专题04 角平分线的性质【七大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题04 角平分线的性质 考点类型 知识串讲 （一）角平分线的性质 （1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 （2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 数学语言： ∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB （二）角平分线的判定 （1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 数学语言： ∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB  ∴∠MOP=∠NOP 考点训练 考点1：尺规作图——角平分线 典例1：如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交边于点；(不写作法，保留作图痕迹) (2)在综合实践学习中，为了说明等腰三角形“三线合一”的性质．小佳同学在(1)所作的图形中，利用三角形全等得到对应角和对应边相等，从而说明了这一性质．请根据小佳的思路完成下列填空． 证明∶平分， ① ． 在和中， ③ ④ ⑤ ． ⑥ °．即． 【变式1】下面是嘉淇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． 执“规”“矩”等分已知角《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序，我是数学爱好者，在我的眼里“规”是圆规，“矩”是直角工具“”，“太阳”是被等分的角．要研究等分角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借助圆规和直角工具作一个角的平分线呢？ 办法1 ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线． 射线即为的平分线． 办法2 ①两个“矩”如图放置，顶点重合于，一边重合于直线； ②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ③使点在射线上，点在射线上，调整“矩”直至直线经过点． 射线即为的平分线． 经过测量，上述两种办法得到的与相等，验证平分成立．要想作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要推理论证． 任务： (1)嘉淇的“办法1”可由作法判断，因为全等三角形的对应角相等，所以，即平分．请直接写出判断的依据是________； (2)请说明嘉淇的办法2的合理性． 【变式2】如图，在中，，． (1)用尺规作图法作的平分线，且该平分线交于点（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)点是边上的一点，当时，求的度数． 【变式3】如图，中，，． (1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，直接写出的面积为： ． 考点2：角平分线的性质应用——证明线段 典例2：如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【变式1】如图，四边形中，，点E为上一点，平分，且平分．    (1)求证：； (2)求证：点E为的中点． 【变式2】如图，在中，，，于点E，平分，点F在上，．求证：． 【变式3】如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，BD＝CE．    (1)求证：BE＝CD； (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由． 考点3：角平分线性质应用——和差关系 典例3：如图，，E是的中点，平分． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 【变式1】如图，在中，，，分别是边，上一点，连接AD，DE，过点作于点F．已知，．求证： (1)点在的平分线上； (2)． 【变式2】已知：如图，为外角平分线上一点，且，于点． (1)若，，求的面积； (2)求证：． 【变式3】如图，中，平分，且，于E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 考点4：角平分线性质应用——面积问题 典例4：如图，在中，O为，的平分线的交点，，，，垂足分别为D，E，F． (1)与是否相等，请说明理由； (2)连接，若的周长是30，且，求的面积． 【变式1】秦九韶是我国数学宋元时期的四大数学家之一，他提出了用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”，也称“三斜求积公式”：若三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积为，其中．如图1，在中，． (1)求的面积； (2)如图2，若平分，平分，交于点Q，求点Q到的距离． 【变式2】如图，在中，，是的角平分线，． (1)尺规作图：过点D作于点E．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，若，点F为线段上一点，且，连接，求的面积． 【变式3】如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上． (1)求证：； (2)当时，求的面积用含的代数式表示． 考点5：角平分线的判定 典例5：如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，则的面积． 【变式1】如图，在的两边上分别取点M、N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求线段与的长度之和． 【变式2】如图，在四边形中，过点作于点，并且，．    (1)求证：平分． (2)若，求的长． (3)若和的面积分别为和，求的面积． 【变式3】如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 考点6：角平分线性质与判定综合 典例6：已知BO，CO分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的角平分线． (1)在图1中，已知∠O＝25°，求∠BAC的度数． (2)连接OA，如图2，证明OA是外角∠CAD的角平分线． (3)在图2中，已知＝16，BC＝4，AC＝5，AB＝6，直接写出△ABC的面积． 【变式1】如图，已知O为坐标原点，B（0 ，3），OB=CD，且OD=2OC，将△BOC沿BC翻折至△BEC，使得点E、O重合，点M是y轴正半轴上的一点且位于点B上方，以点B为端点作一条射线BA，使∠MBA=∠BCO，点F是射线BA上的一点． （1）请直接写出C、D两点的坐标：点C ，点D ； （2）当BF=BC时，连接FE． ①求点F的坐标； ②求此时△BEF的面积． 【变式2】如图，中，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．    (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【变式3】四边形中，平分． (1)如图1，若，E是的中点，求证：平分； (2)如图2，若平分，求证：E是的中点； (3)在（2）的条件下，若，求四边形的面积． 考点7：角平分线性质的实际应用 典例7：本学期我们学习了角平分线的性质定理及其逆定理，那么，你是否还记得它们的具体内容． (1)请把下面两个定理所缺的内容补充完整： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到______的距离相等． 角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在______． (2)老师在黑板上画出了图形，把逆定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整． (3)请你完成证明过程 (4)知识运用：如图，三条公路两两相交，现在要修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有______处． 【变式1】三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【变式2】阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 【变式3】已知：如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问： (1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 角平分线的性质 考点类型 知识串讲 （一）角平分线的性质 （1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 （2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 数学语言： ∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB （二）角平分线的判定 （1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 数学语言： ∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB  ∴∠MOP=∠NOP 考点训练 考点1：尺规作图——角平分线 典例1：如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交边于点；(不写作法，保留作图痕迹) (2)在综合实践学习中，为了说明等腰三角形“三线合一”的性质．小佳同学在(1)所作的图形中，利用三角形全等得到对应角和对应边相等，从而说明了这一性质．请根据小佳的思路完成下列填空． 证明∶平分， ① ． 在和中， ③ ④ ⑤ ． ⑥ °．即． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的作法和等腰三角形三线合一的证明；灵活利用三角形全等判定和性质证明是解题关键． （1）根据角平分线作法作图即可； （2）由全等三角形判定和性质即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求平分线， （2）证明∶平分， ． 在和中， ，． ．即． 【变式1】下面是嘉淇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． 执“规”“矩”等分已知角《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序，我是数学爱好者，在我的眼里“规”是圆规，“矩”是直角工具“”，“太阳”是被等分的角．要研究等分角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借助圆规和直角工具作一个角的平分线呢？ 办法1 ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线． 射线即为的平分线． 办法2 ①两个“矩”如图放置，顶点重合于，一边重合于直线； ②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ③使点在射线上，点在射线上，调整“矩”直至直线经过点． 射线即为的平分线． 经过测量，上述两种办法得到的与相等，验证平分成立．要想作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要推理论证． 任务： (1)嘉淇的“办法1”可由作法判断，因为全等三角形的对应角相等，所以，即平分．请直接写出判断的依据是________； (2)请说明嘉淇的办法2的合理性． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想． （1）利用证明即可得解； （2）证明，得出，即可得解． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴， 故答案为： （2）解：由题意，得，， ∴     ∴， 即平分．   【变式2】如图，在中，，． (1)用尺规作图法作的平分线，且该平分线交于点（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)点是边上的一点，当时，求的度数． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可； （2）根据、得到，根据得到，进而得到，于是得到，根据是的角平分线，得到，进而得到． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示, ，， ， ， ， ， ， 平分，， ， ． 【点睛】本题主要考查作角平分线，平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和，掌握相关定义以及性质是解题的关键． 【变式3】如图，中，，． (1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，直接写出的面积为： ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的作法即可完成作图； （2）作于，由角平分线的性质定理得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，角平分线即为所作， ； （2）解：如图，作于， ， ∵平分，， ∴， ∴． 考点2：角平分线的性质应用——证明线段 典例2：如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质及，证得，即可得出结论 （2）过P作，，，利用角平分线的点到角两边的距离相等得，再利用角平分线的逆定理即可得结论． 【详解】（1） ， ， ， 在和中 ， 平分； （2）如图：过P作，，， ，平分，平分， ，， ， 点P在的平分线上． 平分， 点P在的平分线上． 【变式1】如图，四边形中，，点E为上一点，平分，且平分．    (1)求证：； (2)求证：点E为的中点． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再利用三角形内角和定理求得，即可得出结论； （2）过点E作于点F，根据角平分线的性质可得，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）证明：过点E作于点F， ∵，，平分， ∴， ∵，，平分， ∴， ∴， 即点E为的中点．    【点睛】本题考查角平分线的定义及性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，，于点E，平分，点F在上，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】根据角平分线的性质可知，再证明，即可证明． 【详解】证明：∵平分，，， ∴，， ∴在和中， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质得出是解答本题的关键． 【变式3】如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，BD＝CE．    (1)求证：BE＝CD； (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点O在∠BAC的平分线上，理由见解析 【分析】（1）由三角形的高得，由对顶角得，结合，可证得，从而得到，，则有，即； （2）连接，由三角形的高可得，结合（1）中的，公共角，可证得，从而得，易证得，有，从而得证． 【详解】（1）证明：、是的高，且相交于点， ， 在和中，， (AAS)， ，， ， 即； （2）解：点在的平分线上，理由如下： 连接，如图所示：   、是的高，且相交于点， ， 由（1）得， 在和中，， (AAS)， ， 由（1）得， 在和中，， (SAS)， ， 点在的平分线上． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是结合图形分析清楚题中的条件与图中的条件，特别是图中的公共角与公共边． 考点3：角平分线性质应用——和差关系 典例3：如图，，E是的中点，平分． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）过点作于点，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的判定可得平分； （2）首先证明，可得，同理可得，再由利用等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ，平分，， ， 是的中点， ， ， 又，， 平分； （2）证明：， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， ． 【变式1】如图，在中，，，分别是边，上一点，连接AD，DE，过点作于点F．已知，．求证： (1)点在的平分线上； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，关键是根据证明直角三角形的全等解答． （1）利用证明，可得，根据，，即可得结论； （2）根据证明，可得，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）证明： ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 点在的平分线上； （2）证明：在和中， ， ， ， ， ， ． 【变式2】已知：如图，为外角平分线上一点，且，于点． (1)若，，求的面积； (2)求证：． 【答案】(1)的面积为6 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）如图作于N根据角平分线的性质定理可得，由此即可解决问题； （2）由推出，由，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点N， 平分，，， ， ； （2）， ． 【变式3】如图，中，平分，且，于E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）过点D作交延长线于F， 首先根据角平分线的性质得到，，然后证明出，进而求解即可； （2）首先根据角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点D作交延长线于F， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴ （2）解：∵平分， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 考点4：角平分线性质应用——面积问题 典例4：如图，在中，O为，的平分线的交点，，，，垂足分别为D，E，F． (1)与是否相等，请说明理由； (2)连接，若的周长是30，且，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)60 【分析】本题考查了三角形的面积，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理，即可解答； （2）根据已知可得，然后根据的面积的面积的面积的面积，进行计算即可解答 【详解】（1）解：， 理由：平分，，， ， 平分，，， ， ； （2）解：的周长是30， ， ， 的面积的面积的面积的面积 ， 的面积为60． 【变式1】秦九韶是我国数学宋元时期的四大数学家之一，他提出了用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”，也称“三斜求积公式”：若三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积为，其中．如图1，在中，． (1)求的面积； (2)如图2，若平分，平分，交于点Q，求点Q到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用“秦九韶公式”求三角形面积，角平分线性质． （1）根据题意列式求出的值，再代入公式即可求出本题答案； （2）过点Q作于点G，于点M，于点N，连接， 利用角平分线性质即可得到本题答案． 【详解】（1）解：由题意， ∴； （2）解：过点Q作于点G，于点M，于点N，连接， ， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，在中，，是的角平分线，． (1)尺规作图：过点D作于点E．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，若，点F为线段上一点，且，连接，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查作图-基本作图、垂线的作法、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据垂线的作图方法作图即可． （2）根据角平分线的性质以及求三角形的面积可得答案． 【详解】（1）如图所示，于点E （2）解：∵， ∴， ∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴． 【变式3】如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上． (1)求证：； (2)当时，求的面积用含的代数式表示． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，得，再根据，利用三角形内角和定理可证明结论； （2）延长，交于点，利用证明，得，再根据证明，得，则，从而解决问题． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ； （2）解：如图，延长，交于点， 在与中， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， ， ． 考点5：角平分线的判定 典例5：如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，则的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)15 【分析】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． （1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得、，进而得到，然后根据即可解答； （2）如图：过点分别作于，与，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、平分、，最后根据角平分线的判定定理即可解答； （3）根据结合已知条件可得，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图：过点分别作于，与， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：，，， ， 即，解得， ， ． 【变式1】如图，在的两边上分别取点M、N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求线段与的长度之和． 【答案】(1)证明见解析 (2)线段与的长度之和为． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及角平分线的判定，遇角平分线作垂线是解题关键． （1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，根据平分可得，根据平分可得，据此即可求证； （2）根据的面积= 可得，即；根据四边形的面积=的面积+的面积 的面积+的面积即可求解． 【详解】（1）证明：过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，    ∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，的面积分别是， ∴ ， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴四边形的面积=的面积+的面积， ∴的面积+的面积， ∴ ， ∴， ∴线段与的长度之和为． 【变式2】如图，在四边形中，过点作于点，并且，．    (1)求证：平分． (2)若，求的长． (3)若和的面积分别为和，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，证明，得出，即可证明是的角平分线，即可得证； （2）证明得出，进而根据，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，得出 ，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作于点，      ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的角平分线，即平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式3】如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， 由（1）可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 考点6：角平分线性质与判定综合 典例6：已知BO，CO分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的角平分线． (1)在图1中，已知∠O＝25°，求∠BAC的度数． (2)连接OA，如图2，证明OA是外角∠CAD的角平分线． (3)在图2中，已知＝16，BC＝4，AC＝5，AB＝6，直接写出△ABC的面积． 【答案】(1)50° (2)证明见解析 (3)20 【分析】（1）根据三角形的外角性质得到∠BAC=∠ACE-∠ABC，根据角平分线的定义解答． （2）如图2中，过点O作OM⊥BD于点M，ON⊥AC于点N，OT⊥BE于点T．证明OM=ON，可得结论． （3）利用三角形面积公式求出OT，再根据，求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， ∵∠ACE是△ABC的一个外角， ∴∠BAC＝∠ACE−∠ABC， ∵CO是∠ACE的角平分线， ∴∠OCE＝∠ACE， ∵OB是∠ABC的角平分线， ∴∠OBE＝∠ABC， ∴∠BAC＝∠ACE−∠ABC ＝2∠OCE−2∠OBE ＝2（∠OCE−∠OBE） ＝2∠O＝50°； （2）证明：如图2中，过点O作OM⊥BD于点M，ON⊥AC于点N，OT⊥BE于点T． ∵CO平分∠ACE，ON⊥AC，OT⊥CE， ∴ON＝OT， ∵BO平分∠DBE，OM⊥BD，OT⊥BE， ∴OM＝OT， ∴OM＝ON， ∴AO平分∠CAD． （3）解：如图2， ∵＝•BC•OT＝16，BC＝4， ∴OT＝8， ∴OM＝ON＝OT＝8， ∴ ＝16＋×6×8−×5×8 ＝16＋24−20 ＝20． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的性质和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理和判定定理解决问题． 【变式1】如图，已知O为坐标原点，B（0 ，3），OB=CD，且OD=2OC，将△BOC沿BC翻折至△BEC，使得点E、O重合，点M是y轴正半轴上的一点且位于点B上方，以点B为端点作一条射线BA，使∠MBA=∠BCO，点F是射线BA上的一点． （1）请直接写出C、D两点的坐标：点C ，点D ； （2）当BF=BC时，连接FE． ①求点F的坐标； ②求此时△BEF的面积． 【答案】（1）（-1 ，0），（2 ，0）；（2）①F（-3 ，4）；②． 【分析】（1）由B（0 ，3）知OB=3，由OB=CD，且OD=2OC，知OC=1，OD=2，据此求解即可； （2）①过点F作FP⊥轴于点P，利用AAS证明△FPB≌△BOC即可求解； ②过点F作FQ⊥BE于点Q，证明FB是∠PBE的角平分线，利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵B（0 ，3）， ∴OB=3， ∵OB=CD，且OD=2OC， ∴OC=1，OD=2， ∴C（-1 ，0），D（2 ，0）； 故答案为：（-1 ，0），（2 ，0）； （2）①过点F作FP⊥轴于点P， ∵∠PBF=∠BCO，BF=BC， 又∠FPB=∠BOC=90°， ∴△FPB≌△BOC(AAS)， ∴FP=BO=3，PB= OC=1， ∴PO=4， ∴F（-3 ，4）； ②过点F作FQ⊥BE于点Q， ∵∠CBO+∠BCO=90°，∠PBF=∠BCO， ∴∠CBO+∠PBF=90°，则∠CBF=90°， 由折叠的性质得：∠EBC=∠OBC，EB=BO=3， ∴∠EBC +∠EBF=90°， ∴∠EBF=∠PBF，即FB是∠PBE的角平分线， 又FQ⊥BE，FP⊥轴， ∴FQ= FP=3， ∴△BEF的面积为BEFQ=． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式2】如图，中，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．    (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1)40° (2)见解析 (3)15 【分析】（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得、，进而得到,然后根据即可解答； （2）如图：过E点分别作于M，与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、平分、，最后根据角平分线的判定定理即可解答； （3）根据结合已知条件可得，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：如图：过E点分别作于M，与N，    ∵平分， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴平分． （3）解：∵， ∴， 即，解得， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 【变式3】四边形中，平分． (1)如图1，若，E是的中点，求证：平分； (2)如图2，若平分，求证：E是的中点； (3)在（2）的条件下，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)48 【分析】（1）过点E作，垂足为F．证明，，从而可得结论； （2）如图2，延长相交于点F．证明，．可得．再证明．可得结论； （3）证明 ，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：过点E作，垂足为F． ∵， ∴． 又∵， ∴ ∴ ∵平分，，， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴平分． （2）证明：如图2，延长相交于点F． ∵平分，平分， ∴ ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴E是的中点． （3）解：由（2）得：， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理与判定定理的应用，作出合适的辅助线，构建三角形全等是解本题的关键． 考点7：角平分线性质的实际应用 典例7：本学期我们学习了角平分线的性质定理及其逆定理，那么，你是否还记得它们的具体内容． (1)请把下面两个定理所缺的内容补充完整： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到______的距离相等． 角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在______． (2)老师在黑板上画出了图形，把逆定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整． (3)请你完成证明过程 (4)知识运用：如图，三条公路两两相交，现在要修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有______处． 【答案】(1)这个角的两边；角平分线上 (2)PE；平分线上 (3)见解析 (4)4 【分析】（1）根据角平分线的性质定理和判定定理解答； （2）根据题意结合图形写出已知； （3）作射线OP，证明Rt△OPD≌Rt△OPE即可； （4）根据角平分线的性质定理解答． 【详解】（1）解：角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上， 故答案为：这个角的两边；角平分线上； （2）解：已知：如图1，点P是∠AOB内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE，求证：点P在∠AOB的平分线上． 故答案为：PE；平分线上； （3）如图：作射线OP， ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°， 在Rt△OPD和Rt△OPE中， ， ∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）， ∴∠DOP=∠EOP， ∴OP是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线上． （4）解：如图2，M、N、G、H即为所求， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质定理和判定定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 【变式1】三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【答案】4处，图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求． 【变式2】阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到，的条件即可得到答案； （2）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到的条件即可得到答案； 【详解】（1）证明：方法一，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取，使得，连接，   　　　　　　　 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，　　　　 ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式3】已知：如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问： (1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 【答案】(1)4处 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质得出符合条件的点，即可得到答案； （2）作出相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点． 【详解】（1）解：可选择的地点有4处，如图： 、、、，共4处． （2）解：能，如图，根据角平分线的性质，作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就是所求的点． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$