精品解析：河北省张家口市尚义县第一中学等校2023-2024学年高二下学期开学收心考试数学试题

2023—2024学年第二学期高二年级收心考试 高二数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列2，，，，，，，则是这个数列的（ ） A. 第20项 B. 第21项 C. 第22项 D. 第19项 3. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知：，：，则两圆的位置关系为（ ） A. 相切 B. 外离 C. 相交 D. 内含 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列，，其前项和为，若，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 7. 在数列中，，，则（ ） A. 380 B. 800 C. 880 D. 40 8. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的长轴长与焦距的比值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 与垂直 B. 与共线 C. 与所成角为锐角 D. ，，，可作为空间向量的一组基底 10. 设为实数，若直线的方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 直线恒过点 B. 若直线在轴上的截距为2，则 C. 存在使直线经过坐标原点 D. 坐标原点到直线的最大距离为 11. 已知曲线的方程为（），则下列说法不正确的有（ ） A. 不存在，使得曲线表示圆 B. 若曲线为双曲线，则 C. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D. 存在实数使得曲线为等轴双曲线 12. 已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（ ） A. 圆关于直线对称 B. 若圆关于反射光线对称，则入射光线所在直线的方程为 C. 若反射光线与圆相切，则这条光线从点到切点所经过的路程为 D. 存在两条反射光线与圆相切 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是______． 14. 若数列中，，，且，则其前项和______． 15. 过抛物线：（）的顶点，且倾斜角为60°的直线与抛物线的另一个交点为，若，则抛物线的方程为______． 16. 将正偶数按如图所示的规律排列： 则4048在第______行，从左向右该行的第______个数． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知直线：和：． （1）若与互相垂直，求实数的值； （2）若与互相平行，求与间的距离． 18. （1）已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，求该椭圆的方程； （2）已知双曲线焦点在轴上，焦距为8，双曲线的渐近线方程为，求双曲线的方程． 19. 已知圆是以点和点为直径端点的圆，圆是以点和点为直径端点的圆． （1）求圆，的方程； （2）已知两圆相交于，两点，求直线的方程及公共弦的长. 20. 在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求平面和平面夹角的大小． 21. 已知数列的前项和为，且（）．数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 22. 已知椭圆：（）的离心率为，又过点． （1）求椭圆的方程； （2），分别为的左，右焦点，过的直线交于，两点，求的内切圆面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期高二年级收心考试 高二数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知先求出直线的斜率，进而可求直线的倾斜角． 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 故直线的倾斜角为． 故选：B． 2. 已知数列2，，，，，，，则是这个数列的（ ） A. 第20项 B. 第21项 C. 第22项 D. 第19项 【答案】A 【解析】 【分析】令，解出即可得. 【详解】令，解得， 即是这个数列的第项. 故选：A. 3. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行得出，从而即可求解 【详解】若，则，从而， 即，解之得：. 故选：A 4. 已知：，：，则两圆的位置关系为（ ） A. 相切 B. 外离 C. 相交 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】先将圆化为标准方程，从而求出圆心距，再根据圆心距与两圆半径的关系，即可得解. 【详解】因为可化为,则，半径， 因为可化为， 则，半径， 则，因为，所以两圆相交. 故选：C. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题运用投影向量的定义即可解题. 【详解】因为， 则 故向量在向量上的投影向量是 故选：C. 6. 已知等差数列，，其前项和为，若，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助等差数列求和公式结合题意计算可得的公差，即可得. 【详解】设数列的公差为，则， 故， ， 故，则. 故选：A. 7. 在数列中，，，则（ ） A. 380 B. 800 C. 880 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】先根据递推公式得出等差数列得出通项公式，再结合通项正负分组求和即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当时，，当时，， 所以. 故选：B. 8. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的长轴长与焦距的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助椭圆定义与勾股定理计算即可得. 【详解】由，结合题设有，， 由，则， 化简得，故的长轴长与焦距的比值为. 故选：D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 与垂直 B. 与共线 C. 与所成角为锐角 D. ，，，可作为空间向量的一组基底 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：计算出即可得；对B：由向量共线定理计算即可得；对C：计算并判断与是否共线即可得；对D：借助空间向量基本定理即可得. 【详解】对A：，故与不垂直，故A错误； 对B：由、，有，故与共线，故B正确； 对C：，且与不共线， 故与所成角为锐角，故C正确； 对D：由与共线，故，，不可作为空间向量的一组基底，故D错误. 故选：BC. 10. 设为实数，若直线的方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 直线恒过点 B. 若直线在轴上的截距为2，则 C. 存在使直线经过坐标原点 D. 坐标原点到直线的最大距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合直线系方程检验选项A，C，结合直线的截距概念检验选项B，结合点到直线的距离检验选项D． 【详解】若直线的方程为，即， 则，解得，，即直线恒过，A正确，符合题意； 把代入直线的方程为可得，B正确，符合题意； 当，时，显然矛盾，C错误，不符合题意； 由可知， 故原点到直线的距离，D正确，符合题意． 故选：ABD． 11. 已知曲线的方程为（），则下列说法不正确的有（ ） A. 不存在，使得曲线表示圆 B. 若曲线为双曲线，则 C. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D. 存在实数使得曲线为等轴双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合圆、双曲线、椭圆即等轴双曲线的方程的性质逐项计算即可得. 【详解】对A：令，解得，此时：，此时曲线表示圆，故A错误； 对B：若曲线为双曲线，则，解得或，故B错误； 对C：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确； 对D：若曲线为等轴双曲线，则有，此时无解，故不存在实数使得曲线为等轴双曲线，故D错误. 故选：ABD. 12. 已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（ ） A. 圆关于直线对称 B. 若圆关于反射光线对称，则入射光线所在直线的方程为 C. 若反射光线与圆相切，则这条光线从点到切点所经过的路程为 D. 存在两条反射光线与圆相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：判断该直线是否过圆心即可得；对B：判断该直线是否过点及圆心关于轴对称的点即可得；对C：借助切线的性质及两点间距离公式计算即可得；对D：借助切线的性质计算即可得. 【详解】对A：由可知圆心为， 直线过点，故圆关于直线对称，故A正确； 对B：若圆关于反射光线对称，则反射光线过圆心， 即入射光线过点及圆心关于轴对称的点， 当时，，故点不在上， 即入射光线所在直线的方程不为，故B错误； 对C：反射光线必过点关于轴对称的点， 且从点到切点所经过的路程与到切点所经过的路程相等， 由切线性质可得该路程为，故C正确； 对D：设反射光线的方程为，即， 则有，即， ，故该方程有两个不同解， 即存在两条反射光线与圆相切，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用二元一次方程组求出交点的坐标，进一步利用直线垂直的充要条件求出直线的方程． 【详解】过直线与的交点， 故，解得，故交点坐标为； 故过点且与直线垂直的直线方程为，整理得． 故答案为：． 14. 若数列中，，，且，则其前项和______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题干已知条件及等比数列的性质判别出数列是等比数列，然后设等比数列的公比为，计算出公比的值，最后根据等比数列的求和公式计算出前项和． 【详解】依题意，由， 可知数列是等比数列， 设等比数列的公比为， 则， ． 故答案为：． 15. 过抛物线：（）的顶点，且倾斜角为60°的直线与抛物线的另一个交点为，若，则抛物线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点向轴作垂线，求得坐标，即可求解. 【详解】过点向轴作垂线，垂足记为, 由题意可知，所以点坐标为， 代入抛物线方程得，所以 故答案为： 16. 将正偶数按如图所示的规律排列： 则4048在第______行，从左向右该行的第______个数． 【答案】 ①. 45 ②. 88 【解析】 【分析】由已知归纳出规律，计算出前行所有数和的个数后，可确定4048所在的行及其顺序号. 【详解】4048是第2024个数， 由已知得前行所有的个数为， ， ， 所以数字4048在第45行，第88个数. 故答案为：45；88. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知直线：和：． （1）若与互相垂直，求实数的值； （2）若与互相平行，求与间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件求出的值； （2）利用直线平行的充要条件求出的值，进一步求出两平行线间的距离． 【小问1详解】 直线和． 当直线与互相垂直，故， 解得；故； 【小问2详解】 当直线与互相平行，则，故直线的方程为； 所以直线与间的距离． 18. （1）已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，求该椭圆的方程； （2）已知双曲线焦点在轴上，焦距为8，双曲线的渐近线方程为，求双曲线的方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析椭圆焦点的位置以及的值，结合椭圆的性质可得的值，进而可得答案； （2）根据题意，求出双曲线中的值，由双曲线的渐近线方程分析的关系，结合双曲线的几何性质可得的值，进而可得答案. 【详解】（1）根据题意，已知椭圆中心在原点，一个焦点为， 则椭圆的焦点在轴，且， 若长轴长是短轴长的2倍，则， ，则， 所以该椭圆的方程为. （2）根据题意，双曲线焦点在轴上，焦距为8，则， 又双曲线的渐近线方程为，即， 则，即， 则， 所以， 所以该双曲线的标准方程为. 19. 已知圆是以点和点为直径端点的圆，圆是以点和点为直径端点的圆． （1）求圆，的方程； （2）已知两圆相交于，两点，求直线的方程及公共弦的长. 【答案】（1）：，： （2）， 【解析】 【分析】（1）求出圆心及半径即可得圆的方程； （2）联立两圆方程，即可求出两圆交点坐标，即可得直线的方程及公共弦的长. 【小问1详解】 的圆心为，半径，故：， 的圆心为，半径，故：； 【小问2详解】 联立，解得或， 则，则，. 20. 在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求平面和平面夹角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可得，则即直线与所成角，求出的各边，结合余弦定理即可求解； （2）取的中点为，则在底面的投影为，由题意得即为平面和平面的夹角，由为等腰直角三角形，可求得，即可求解. 【小问1详解】 取的中点为，连接， 在正方体中，有， 又分别为的中点， 则， 四边形为平行四边形， ， 即直线与所成角， 连接， 正方体的棱长为4， ，， ， ， 即直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 平面和平面的夹角，即平面和平面的夹角， 取的中点为， 则在底面的投影为，连接， 分别为的中点， ， 又平面平面， 即平面和平面的夹角， 底面，底面， ， 又， 为等腰直角三角形， . 即平面和平面夹角为. 21. 已知数列的前项和为，且（）．数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用可得答案； （2）利用错位相减法求和可得答案． 【小问1详解】 当时，， 当时，， 因为也适合该式， 所以； 【小问2详解】 已知数列的前项和为，且（）． 数列满足， 因为，所以， 由得，所以是以为首项公比的等比数列， 所以， 可得， ， ， 两式相减可得， ， 所以. 22. 已知椭圆：（）的离心率为，又过点． （1）求椭圆的方程； （2），分别为的左，右焦点，过的直线交于，两点，求的内切圆面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助离心率与椭圆所过点计算即可得； （2）结合的内切圆面积与的面积即周长的关系，通过计算的面积范围即可得的内切圆面积的取值范围. 【小问1详解】 由椭圆离心率为，则，即， 又，即有， 由过点，则 即有，则，， 即：； 【小问2详解】 由：，则，， 易得直线斜率不为0，故可设，，， 设的内切圆半径为，的周长为，的周长为， 则有，又， 则的内切圆面积， 联立，有， ， ，， 则 ， 令，由对勾函数性质可知在上单调递增， 故，即， 即. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $