5.2.1基本初等函数的导数教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2 导数的运算 一、本节知识结构框图 二、 内容解析 本节导数的运算，主要包括几个常用函数的导数，基本初等函数的导数公式，函数的和、差、积、商的导数运算法则以及简单复合函数的导数运算法则．由于求基本初等函数的导数以及推导导数的运算法则时都涉及极限的运算，而极限的具体知识对高中生是不作要求的，所以教科书对上述内容并没有进行严格的数学推导，而是先根据导数的定义求解了几个常用函数的导数，在此基础上直接给出基本初等函数的导数公式表；然后采用从特殊到一般的方法，先以具体函数的求导使学生对导数的运算法则有直观的感觉，然后给出导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则．由于复合函数的求导涉及对复合函数的自变量、中间变量、因变量的结构分析，需要两次求导的过程，所以求简单复合函数的导数是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学运算素养将得以提升． 本节引言阐明本节研究思路的同时，也指出了研究的必要性：很多复杂的函数都是由基本初等函数通过加、减、乘、除等运算得到的，由此自然想到要计算较复杂函数的导数，是否可以先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的运算法则，这样就可以利用基本初等函数的导数和导数的运算法则来求较复杂函数的导数了．通过节引言的学习，学生可以快速地了解本节的缘起、研究路径和方法，教学时应引导学生注意节引言中对研究方法的引导． 5.2.1 基本初等函数的导数 一、教学内容： 基本初等函数的导数 二、教学目标： 1、掌握基本初等函数的导数公式. 2、学会利用公式求一些函数的导数. 三、教学重点、难点： 重点：基本初等函数的导数公式及公式的推导过程. 难点：基本初等函数的导数公式及公式推导过程及应用. 四、教学过程设计： 引导语： 我们通过对几个常用函数求导，可以进一步理解导数的概念，理解求函数的导数是一种 借助极限的运算，从而进一步体会极限思想．极限是人们从微观层面认识世界变化规律的重 要工具，导数是一种特殊的极限，蕴含着极限的思想，理解导数的定义，对于发展同学们的 数学抽象思想和正确的世界观有着重要的作用.导数的几何意义表明，函数在某点处的导数 是函数在相应点处切线的斜率，对于帮助学生理解导数的定义，提升数学能力，发展直观想 象素养，有重要的作用. 【复习引入】 问题 1 求函数 y f x 在 x x0 处的导数的步骤是什么？ 师生活动：第一步，计算 y f x0x f x0 ，并化简； x x 第二步，若 lim y 存在，求 lim y ； x x x 0 x 0 第三步，得到 f ' x0 lim y . x 0 x 设计意图：回忆导数的概念，引入本节课题. 问题 2 函数 y f x 在 x x0 处的导数的几何意义是什么？ 师生活动：函数 y f x 在 x x0 处的导数 f ' x0 就是曲线 y f x 在 x x0 处的切 线的斜率 k0，即 k0 lim f x0 xx f x0 f ' x0 . x 0 设计意图：导数的几何意义表明，函数在某点处的导数是函数在相应点处切线的斜率， 对于帮助学生理解导数的定义，提升数学能力，发展直观想象素养，有重要的作用. 问题 3 求函数 y f x 的导数的步骤是什么？ y f ( x +Dx - f x ) 师生活动：第一步，计算 D = ) ( ，并化简； Dx Dx 第二步，若 lim y 存在，求 lim y ； x x x 0 x 0 第三步，得到 f ' (x)=y' =lim Dy . Dx®0 Dx 设计意图：依据导数的定义，区别 f ' x0 、 f ' (x). 【探究新知】 探究一 函数 y =f (x)=c 的导数 y f ( x +Dx - f x ) c - c 因为 D = ) ( = =0, Dx Dx Dx 所以 lim Dy = lim 0=0. 所以 y' =lim Dy =0. Dx®0 Dx Dx®0 Dx®0 Dx 思考 若 y =c 表示路程关于时间的函数，则 y' =0 的物理意义是 什么？ 如图，若 y =c 表示路程关于时间的函数，则 y' =0 可以解释为某 物体的瞬时速度始终为 0，即一直处于静止状态. 探究二 函数 y =f (x)=x 的导数 D f ( ) - f ( ) ( x +Dx ) - x 因为 y = x +Dx x = =1, Dx Dx Dx 所以 lim Dy = lim1=1. Dx®0 Dx Dx®0 所以 y' =lim Dy =1. Dx®0 Dx 思考 若 y =x 表示路程关于时间的函数，则 y' =1 的物理意 义是什么？ 如图，若 y =x 表示路程关于时间的函数，则 y' =1可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速直线运动. 探究三 函数 y =f (x)=x2 的导数 因为 D ( x +Dx ) - f ( ) ( ) y = f x = x +Dx 2 - x2 Dx Dx Dx ( ) = x2 +2x ×Dx + Dx 2 - x2 Dx =2x +Dx, 所以 lim Dy = lim (2x +Dx)=2x. Dx®0 Dx Dx®0 所以 y' =lim Dy =2x. Dx®0 Dx 思考 y' =2x 的几何意义是什么？ 如图， y' =2x 表示函数 y =x2 的图象上点(x, y)处切线的斜率 为 2x，说明随着 x 的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数 作为函数在一点的瞬时变化率来看， y' =2x 表明：当 x<0 时，随着 x 的增加， y' 越来越小， y =x2 减少得越来越慢；当 x>0 时，随着 x 的增加， y' 越来越大， y =x2 增加得越来越快. 思考 若 y =x2 表示路程关于时间的函数，则 y' =2x 的物理意义是什么？ · y =x2 表示路程关于时间的函数，则 y' =2x 可以解释为某物体做变速直线运动，它在时刻 x 的瞬时速度为 2x. 探究四 函数 y =f (x)=x3 的导数 因为 D ( ) - f ( ) ( ) y = f x +Dx x = x +Dx 3 - x3 Dx Dx Dx · x3 +3x2 ×Dx +3x ×D(x)2 +(Dx)3 - x3 Dx ( ) =3x2 +3x ×Dx + Dx 2 , 所以 Dy é 2 2 ù 2 lim = lim 3x +3x ×Dx + Dx ) =3x . Dx Dx®0 Dx®0 ë ( û 所以 y' =lim Dy =3x2. Dx®0 Dx 思考 y' =3x2 的几何意义是什么？ 如图， y' =3x2 表示函数 y =x3 的图象上点(x, y)处切线的斜率为 3x2 ，说明随着 x 的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. 探究五 函数 y =f (x)=1x 的导数 y f ( x +Dx - f x ) 1 - 1 x +Dx x D = ) ( = 因为 Dx Dx Dx = x - (x +Dx) =- 1 , x ( x +Dx Dx x2 +x ×Dx ) Dy æ 1 ö 1 所以 lim = lim ç- ÷=- . Dx 2 +x ×Dx x 2 Dx®0 Dx®0 è x ø 所以 y' =lim Dy =- 1 . Dx Dx®0 x2 函数 y = f (x)= 的导数 探究六 x 因为 y f ( x +Dx - f x ) x x x D = ) ( = +D - Dx Dx Dx =(x +Dx - x )(x +Dx +x ) Dx ( x +Dx + x ) 1 =x +Dx +x , 所以 lim Dy = lim 1 = 1 . Dx®0 Dx Dx®0 x +Dx + x 2 x 所以 y' =lim Dy = 1 . Dx®0 Dx 2 x 【知识梳理】 6 个函数中，除第 1 个是常函数外，其余 5 个都是哪一类基本初等函数？ 都是幂函数. 思考 你能发现它们的导数 f ' (x)与函数 f (x)之间的关系吗？ · f (x)=xa (a Î Q,且a ¹ 0), 则 f ' (x)=a xa -1. 还有哪些基本初等函数？它们的导数又是什么？指数函数、对数函数、三角函数. 实 际上，对于其它的基本初等函数，我们确实可以根据导数的定义求其导数的，但是由于我们 目前的知识结构还不够完善，求导数的计算过程还有些困难，因此这些函数的导数我们直接 给出，今后可以直接使用. 基本初等函数的导数公式 1. 若 f (x) =c ( c 为常数)，则 f ¢(x) =0 ； 2. 若 f (x) =xa (a Î Q ，且a ¹ 0) ，则 f ¢(x) =a xa - 1 ； 3. 若 f (x) =sin x ，则 f ¢(x) =cos x ； 4. 若 f (x) =cos x ，则 f ¢(x) =- sin x ； 5. 若 f (x) =ax (a >0 ，且 a ¹ 1) ，则 f ¢(x) =ax ln a ； 特别地，若 f (x) =ex ，则 f ¢(x) =ex ； 6. 若 f (x) =loga x(a >0 ，且 a ¹ 1) ，则 f ¢(x) =x ln1 a ； 特别地，若 f (x) =ln x ，则 f ¢(x) =1x ； 【典例分析】 例 1 求下列函数的导数： 2 （2） y log2 x . （1） y x 3 ； 分析：分辨函数的类型，直接应用相应的导数公式求导数. ' 2 ' 2 2 1 2 1 ' ' 1 解：（1） y x 3 x 3 ; (2) y log2 x . x 3 3 3 x ln 2 例 2 假设某地在 20 年间的年均通货膨胀率为 5%，物价 p (单位：元)与时间 t (单位：年) 之间的关系为 p (t )=po (1+5%)t 其中 p0 为 t =0 时的物价. 假定某种商品的 p0 1，那么 在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01 元/年)？ 分析：由函数的解析式可以看出，这是一个指数型函数，底是 1.05，因此 p(t)是一个增函数，所以价格随着时间的增长而上涨. 所以价格上涨的速度就是这个函数的导数值. 因此，本题需要先求出 p(t)的导函数，再求出 t =10 时的导数值. 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 p' t 1.05t ln1.05. 所以 p' 10 1.0510 ln1.05 0.08. 所以，在第 10 个年头，这种商品的价格约以 0.08 元/年的速度上涨. 【课堂练习】 1.求下列函数的导数： x (1)y＝ x(x＞0)； (2)y＝sin(π－x)； (3)y＝ log1x 3 解: (1)∵y＝ x ＝ x(x＞0)，∴y′＝( x)′＝ 1 . x 2 x (2)y＝sin(π－x)＝sin x，∴y′＝cos x. 1 1 (3)y′＝( log1x )′＝ 1＝－xln 3. 3 xln3 2.画出函数 y = 1 的图象. 根据函数 y = 1 的图象，描述它的变化情况.求出曲线 x x y =1x 在点 (1,1)处的切线方程. 如图,结合函数图象及其导数 y' =- x12 发现，当 x <0 时，随着 x 的增加，函数 y = 1 减少得越来越快；当 x >0 时，随着 x 的增加，函数 y = 1 减少得越 x x 来越慢. 1 根据导数的几何意义，函数 y =x 在 x =1 处的导数就是曲线在点(1,1)处切线的斜率.因为 y' =- x12 ，所以函数在 x =1 处的导数 y' x=1 =- 112 =- 1 ，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率为 - 1，在点(1,1)处的切线方程为 x +y - 2 =0 . 【课堂小结】 1.对于基本初等函数导数公式需要注意以下几点 （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． （2）对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误． 1 （3）要特别注意“x与 ln x”，“ax 与 logax”，“sin x 与 cos x”的导数. 2.本节课的地位和作用 （1）本节课巩固了用定义求导数的方法，为后续学习奠定了基础； （2）本节课与导数概念的产生背景相呼应，巩固了导数的几何意义和物理意义，更深 刻地认识了导数的内涵，逐渐养成应用数学知识解决实际问题的习惯； （3）提升数学运算的数学核心素养. 【布置作业】 1.教材 75 页 2、3、4. 2. 已知曲线 y=ln x，点 P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点 P 处的切线方程． 3. 求曲线 y =x2 过点 P(3,5)的切线方程. 【目标检测设计】 一、选择题 1 1 1．已知函数 f (x)= æ ö ，则 f ¢ç ÷=（ ） x 2 è2 ø A． - 1 B． - 1 C． - 8 D． - 16 4 8 2．已知 f (x)=cos30o，则 f ¢(x)的值为（ ） 1 1 A． - B． C． - 3 D． 0 2 2 2 3．已知函数 f (x) =x3 ， f ¢(x) 是 f (x) 的导函数，若 f ¢(x0 ) =12 ，则 x0 =（ ） B． - 2 ± ± 2 A． 2 C． 2 D． 4.曲线 f (x) = 1 在点 P 处的切线的倾斜角为 3 π ，则点 P 的坐标为( ) x 4 1 A. 1 1 B. - 1 - 1 C. æ 2 ö D. 1 1 或 - 1 - 1 ( ) ( ) ç ÷ ( ) ( ) è2 ø 二、填空题 5．已知 f (x)=2x ，则 f ¢çæ1 ÷ö=_____________. èln 2 ø 6．曲线 y =xn (n Î N )在 x =2 处的导数为12 ，则 n =_______． éæ 1 1 ù 2020 ö2019 7.已知函数 f (x) =x ，则 f ¢êç ÷ ú=_____________. êè2020 ø ú ë û 三、解答题 8.已知函数 ， ， ，若曲线 与曲线 相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$