专题13.4 等腰三角形【十大题型】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题13.4 等腰三角形【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 利用等边对等角求解】 1 【题型2 利用等边对等角进行证明】 2 【题型3 利用三线合一求解】 4 【题型4 利用三线合一证明】 5 【题型5 格点中画等腰三角形】 7 【题型6 找出图中的等腰三角形】 8 【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】 9 【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】 10 【题型9 尺规作等腰三角形】 11 【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】 12 知识点：等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 【题型1 利用等边对等角求解】 【例1】（23-24八年级·浙江嘉兴·期末）如图，四边形中，，将沿着折叠，点B恰好落在边上的点处．若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级·福建三明·期末）某平板电脑支架如图所示，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【变式1-2】（23-24八年级·浙江台州·期末）如图，与关于对称，，在上取一点，使得．若，则的度数是（） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ． 【题型2 利用等边对等角进行证明】 【例2】（23-24八年级·河南安阳·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上． (1)求证：； (2)求证：； (3)当时，求的度数． 【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式2-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）如图，已知，，，，垂足为F． (1)求证：； (2)已知 ，求证：． 【变式2-3】（23-24八年级·广东肇庆·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接．    (1)如图1，当点D在线段上，且． ①证明：； ②证明：平分． (2)如图2，当点D在直线上，设．则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【题型3 利用三线合一求解】 【例3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，于点，，连接． (1)若，求的度数； (2)若点F是的中点，判断与的数量关系，并说明理由． 【变式3-1】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，在中，，点D为边的中点，连接，的平分线交于点E，已知．求和的度数．    【变式3-2】（23-24八年级·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．    (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【变式3-3】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在中，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，是直线上的动点． (1)当时， ①若，则点到的距离为________； ②若，，求的周长； (2)若，且的面积为40，求周长的最小值． 【题型4 利用三线合一证明】 【例4】（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，． (1)求证：是的中点； (2)求证． 【变式4-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，则的度数为 ___________． 【变式4-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，为线段 上一点， ，，， 平分 ． (1)求证：； (2)问： 与 的位置关系并证明． 【变式4-3】（23-24八年级·山东聊城·期中）已知：如图，在中，，，于点，将沿折叠，使点A落在直线上的点处，是的平分线，交于点，交于点，连接．    (1)吗？为什么？ (2)试说明垂直平分． 【题型5 格点中画等腰三角形】 【例5】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形： (1)在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）； (2)在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）． 【变式5-2】（23-24八年级·北京通州·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰，且使得点为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰． 【变式5-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．   要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法． (1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP． (2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP． (3)在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小． 【题型6 找出图中的等腰三角形】 【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D、E，则图中等腰三角形的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【变式6-2】（23-24八年级·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 【变式6-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图，中，，，平分，于点，连结交于点，则图中的等腰三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】 【例7】（23-24八年级·山西吕梁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与交于点，与交于点，连接．求证：是等腰三角形． 【变式7-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点．求证：是等腰三角形． 【变式7-2】（23-24八年级·湖北恩施·期末）如图，，点分别在，上，以，为边在内作等边三角形，，连接并延长交于点，求证：． 【变式7-3】（23-24八年级·北京密云·期末）如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E．    (1)求证：是等腰三角形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】 【例8】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（    ）    A．50 B．55 C．60 D．65 【变式8-1】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，，，交于F，交于点E，求证：． 【变式8-2】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，，则 ． 【变式8-3】（23-24八年级·上海青浦·期末）已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且． 求证： (1)； (2)． 【题型9 尺规作等腰三角形】 【例9】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法） 【变式9-1】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图） 【变式9-2】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图．已知一个含有角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹） 【变式9-3】（2024·江苏泰州·一模）证明：等腰三角形的两底角相等．要求： （1）用无刻度的直尺和圆规作等腰，使底边，腰； （2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明； （3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图． 【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】 【例10】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有 个． 【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式10-2】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个. 【变式10-3】（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，线段的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.4 等腰三角形【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 利用等边对等角求解】 2 【题型2 利用等边对等角进行证明】 6 【题型3 利用三线合一求解】 13 【题型4 利用三线合一证明】 18 【题型5 格点中画等腰三角形】 23 【题型6 找出图中的等腰三角形】 27 【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】 31 【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】 34 【题型9 尺规作等腰三角形】 38 【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】 42 知识点：等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 【题型1 利用等边对等角求解】 【例1】（23-24八年级·浙江嘉兴·期末）如图，四边形中，，将沿着折叠，点B恰好落在边上的点处．若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；由折叠得，，由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得 ，即可求解；掌握折叠的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1-1】（23-24八年级·福建三明·期末）某平板电脑支架如图所示，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，设设原来，求出此时，然后类似求出变化后，然后两角作差即可得出结论. 【详解】解：设原来，则 ∵， ∴， ∴， 增大后，， ∴， ∴， ∴， ∴的变化情况是减小， 故选：D. 【变式1-2】22-23八年级·浙江台州·期末）如图，与关于对称，，在上取一点，使得．若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，由轴对称性质得， 设，得出，再由等腰三角形的性质得．再由直角三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：与关于对称， ， 设． ， 在中，， ． 又， ， ， 故选：A 【变式1-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 连接、，如图，设，利用基本作图得到，则，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，接着利用得到，则根据求出． 【详解】解：连接、，如图，设， 由作法得垂直平分， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【题型2 利用等边对等角进行证明】 【例2】（23-24八年级·河南安阳·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上． (1)求证：； (2)求证：； (3)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，平行线的性质等等： （1）先证明，再利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据等边对等角得到，再由平角的定义推出，据此即可证明； （3）先由平行线的性质得到，则根据（2）的结论可知，即可得到，即． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ． 【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）先根据等腰三角形的性质可得，再由三角形内角和与平角定义即可求解； （）直接用证明，再根据性质即可求解； 此题考查了等腰三角形的，三角形内角和，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】（1）∵， ∴，　 又∵，， ∴； （2）在和中 ， ∴， ∴． 【变式2-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）如图，已知，，，，垂足为F． (1)求证：； (2)已知 ，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． (1)利用余角的性质，完善全等的条件，证明即可． (2)延长到G，使，连接，证明证明即可． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-3】（23-24八年级·广东肇庆·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接．    (1)如图1，当点D在线段上，且． ①证明：； ②证明：平分． (2)如图2，当点D在直线上，设．则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论． （1）①先证，根据即可证明；②根据等边对等角可证，根据可得，进而可证； （2）分①点D在线段上，②点D在射线上，③点D在射线上，分别加以讨论即可． 【详解】（1）证明：① ， ， ， 在和中， ， ； ② 中，， ， 由①得， ， ， 平分． （2）解：， ①点D在线段上，如图：    ， ， ， 在和中， ， ； ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点D在射线上时，如图：    ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③当点D在射线上时，如图：    同理可得 ， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴； 综上所述α，β之间的数量关系为：或． 【题型3 利用三线合一求解】 【例3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，于点，，连接． (1)若，求的度数； (2)若点F是的中点，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】 此题考查了等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． （1）先求得的度数，进而求得，根据等腰三角形的性质得出，理由三角形内角和定理求得，根据同角的余角相等即可求得； （2）根据，且点F是的中点，得到，，证得后即可证得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 在Rt△FDC中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： ∵，且点F是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式3-1】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，在中，，点D为边的中点，连接，的平分线交于点E，已知．求和的度数．    【答案】， 【分析】先由等腰三角形的性质，得到，再由，可得到的度数，进而求出的度数，由三角形内角和定理可求出的度数，由等腰三角形的性质可求出的度数． 【详解】解：∵，点D为边的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在中， ， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关图形的性质是解题的关键． 【变式3-2】（23-24八年级·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．    (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，结合线段的垂直平分线性质证明； （2）根据等腰三角形的三线合一性质，等腰三角形中等边对等角原理，直角三角形的性质和三角形内角和定理计算． 【详解】（1）因为，点是的中点， 所以，所以是的垂直平分线， 所以， 因为是的垂直平分线，所以， 所以； （2）因为，点是的中点， 所以平分， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，线段垂直平分线性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【变式3-3】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在中，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，是直线上的动点． (1)当时， ①若，则点到的距离为________； ②若，，求的周长； (2)若，且的面积为40，求周长的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）本题主要考查等腰三角形的三线合一性质即等边三角形的判定，根据，是的中点，可以判定，A，M，D三点共线，即平分，根据角平分线的性质，可以求出点到的距离， 其次，可以判定，再根据后，可以判定是等边三角形，进而去求周长． （2）本题主要考查利用轴对称性求周长最小值，由于为定值，只要满足最小即可，利用垂直平分线，转化成求最小，即，最后求出周长最小值． 【详解】（1）①解：∵，是的中点； ∴处垂直平分； 连接； ∵； ∴，，三点共线； 即平分； ∵，； ∴到的距离为1． ②解：由题可知； ∵； ∴； ∴是等边三角形； ∵； ∴； ∴周长为18． （2）解：∵； ∴； ∵垂直平分； 连接； ∴； 即; ∵； ∴； 即只需求出长即可； ∵； ∴=10； ∴周长的最小值为． 【题型4 利用三线合一证明】 【例4】（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，． (1)求证：是的中点； (2)求证． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）连接，由直角三角形的性质可得，由是中线得，进而可得，即得，再根据三角形三线合一即可求证； （）由等腰三角形的性质得，，再根据三角形外角性质即可求证； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的中线， ∴是的中线， ∵是高， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是的中点； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，则的度数为 ___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一、等边对等角的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得出，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一性质即可得证； （2）根据等边对等角可得，，根据三角形外角的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 的垂直平分线交于点， ， ， ， 为线段的中点， ； （2）解：， ， ， 由（1）知，， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 【变式4-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，为线段 上一点， ，，， 平分 ． (1)求证：； (2)问： 与 的位置关系并证明． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（）根据证明即可； （）利用全等三角形的性质推出，根据等腰三角形三线合一的性质即可得到； 此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴ ； （2），理由： ∵， ∴， 又∵平分， ∴． 【变式4-3】（23-24八年级·山东聊城·期中）已知：如图，在中，，，于点，将沿折叠，使点A落在直线上的点处，是的平分线，交于点，交于点，连接．    (1)吗？为什么？ (2)试说明垂直平分． 【答案】(1)；理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，根据折叠的性质得出．即可证明，即可求证； （2）根据等腰直角三角形的性质得出，，则，推出，根据等腰三角形三线合一，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，，， ， 将沿折叠，使点落在直线上的点处， 是的平分线， ， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得，，， ， 即， ， 是的平分线， 垂直平分． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握折叠两部分对应边相等，对应角相等；等腰三角形“三线合一”；全等三角形对应边相等，对应角相等． 【题型5 格点中画等腰三角形】 【例5】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图所示： 分三种情况： ①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，， 综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键． 【变式5-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形： (1)在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）； (2)在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）． 【答案】(1)答案见解析（答案不唯一） (2)答案见解析（答案不唯一） 【分析】本题主要考查作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）解：如图2中，即为所求（答案不唯一）． 【变式5-2】（23-24八年级·北京通州·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰，且使得点为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰． 【答案】答案见解析 【分析】AB为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线，因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可 【详解】解：如图， …… [答案不唯一] 【点睛】本题考查等腰三角形的绘图，掌握等边三角形和等腰三角形性质即可． 【变式5-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．   要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法． (1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP． (2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP． (3)在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形的定义，找出满足条件的点，标出所有的点即可； （2）利用等腰三角形的定义，找出满足条件的点，标出所有的点即可； （3）作A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于P，P点即为所求； 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：如图所示： 【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，等腰三角形的定义，轴对称的性质，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 【题型6 找出图中的等腰三角形】 【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D、E，则图中等腰三角形的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定方法， 根据两边相等的三角形即可等腰三角形即可解答 【详解】解： , 是等腰三角形； 垂直平分线交 是等腰三角形； , 是等腰三角形， 则图中等腰三角形的个数是3个， 故选：B 【变式6-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 【变式6-2】（23-24八年级·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)图中的等腰三角形有、 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握全等三角形的判定成为解题的关键． （1）根据平行线的性质判定，再由可得，再结合，利用即可证明结论； （2）根据（1）的结论可得，再结合等腰梯形的性质即可确定所有等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵由（1）可得 ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴图中的等腰三角形有、． 【变式6-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图，中，，，平分，于点，连结交于点，则图中的等腰三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定，运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，证得∠CAD=∠BAD=30°，CD=ED，AC=AE，即△ABD、△CDE、△ACE、△BCE是等腰三角形. 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=60°， ∵AD是角平分线， ∴∠CAD=∠BAD=30°， ∴AD=BD． ∴△ABD是等腰三角形． ∵AD是角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB， ∴CD=ED ∴AC=AE ∴△CDE、△ACE是等腰三角形； ∵AC=AE，∠BAC=60°， ∴∠ACE=60°， ∵， ∴∠BCE=30° ∴∠BCE=∠B ∴△CEB是等腰三角形 所以此图中有4个等腰三角形． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；要综合运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，找到相等的线段，来判定等腰三角形． 【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】 【例7】（23-24八年级·山西吕梁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与交于点，与交于点，连接．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，由 ，利用“等角对等边”即可得证． 【详解】证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴为等腰三角形． 【变式7-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】根据题意和图形，可以求得，然后即可证明结论成立． 【详解】∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】此题考查了等腰三角形的定义、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式7-2】（23-24八年级·湖北恩施·期末）如图，，点分别在，上，以，为边在内作等边三角形，，连接并延长交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定；证明，得出进而可得，即可得证． 【详解】证明：依题意是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【变式7-3】（23-24八年级·北京密云·期末）如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E．    (1)求证：是等腰三角形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论； （2）延长至，使，连接，利用等边对等角和三角形的外角得出，再证明，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可得出． 【详解】（1）解：证明：在中，，， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． （2）， 证明：延长至，使，连接，   ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】 【例8】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（    ）    A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E作于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得，根据平行线和角平分线的性质易证，根据等角对等边求得，从而求得，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过E作于M，      平分，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式8-1】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，，，交于F，交于点E，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握ASA证明三角形全等，是解题的关键． 先证明，由全等三角形的性质可得出，由等角对等边可得出，等量代换可得出进而即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-2】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，由两直线平行，内错角相等，与两个角平分线，列出相等的角，通过等角对等边，可得到两个等腰三角形，代入已知线段长度，即可求解，解题的关键是：通过平行与角平分线的条件，推导出等腰三角形． 【详解】解：， ，， 又和的平分线分别交于点、， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【变式8-3】（23-24八年级·上海青浦·期末）已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，先根据，且， 可知，再根据即可得出，进而可得出，由等角对等边可知； （2）先证明，得出，根据，，得出． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵，且， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在和中 ， ∴，     ∴，         ∵， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的判定，等边对等角，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 【题型9 尺规作等腰三角形】 【例9】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂线的画法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．首先画射线，在射线上截取，然后作的垂直平分线，垂足为O，再截取，再连接、，即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式9-1】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线、角平分线的作法以及垂直平分线和角平分线的性质，掌握作图方法、理解特殊线的性质是解题关键．求作以为底边的等腰三角形，则需要作线段的中垂线，点A在角的内部，则依据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边距离相等），需要作的角平分线，与直线相交于一点即为点A，连接，即为所求作的等腰三角形． 【详解】解：如图，即为所求作的等腰三角形． 【变式9-2】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图．已知一个含有角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图和等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． ①在上截取， 即为含角的直角三角形，②延长，并在上截取， 即为含45°角的直角三角形． 【详解】解：①为含角的直角三角形， ①为含角的直角三角形． 【变式9-3】（2024·江苏泰州·一模）证明：等腰三角形的两底角相等．要求： （1）用无刻度的直尺和圆规作等腰，使底边，腰； （2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明； （3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的作法是解答本题的关键． 根据等腰三角形的作图方法画图即可；根据图形写出已知、求证，证明法一：作的平分线，交于点，根据证明即可；证明法二：取的中点为，连接，根据证明即可；证明法三：过点作于点，根据证明即可． 【详解】如图，即为所求作的三角形． 已知：如图，中，． 求证：． 证明：法一：作的平分线，交于点 在和中 ． 法二：取的中点为，连接． 在和中 法三：过点作于点 在和中 ． 【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】 【例10】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有 个． 【答案】 【分析】点在上时，存在三种情况使为等腰三角，点在上时，存在一种情况使为等腰三角形． 【详解】解：①点在上时， 当时， ∵，， ∵， ∴， ∴, ∴； 当时，； 当时，； ②当点在上时， 存在， 综上，使为等腰三角形的点P有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解本题的关键． 【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用分类讨论的思想，当PB=PC，BP=BC，CP=BC时分别找到点P即可． 【详解】如图所示，l为长方形ABCD的对称轴，即l为AB的垂直平分线， ∴当P在l上时满足PA=PB， 作BC的中垂线交l于，满足； 作BP=BC与l交于、两点，满足，； 作CP=BC与l交于、两点，满足，； 满足题意的点P共5个， 故选：D． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论是解题的关键． 【变式10-2】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个. 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题。根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在AC上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故答案为：6． 【变式10-3】（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，线段的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】以A为圆心，以的长为半径画弧与直线m交于点D，此时，同理以B为圆心以的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时，，再作的垂直平分线与直线m交于点F，此时，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 以A为圆心，以的长为半径画弧与直线m交于点D，此时，同理以B为圆心以的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时，，再作的垂直平分线与直线m交于点F，此时， ∴直线m上存在4个点C，使为等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$