5.2.3简单复合函数的导数教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2022 年普通高中新课程新教材优 质课评选暨优秀课例汇集 第五章 一元函数的导数及其应用第二单元 导数的运算单元分讲 3：简单复合函数的导数 （人民教育出版社 普通高中教科书 A 版 选择性必修第二册） 教 学 设 计 授课教师：安徽省怀宁中学 王永安 2022 年 10 月 一.教学内容解析 （一）内容结构图 1.章内容结构图 第五章 一元函数的导数及其应用 第一单元 导数 第二单元 导数 第三单元 导数 在研究函数中 的概念及其意义 的运算 的应用 2.单元内容结构图 ★第二单元 导数的运算 （共 3 课时） 分讲 1（1 课时） 分讲 2（1 课时） 分讲 3（1 课时） 基本初等函数的 导数的四则运算 简单复合函数 （二）教学内容解析 1.本章内容解析 本章内容——导数及其应用是众多知识的交汇，是研究函数性质，解决不等式、数列、 几何等相关问题的重要工具. 为了描述现实世界中的运动变化现象，在数学中引入了函数.在对函数的深入研究中， 数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.微积分 的创立与处理四类科学问题直接相关：一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在 任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是 求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；它 定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方 法.因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、加速度等实际问题的基本工具. 2.本单元内容解析 在本单元——导数的运算中，主要包括几个常用函数的导数，基本初等函数的导数公式， 函数的和、差、积、商的导数运算法则以及简单复合函数的导数运算法则，由于求基本初等 函数的导数以及推导函数的运算法则时都涉及极限的运算，而极限的具体知识对高中生是不 做要求的，所以教科书对上述内容并没有严格的数学推导，而是先根据导数的定义求解了几 个常用函数的导数，在此基础上直接给出基本初等函数的导数公式表，然后采用从特殊到一 般的方法，先以具体函数的求导使学生对导数的运算法则有直观的感觉，然后给出导数的四 则运算法则以及复合函数的求导法则。由于复合函数的求导涉及对复合函数的自变量、中间 变量、因变量的结构分析，需要两次求导的过程，所以求简单复合函数的导数是本节的重难 点，通过本节的学习，学生的数学运算素养将得以提升。 3. 课时内容解析 求简单复合函数的导数是本节的一个难点。教科书首先设置了一个思考栏目：“如何求函数 y=ln(2x-1)的导数呢?”从而引入复合函数求导的问题。y=ln(2x-1)是个典型的复合函数，教师应引导学生发现：这个函数不是基本初等函数通过四则运算得到的，因此无法通过导数的四则运算法则来求导，从而引起学生的认知冲突。 要正确地对复合函数求导，首先要分析清楚复合函数的结构。在引入复合函数的概念时，教科书采用从特殊到一般的方法，先分析 y=ln(2x-1)的结构特点，使学生初步感知“复合”的概念，在给出“复合函数”的一般概念，最后通过分析函数 y=ln(2x-1)和 y=sin2x 的复合结构来加深学生对“复合函数”概念的理解。教学中应将重点放在引导学生理解简单复合函数的复合过程中，即因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程，并明确复合过程中的自变量、因变量以及中间变量分别是什么。复合函数的结构的分析是一个难点，教学中可以再举几个简单复合函数的例子供同学们分析，从而顺利突破教学难点。 二、课时教学目标 1.经历特殊的简单复合函数的求导问题，通过探究它们的数学共性，抽象生成简单复合 函数的求导法则. 2.理解简单复合函数的概念，明确求其导数的基本方法，能够运用简单复合函数的求导 法则解决生活中与复合函数有关的问题。 3.经历简单复合函数的求导的探究，体会从特殊到一般、从具体到抽象在解决数学问题 中的一般性和有效性.发展学生观察、类比、概括的数学能力,提升学生数学抽象、直观想象、 逻辑推理的数学核心素养。 4.经历从实际情境抽象出数学概念，激发学生的学习兴趣与求知欲，让学生感受数学源 于生活，用于生活.引导学生会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的 语言表达世界.应用自主探究、合作交流的学习模式，培养学生敢于质疑、勇于探索的学习 习惯，在学习过程中提升发现问题、分析问题、解决问题的能力.让学生体验成功，提高课 堂参与度与成就感。 三、教学重难点 重点：复合函数的求导法则 难点：运用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数 四.学生学情分析 1.已具备的认知基础 本课时的教学对象是安徽省怀宁中学的学生.怀宁中学是安徽省示范中学，学生具有良 好的知识储备和较强的学习能力. 本节课需要用到的知识储备包括导数的概念、基本初等函数的导数、导数的四则运算， 而所要用到的归纳、概括、类比、抽象思维能力等也已具备，特别地怀宁中学的学生均能好 的计算基础，也多次经历过数学的形成过程，对“问题情境—建立模型—解释应用与拓展” 这样的学习程序并不陌生，这些都是开展本节课学习的基础． 同时，通过之前的学习，学生也已具备一定的探究意识和团队合作意识，有较好的语言 表达能力，积累了一定的数学活动经验，通过前面导数的计算的学习，学生具有一定的动手 实践能力. 2.可能存在的认知困难 复合函数的结构对学生来说是全新的事物，准确认识复合函数的结构是准确求其导数的 前提，因此，准确认识复合函数的结构是本节课的难点。 针对这一难点，可增加一组复合函数结构判断的习题供学生随堂训练，以便学生更好地 理解，从而顺利地掌握简单复合函数的求导法则。 突破难点的关键：问题链引导与合作学习。 五.教学策略分析 1.教法分析 结合本课时的内容特点和学情分析，采用 PBL（Problem-based Learning）的教学模式， 即：基于问题链的教学模式.本课时以提升学生的数学抽象与直观想象的核心素养为根本出 发点，以特殊复合函数的求导为明线，以感受 “简单复合函数的定义”、感受“简单复合函 数的求导法则”、体会“从特殊到一般”的研究方法为暗线，以用具体复合函数的求导和 “弹簧振子问题”作为课堂反馈，以完成课后作业作为课堂的延伸和拓展，充分体现数学发 展过程中的新旧知识的结合，理论与实际的结合，为学生指引学习的方向，使课堂摆脱知识 的束缚，成为学生学习能力成长的发源地. 为了引导学生理解简单复合函数的导数，教师遵循“观察——归纳——抽象——概括” 四个层次.为了引导学生理解简单复合函数的求导法则，教师遵循“特殊——一般——归纳” 三个层次.本课时教师将内容设计成“温故知新，导入新课——合作探究，探索新知——学 以致用，深化理解——小结提升，布置分层作业”四个环节. 2.学法分析 学生采取小组合作探究的学习模式.在课堂教学中鼓励学生独立思考、敢于质疑，通过 小组合作、交流分享，突破难点，提升学生的合作探究意识，提高分析问题、解决问题的能 力. 在课堂教学中始终以学生为核心，教师组织、适时引导，有效地提升学生的课堂参与度， 使学生在开放的活动中获取直接的数学经验.学生经历思考、观察、分析、实践、归纳的认 知过程，深刻体会知识的形成过程，提升知识迁移、解决问题的能力. 六.教学过程设计 本节课设计了四个教学环节，逐步达成教学目标，完成教学任务. 温故知新 合作探究 学以致用 归纳总结 导入新课 探索新知 深化理解 思想升华 1.温故知新，引入新课 教师引言（1）：今天让我们一起来学习简单复合函数的导数。 【师生活动】教师板书，如下： 5.2.3 简单复合函数的导数 复习回顾：我们已经学过哪些求导数的方法？ 【师生活动】教师引导学生复习回顾基本初等函数的导数和导数的四则运算法则，并用 PPT 展示如下： 【设计意图】让学生回顾基本初等函数的导数和导数的四则运算法则，能够较好地反馈学生 对已学内容——导数运算掌握与理解.为本节课——简单复合函数的导数的学习做好充分铺 垫. 2.合作探究，探索新知 问题：如何求函数 y=ln(2x−1)的导数？ 【师生活动】师应引导学生发现：这个函数不是基本初等函数通过四则运算得到的，因此无 法通过导数的四则运算法则来求导，从而引起学生的认知冲突。 【设计意图】培养学生的观察、分析能力.引导学生探究复合函数的求导问题。发展学生数 学抽象核心素养。 问题：函数 y=ln(2x−1)可以用基本初等函数表示吗？ 【师生活动】：学生观察思考，然后举手回答，其他同学进行补充. 学生：函数y = ln (2x−1)中，若设u = 2x−1(x > 12)，则y = lnu. 从而y = ln (2x−1)可以看成是由y = lnu和u = 2x−1(x > 12)经过“复合”得到的.即y可以通 过中间变量u表示为自变量x的函数. 教师：请同学们总结一下什么是复合函数，它的定义域由什么决定？ 【师生活动】：学生先讨论然后举手回答，其他同学补充，教师 PPT 展示. 【设计意图】引入复合函数的概念时，采用从特殊到一般的方法，先分析 y=ln(2x-1)的结构特点，使学生初步感知“复合”的概念，再给出“复合函数”的一般概念。问题：如何求复合函数的导数？以函数 y=sin2x 为例，研究其导数. 【师生活动】课桌左边的同学先把函数y = sin2x转化为初等函数再求导，右边的同学先把 函数y = sin2x拆为内层函数和外层函数，再分别求导.然后同位之间讨论彼此结果之间的联 系.教师巡回观察，参与讨论. 一方面，令u = 2x，得y = sinu. 以y'x表示y对x的导数，y'u表示y对u的导数，u'x表示u对x的导数.一方面，y'x = (sin2x)' = (2sinxcosx)' = 2[(sinx)' ⋅ cosx + sinx ⋅ (cosx)'] = 2 [cosx ⋅ cosx + sinx ⋅ (−sinx)] = 2(cos2x−sin2x) = 2cos2x. ' ' ' ' . 另一方面，yu = (sinu) = cosu，ux = (2x) = 2 问题：换个函数 y=ln2x,还有类似的结论吗？ 分析过程： 一方面，函数y = ln2x可以看作y = lnu和u = 2x的复合函数，以yx'表示y对x的导数，yu'表示y对u的导数，ux'表示u对x的导数.可以先得到y = lnu，u = 2x的导数.yu' = 1u，ux' = 2. 另一方面，yx' = (ln2x)' = (lnx + ln2)' = (lnx)' + (ln2)' = 1x + 0 = 1x . 因为u = 2x，所以yx' = 2u. 结合yu' = 1u，ux' = 2，所以，有yx' = yu' ⋅ ux'. 【师生活动】：教师引导学生分析总结以上两个复合函数求导案例的共性，学生先讨论然后举手回答复合函数的求导法则，其他同学补充，教师 PPT 展示. 【设计意图】通过分析函数 y=ln(2x-1)和 y=sin2x 的复合结构来加深学生对“复合函数”概念的理解。 【师生活动】试一试：试用复合函数的求导法则求函数 y=ln(2x−1)的导数。 首先，函数 y=ln(2x−1)可以看作函数 y=lnu 和 u=2x−1 的复合函数， 所以yx' = yu' ⋅ ux'=(lnu)′⋅(2x−1)′=1u×2=2u=2x−12. 【设计意图】通过解决本节课开始提出的问题，首尾呼应的同时，再次加深学生对复合函数 结构的理解，熟悉简单复合函数的求导法则。 3.学以致用 深化理解 教师引言：下面，让我们学以致用，来解决一道数学问题. 例：求函数y = (3x + 5)3的导数。 问题：请问函数函数y = (3x + 5)3是如何复合而成的？ 【师生活动】教师要引导学生关注简单复合函数的结构.教师提问，学生独立思考、作答在 学案上，教师巡视，请学生回答。 【设计意图】让学生学以致用，加深加深学生对复合函数结构的理解，明确求简单复合函数 的导数的步骤.教师板书，示范解题格式，展示数学的严谨. 【师生活动】随堂练习：求下列函数的导数。 （1）y = e−2x + 3；（2）y = ln (x + 1). 【设计意图】通过随堂练习的分析和解决，帮助学生熟练掌握复合函数的求导，发展学生数 学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。 教师引言：你能总结求复合函数 y=f(g(x))的导数的一般步骤吗？ 【师生活动】学生结合例题讲解和随堂练习，总结出复合函数 y=f(g(x))的导数的一般步骤， 让学生回答，教师及时加以补充，最后得到复合函数 y=f(g(x))的导数的一般步骤： 分解 观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数 运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导 求导 法则运算 回代 用自变量替换掉中间变量，得到关于自变量的导数 【设计意图】学生进行小组探究活动，激发求知欲和学习兴趣的同时，大大提高了课题效率。 充分让学生感受从特殊到一般、从具体到抽象在研究问题时的一般性和有效性。 教师引言：下面再让我们用本节课知识解决这样一个实际生活问题。 · 2：某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为 y = 18sin (2π3t−2π).求函数y在t = 3s时的导数，并解释它的实际意义. (2π π) 【师生活动】追问：函数y = 18sin 3 t−2 还可以看作哪两个函数的复合函数？ 学生：函数可以化为y = −18cos2π3t，也可以看作y = −18cosu与u = 2π3t的复合函数. 解 函数y = 18sin (2π3t−2π)可以看作函数y = 18sinu与u = 2π3t−2π的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有yt' = yu' ⋅ ut' = (18sinu)' ⋅ (2π3t−2π)' = 18cosu × 2π3 · 12πcos (2π3t−2π). 当t = 3时，yt' = 12πcos2π3 = 0. 它表示当t = 3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mms. 【设计意图】经历用简单复合函数的求导法则解决实际问题，让学生感受数学源于生活，更 能用于生活.教师巡视时，要关注学生导数符号的书写，解题格式的完整，要关注学生对简 单复合函数的结构的准确理解。 4.归纳总结 思想升华 问题（6）：请同学们谈谈这节课你的收获和感受吧！ 【师生活动】教师着重引导学生对本节课进行小结.让学生梳理本节课的知识收获：简单复合函数的定义和简单复合函数的求导法则.让学生感受应用的思想方法和研究方法：由特殊到一般的研究问题方法.教师提问，学生独立思考、回答，相互补充，教师 PPT 展示： （1）复合函数的概念； （2）复合函数的求导法则； （3）求复合函数的导数的一般步骤。 【设计意图】培养学生归纳总结的能力.让学生回味本节课生成的知识和应用的方法,积累数学知识和活动经验.感知简单复合函数的求导法则. 教师引言：本节课的作业分必做和选做两部分，请看大屏幕，如下： 【设计意图】必做作业保证本课时知识和方法的落实,保证后续学习.选作作业针对学有 余力的学生，保证不同的学生得到不同的发展. 七.板书设计 5.2.3 简单复合函数的导数 1.简单复合函数 例 1. 多媒体 学科网（北京）股份有限公司 $$