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，计算求解即可；②根据，计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）①解：， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：；理由如下； ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴． 考点9：比较二次根式的大小 典例9：在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式1】先用“”“”“”填空． ______；______；______． 再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查二次根式性质比较大小及代数式规律等，根据二次根式性质比较大小，进而猜想出结论，利用完全平方公式验证即可得到答案，熟练掌握二次根式性质比较无理数大小是解决问题的关键． 【详解】解：，， 又， ； ，， 又， ； ，， 又， ； 猜想：（，）， 理由如下： ∵，， ∴， ∴； 【变式2】阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意求解即可； （2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即：； 例如：比较与2的大小． ∵   又∵   则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． (3)已知，试用“比差法”比较与的大小． 【答案】(1)5； (2)； (3)． 【分析】（1）首先估算出，得到的整数部分是5；推出，得到，据此即可求解； （2）根据“比差法”比较两个数大小即可； （3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是5； ∴， ∴， ∴的整数部分是1，则的小数部分是， 故答案为：5；； （2）解：， ∴； （3）解： ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$