3.1 第1课时 方程（课件）2024-—2025学年沪科版七年级数学上册

七年级上册数学（沪科版） 3.1 方程 第3章 一次方程与方程组 第1课时 方程和方程的解 1 教学目标 1. 能通过对实际问题的分析，归纳并理解方程的概念. 2. 计算使方程左右两边相等的未知数的值，理解方程的解的概念. 3.会根据简单的实际问题列方程. 重点：方程的概念. 难点：列方程. e7d195523061f1c0c2b73831c94a3edc981f60e396d3e182073EE1468018468A7F192AE5E5CD515B6C3125F8AF6E4EE646174E8CF0B46FD19828DCE8CDA3B3A044A74F0E769C5FA8CB87AB6FC303C8BA3785FAC64AF5424764E128FECAE4CC72932BB65C8C121A0F41C1707D94688ED66335DC6AE12288BF2055523C0C26863D2CD4AC454A29EEC183CEF0375334B579 情景 一辆客车和一辆货车同时从 A 地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是 70 km/h，货车的行驶速度是 60 km/h，客车比货车早 1 h 经过 B 地，A、B 两地间的路程是多少? 1. 若用算术方法解决应怎样列算式? 路程差：70×1= 70 km 速度差：10 km/h A B 客车 货车 时间：70÷10 = 7 h A、B 间的路程：60×7 = 420 km 3 3.客车与货车行驶时间的关系是 . 1 方程的概念 2.如果设A、B两地相距 x km，那么客车从A地到 B地的行驶时间为 ，货车从A地到B地的行驶时间为 . 客车比货车早1h过B地 4.根据上述关系，可列方程为 . 5. 对于上面的问题，你还能列出其他方程吗? 如果能，你依据的是哪个相等关系? 从 A 地到 B 地，设货车的行驶时间为 t， 则客车的行驶时间为 t - 1. 70(t - 1) = 60t 从 A 地到 B 地，客车的行驶距离 = 货车的行驶距离 问题1 在参加 2022 年北京冬奥会的中国代表队中，自由式滑雪运动员有 21 人，比花样滑冰运动员的 3 倍少 3 人. 参加本届冬奥会的花样滑冰运动员有多少人? 设参加冬奥会的花样滑冰运动员有 x 人， 根据题意，得 3x - 3 = 21. 合作探究 问题2 王玲今年 12 岁，她爸爸 36 岁，问再过几年，她爸爸年龄是她年龄的 2 倍? 设再过 x 年，王玲爸爸的年龄是她年龄的 2 倍. 这时王玲的年龄是 (12 + x) 岁，她爸的年龄是 (36 + x) 岁.根据题意，得 36 + x = 2(12 + x). 再过几年，父亲的年龄是王玲的 2 倍，那么父亲的年龄比王玲多 1 倍，正好是 36 - 12 = 24， 所以再过 12 年，王玲的年龄为 24 岁时，父亲的年龄为 48，正好是王玲岁数的 2 倍. 列算术 列方程 问题3 已知长方形的面积为 180 m2，其中长比宽多 3 m，求长方形的宽是多少？ 设宽为 x m，则长为 (x +3) m. 根据题意，得 x(x +3) = 180. x m (x + 3) m 知识要点 3x - 3 = 21 36 + x = 2(12 + x) x(x +3) = 180 有些问题用算术方法解决并不容易. 我们可以用 x， y，z 这样的字母来表示未知数，然后根据问题中的等量关系，写出含有未知数的等式. 含有未知数的等式叫作方程. 知识溯源 汉语中“方程”一词最初源于讨论含多个未知数的等式问题，我国古代数学著作《九章算术》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”. 19 世纪 50 年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将 equation (指含有未知数的等式) 一词译为“方程”. 2.（福州·期末）“x 的 5 倍与 2 的和等于 x 的 与 4 的差”， 用等式表示为 . 1.（厦门·期中）已知长方形的长与宽分别为 16、x，周长为 40，根据条件，列出方程为 . 2(16 + x) = 40 练一练 探究2：填写下表： 合作探究 x 3 4 5 6 7 8 9 10 … 3x - 3 6 9 12 15 18 21 24 27 … 观察表格，当 x = 8 时， 3x - 3 = ； 当 x = 9 时， 3x - 3 = ；当 x = 时，3x - 3 = 18. 21 24 7 方程的解 2 知识要点 总结 x 7 8 9 … 3x - 3 18 21 24 … 我们发现，当 x 取 8 时，方程的左边等于右边；当 x 取 7 或 9 时，方程的左边，不等于右边. 使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解. 比如 x = 8 就是方程 3x - 3 = 21 的解. 求方程的解的过程叫作解方程. 观察上表，对于方程 3x - 3 = 18 有什么发现？ 典例精析 例2 分别检验 x 的下列值是否是方程 2.5x + 318 = 1068 的解. (1) x = 300； (2) x = 330. 解：(1) 把 x 用 300 代入原方程得， 左边 = 2.5×300＋318= 1 068， 左边 = 右边， 所以 x = 300 是方程 2.5x＋318 = 1068 的解. (2) 把 x 用 330 代人原方程得， 左边 = 2.5×330 + 318 = 1 143， 左边 ≠ 右边， 所以 x = 330 不是方程 2.5x＋318 = 1 068 的解. 练一练 3. 下列方程中，解为 x＝－2 的是(　　) A. 3x－2＝2x B. 4x－1＝2x＋3 C. 3x＋1＝2x－1 D. 5x－3＝6x－2 C 4. 若 x＝4 是关于 x 的方程 ax＝8 的解，则 a 的值为______. 2 实际问题 设未知数 用含有未知数的等式表示相等关系 方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程. 使用数学解决实际问题的一种方法，这个过程可以表示如下： 使方程两边相等的未知数的值 方程的解 1.（德州·期末）在 ①2 - 5；②1 + 7x = -8y + 3；③x = 6；④3x = 2x - 9；⑤2x>7中，方程共有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C 2. x＝2________方程 4x－1＝3 的解．(填“是”或“不是”) 不是 3.小明看一本书，第一天看了全书的 ，第二天看的页数是第一天的 6 倍少 3 页，剩下还没看的页数比全书的 多 4 页.求全书共多少页. 设全书共 x 页，分别用含 x 的式子表示下列各量：第一天看了____页，第二天看了____________页，还剩____________________页没有看. 请根据相等关系列出方程：_______________________. 4. 在一次植树活动中，甲班植树的株数比乙班多 20%，乙班植树的株数比甲班的一半多 10 株. 设乙班植树 x 株. (1) 列两个不同的含 x 的代数式，分别表示甲班植树的 株数. (2) 根据题意列出含未知数 x 的方程. 解：(1) 根据甲班植树的株数比乙班多 20%，得甲班植树的株数为 (1 + 20%)x；根据乙班植树的株数比甲班的一半多 10 株，得甲班植树的株数为 2(x - 10). (2) (1 + 20%)x = 2(x - 10). (3) 检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和35株. (3)把 x = 25 分别代入方程的左边和右边，得 左边 = (1 + 20%)×25 = 30， 右边 = 2×(25 - 10)=30. 因为左边 = 右边， 所以 25 是方程 (1 + 20%)x = 2(x - 10)的解. 这就是说乙班植树的株数是 25 株，从上面检验过程可得甲班植树的株数是 30 株，而不是 35 株. x－ A －(6× A －3) (6× A －3) x－ A －(6× A －3)－ A x＝4 A A A $$