2.1.1 有理数的加法【五大题型过关练】 同步重难点题型分类专练2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

2.1.1 有理数的加法【五大题型过关练】 【知识考点 有理数的加法】 【解题必备知识】 1.有理数加法的定义及运算法则 1)定义:把两个(或多个)有理数相加后得出一个有理数的运算过程叫有理数的加法。 2)运算法则 (1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; (2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得0; (3)一个数同0相加,仍得这个数. 2.有理数加法的运算律 1)加法交换律 文字语言表达:两个数相加,交换加数的位置,和不变。 符号语言表达:a+b=b+a 2)加法结合律 文字语言表达:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。 符号语言表达:(a+b)+c=a+(b+c) 【重难点题型过关练】 【题型1】 有理数加法的概念辨析 1.(2023-2024七年级 河南周口 阶段练习)下列说法错误的是( ) A.两数之和可能小于其中的一个加数 B.两数相加就是它们的绝对值相加 C.两个负数相加,和取负号,绝对值相加 D.两个数若不是相反数,则相加不能得零 2.(2022-2023七年级上 江苏常州 阶段练习)下列说法中正确的是( ) A.两数相加,其和大于任何一个加数 B.异号两数相加,其和小于任何一个加数 C.绝对值相等的异号两数相加,其和一定为零 D.两数相加,取较小一个加数的符号作为结果的符号 3.(2023-2024七年级 全国 课后作业)下列说法正确的是( ) A.两数之和必大于任何一个加数 B.同号两数相加,符号不变,并把绝对值相加 C.两负数相加和为负数,并把绝对值相减 D.异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并把绝对值相加 4.(2022 云南昆明 三模)《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正,黑色为负),如图1表示的是的计算过程,则图2表示的过程是在计算( ) A. B. C. D. 5.(2023-2024七年级 山东德州 阶段练习)若有理数,则( ) A.三个数中至少有两个负数 B.三个数中有且只有一个负数 C.三个数中至少有一个负数 D.三个数中有两个是正数或两个是负数 6.(2023-2024七年级 湖北宜昌 期中)如果,且.则下列说法中可能成立的是( ) A.、为正数,为负数 B.、为正数,为负数 C.、为正数,为负数 D.、为正数,为 【题型2】 运用有理数的加法法则进行运算 7.(2023-2024七年级上 新疆阿克苏 阶段练习)计算的结果是( ) A.4 B. C. D. 8.(2023-2024七年级 山西临汾 阶段练习)下面是小亮同学做的4道题,①; ②; ③;④;其中答对的有( ) A.1道 B.2道 C.3道 D.4道 9.(2024-2025七年级上 全国 假期作业)下列各式计算正确的是( ) A. B. C. D. 10.(2023-2024七年级上 江西上饶 阶段练习)下列运算正确的个数为( ) ①; ②; ③; ④. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 11.(2023-2024七年级 河南新乡 阶段练习)中国人最先使用负数,魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出,可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数,斜放表示负数,如图,根据刘徽的这种表示法,图1可列式计算为,由此可推算图2中计算所得的结果为( ) A. B. C. D. 12.(2023-2024七年级 吉林 期末)比大8的数是 . 13.(2023-2024七年级上 山东德州 阶段练习)计算: . 14.(2022-2023七年级上 湖南耒阳 期末)已知,,且,则 . 15.(2023-2024七年级上 山东枣庄 阶段练习)若,则的值是 . 16.(2023-2024七年级上 辽宁大连 阶段练习)若,则 17.(2022-2023七年级上 湖南长沙明德教育集团 期末)数轴上,点B在点A的右边,已知点A表示的数是,且.那么点B表示的数是 . 18.(2023-2024七年级上 河北邢台 阶段练习)已知一个有理数在与之间. (1)写出一个符合条件的负整数: ; (2)所有满足条件的整数的和为 . 19.(2023-2024七年级上 四川成都 阶段练习)a、b、c三个数的位置如图所示:则 0, 0(填或) 20.(2022-2023七年级上 广东茂名 阶段练习)计算 (1); (2) 21.(2023-2024七年级上 陕西咸阳 阶段练习)计算下列各题 (1); (2); 22.(2023-2024七年级上 河南新乡 阶段练习)(1)绝对值大于4小于8的所有整数? (2)绝对值小于等于3的所有整数?这些整数之和等于多少? 【题型3】 运用有理数加法运算律进行(简便)运算 23.(2023-2024七年级上 山西吕梁 期中)下列变形中正确使用加法交换律的是( ) A. B. C. D. 24.(2022-2023七年级上 浙江 阶段练习)的原理是( ) A.加法交换律 B.加法结合律 C.分配律 D.加法交换律与结合律 25.(2023-2024七年级 江西南昌 期中)计算时,运用了加法( ) A.交换律 B.结合律 C.分配律 D.交换律与结合律 26.(2023-2024七年级上 陕西商洛 阶段练习)计算应用了( ) A.乘法结合律 B.乘法分配律 C.加法交换律 D.加法交换律和结合律 27.(2023-2024七年级上 全国 课后作业)下列变形中,运用运算律正确的是( ) A. B. C. D. 28.(2023-2024七年级 广东中山 期中)下列变形,运用加法运算律正确的是( ) A. B. C. D. 29.(2023-2024七年级上 四川宜宾 阶段练习)下列交换加数的位置的变形中,正确的是( ) A. B. C. D. 30.(2023-2024七年级上 全国 课后作业)(1)加法交换律: . 例: ; (2)加法结合律: . 例:[ + ]. 31.(2023-2024七年级上 安徽合肥 阶段练习)若m、n为相反数,则 为 . 32.(2023-2024七年级上 重庆 阶段练习)用简便方法计算: . 33.(2023-2024七年级 全国 课堂例题) 计算:. 34.(2022-2023七年级上 河南周口 阶段练习)计算: (1). (2). 35.(2023-2024七年级上 河北邢台 阶段练习)用适当方法计算: (1) (2) 36.(2023-2024七年级上 河北邢台 阶段练习)用适当方法计算: (1) (2) (3) 37.(2023-2024七年级 河南郑州 期中)阅读下面文字: 对于可以如下计算: 原式 _ _ _. 上面这种方法叫拆项法. (1)请补全以上计算过程; (2)类比上面的方法计算:. 38.(2023-2024七年级 四川成都 阶段练习) (1)计算:; (2)计算. 【题型4】 有理数加法的应用 39.(2023-2024七年级上 四川南充 阶段练习)在数轴上点表示,从出发,沿数轴移动个单位长度到达点,则点表示的数的等于( ) A.和 B.和 C.和 D.和 40.(2022-2023七年级上 广东中山 期中)已知a,b为有理数,它们在数轴上的对应位置如图所示,把a,﹣b,a+b,a﹣b按从小到大的顺序排列,正确的是( ) A.a<a﹣b<﹣b<a+b B.a﹣b<a+b<﹣b<a C.a﹣b<a<﹣b<a+b D.a﹣b<﹣b<a<a+b 41.(2023-2024七年级上 河南周口 阶段练习)某支付平台主要提供支付及理财服务,通过该平台购物、生活缴费、金融理财等可以获得相应的积分,积分可以兑换礼品或获得优惠权益. 王先生三天内积内的变动情况为:,,,,,,,,,,. 则这三天后王先生的积分增加了( ) A.11分 B.14分 C.20分 D.83分 42.(2023-2024七年级上 四川南充 阶段练习)如果,那么下列式子成立的是( ) A., B., C., D., 43.(2023-2024七年级 贵州贵阳 期末)张烨同学每天从家到学校要走,他的家与学校、超市在一条东西走向的大街上,且张烨家在学校和超市的正中间.若把张烨家、学校、超市分别看成一个点,大街看成一条直线.一天早上,张烨从家出发,先去超市买笔记本,再到学校,他一共走的路程为( ) A. B. C. D. 44.(2023-2024七年级 山东青岛 期中)如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏,将,2,,0,1,,3,分别填入图中的圆圈内,使横行、竖列以及内外两圈上的4个数字之和都相等.已知图中,,,分别表示一个数,则的值是( ) A. B.1 C.或3 D. 45.(2022-2023七年级上 河南周口 阶段练习)如图,小明设计了一个计算程序,并按此程序进行了计算,若开始输入的数为−7,则最后输出的数为 . 46.(2023-2024七年级上 新疆伊犁 阶段练习)一种零件的长度在图纸上标出为(单位:)表示这种零件的长度应是,加工要求最大不超过 ,最小不小于 . 47.(2023-2024七年级 全国 竞赛)希希、望望、贝贝三个人在火车上斗地主,地主赢一局积2分,输一局积负2分,农民赢一局积1分,输一局积负1分.10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为 .(提示:地主赢则两个农民都输;农民赢则两个农民都赢,地主输.) 48.(2023-2024七年级 北京 期中)德胜中学在劳动节中组织学生进行农作物种植实践活动.已知某种农作物种植完成共需A、B、C、D、E、F、G七个步骤,种植要求如下: ①步骤C、D须在步骤A完成后进行,步骤E须在步骤B、D都完成后进行,步骤F须在步骤C、D都完成后进行; ②一个步骤只能由一名学生完成,此步骤完成后该学生才能进行其他步骤; ③各个步骤所需时间如下表所示: 步骤 A B C D E F G 所需时间t分钟 10 10 8 10 8 11 4 在不考虑其他因素的前提下,若由一名学生单独完成此种农作物种植,则需要 分钟;若由两名学生合作完成此种农作物种植,则最少需要 分钟. 49.(2023-2024七年级 辽宁阜新 期末)把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方,它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等,则幻方中的值是 . 50.(2023-2024七年级 全国 课后作业)【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”(图1所示),是世界上最早的矩阵,又称“幻方”,用今天的数学符号翻译出来,“洛书”就是一个三阶“幻方”(图2所示). 【规律总结】观察图1、图2,根据“九宫图”中各数字之间的关系,我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是 ; 若图3是一个“幻方”,则 . 51.(2023-2024七年级 江苏无锡 期中)中国古代数学书《数术拾遗》是最早记载有关幻方的文字.如图是一个简单的幻方模型,将分别填入图中的圆圈内,使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等,若已经把、这两个数填入了圆圈,则的值为 . 52.(2023-2024七年级 浙江绍兴 阶段练习)已知,,,且有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,计算a+b+c的值. 53.(2023-2024七年级 全国 假期作业)一个实验室里有10个柜子.分别用10把不同的锁锁着,但10把钥匙很相像,管理员又忘了钥匙编号(1把钥匙只能开1把锁,不能混用).从最坏的情况考虑,至多要试开几次才能把10把锁都打开? 54.(2023-2024七年级上 陕西咸阳 阶段练习)某商场9月24日销售衬衫100件,下表是该商场9月25日至9月30日六天的销售变化情况(注:正号表示销售量比前一天上升,负号表示销售量比前一天下降): 日期 9月25日 9月26日 9月27日 9月28日 9月29日 9月30日 销售量/件 (1)这六天中哪一天销售衬衫的数量最多?哪一天最少? (2)若每件衬衫的价格是80元,该商场这六天销售衬衫的总收入是多少元? 【题型5】 有理数加法中的有关规律问题和新定义问题 55.(2023-2024七年级 山东日照 阶段练习)一跳蚤在一直线上从O点开始,第1次向右跳1个单位,紧接着第2次向左跳2个单位,第3次向右跳3个单位,第4次向左跳4个单位…,依此规律跳下去,当它跳第2000次落下时,落点处位于O点的( ) A.右侧500个单位 B.左侧500个单位 C.右侧1000个单位 D.左侧1000个单位 56.(2023-2024七年级上 河南安阳 阶段练习)一电子蟋蟀落在数轴上的点处,第一步从向左跳一个单位到,第二步从向右跳2个单位到,第三步由向左跳3个单位到,第四步由向右跳4个单位到,……,按以上规律跳了2024步后,电子蟋蟀落在数轴上的点表示的数是0,则点表示的数是( ) A.0 B.1012 C. D. 57.(2023-2024七年级 江西上饶 期中)把所有正整数从小到大排列,并按如下规律分组:(1),(2, 3, 4),(5,6,7,8,9),(10, 11,12, 13, 14, 15, 16),…,现用等式 AM=(i,j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数),如A8=(3,4),则A2020=( ) A.(44,81) B.(44,82) C.(45,83) D.(45,84) 58.(2023-2024七年级 全国 专题练习)小明同学在上楼梯时发现,若只有一个台阶时,有一种走法;若有两个台阶时,可以一阶一阶地上,或者一步上两个台阶,共有2种走法;如果他一步只能上一个或者两个台阶,根据上述规律,有三个台阶时,他有3种走法,那么有四个台阶时,共有走法( ) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 59.(2023-2024七年级 山东青岛 期中)定义一种运算,设表示不超过x的最大整数,例如 ,据此规定计算的值为( ) A. B. C. D.4 60.(2023-2024七年级 浙江台州 阶段练习)观察下面的几个算式: 1+2+1=4=2 2;1+2+3+2+1=9=3 3; 1+2+3+4+3+2+1=16=4 4;. 根据上面几道题的规律,计算下面的题: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1的值为 61.(2023-2024七年级上 福建南平 阶段练习)对于有理数a,b定义新运算:“”,,则关于该运算,下列说法正确的是 .(请填写正确说法的序号) ①; ②; ③若,则; ④该运算满足交换律. 62.(2023-2024七年级 甘肃定西 阶段练习)定义一种新运算:,如:,则 . 63.(2022-2023七年级上 河南南阳 期中)在学习了有理数的加减法之后,老师讲解了一道例题,计算:.计算思路为:从1开始,将相邻两个加数组合在一起作为一组;其和为,共有1010组,所以结果为.根据这个思路,解答下面的问题: (1)计算:①_. ②_. (2)蚂蚁在数轴的原点0处,第一次向右爬行2个单位,第二次向右爬行4个单位,第三次向左爬行6个单位,第四次向左爬行8个单位,第五次向右爬行10个单位,第六次向右爬行12个单位,第七次向左爬行14个单位,第八次向左爬行16个单位…,按照这个规律,第1001次爬行后蚂蚁在数轴的什么位置? 64.(2023-2024七年级 上海 假期作业)定义一种新运算“”满足:,,,求. 65.(2023-2024七年级 湖南长沙 期中)探究规律,完成相关题目:对非零数定义一种新的运算,叫※(宏)运算. 下列是一些按照※(宏)运算的运算法则进行运算的算式;;;;. (1)我们在研究有理数的加法运算时,既要考虑符号,又要考虑绝对值.请你类比有理数加法的运算法则,归纳※(宏)运算的运算法则;同号两数进行※(宏)运算时 ,异号两数进行※(宏)运算时 . (2)计算: .(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致) (3)我们知道加法有交换律和结合律,请你判断交换律和结合律在※(宏)运算中是否适用,如果适用只需作出判断,如果不适用,举反例说明.(举一个例子即可) 【中考真题提前练】 1.(2023 四川遂宁 中考真题)已知算式 的值为,则“ ”内应填入的运算符号为( ) A.+ B.- C. D. 2.(2022 天津 中考真题)计算的结果等于( ) A. B. C.5 D.1 3.(2022 辽宁沈阳 中考真题)计算的结果是( ) A.2 B. C.8 D. 4.(2022 浙江温州 中考真题)计算的结果是( ) A.6 B. C.3 D. 5.(2024 吉林长春 中考真题)根据有理数加法法则,计算过程正确的是( ) A. B. C. D. 6.(2023 浙江温州 中考真题)如图,比数轴上点A表示的数大3的数是( ) A. B.0 C.1 D.2 7.(2024 四川宜宾 中考真题)如果一个数等于它的全部真因数(含单位1,不含它本身)的和,那么这个数称为完美数.例如:6的真因数是1、2、3,且,则称6为完美数.下列数中为完美数的是( ) A.8 B.18 C.28 D.32 8.(2022•湖南株洲•中考真题)计算:3+(﹣2)= . 9.(2024 陕西 中考真题)小华探究“幻方”时,提出了一个问题:如图,将0,,,1,2这五个数分别填在五个小正方形内,使横向三个数之和与纵向三个数之和相等,则填入中间位置的小正方形内的数可以是 .(写出一个符合题意的数即可) 10.(2024 北京 中考真题)联欢会有A,B,C,D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕,下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长(单位:min)如下: 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔(不考虑换场时间等其他因素)。 若节目按“”的先后顺序彩排,则节目D的演员的候场时间为 min; 若使这23位演员的候场时间之和最小,则节目应按 的先后顺序彩排 学科网(北京)股份有限公司 $$ 2.1.1 有理数的加法【五大题型过关练】 【知识考点 有理数的加法】 【解题必备知识】 1.有理数加法的定义及运算法则 1）定义：把两个（或多个）有理数相加后得出一个有理数的运算过程叫有理数的加法。 2）运算法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2.有理数加法的运算律 1）加法交换律 文字语言表达：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 符号语言表达：a+b＝b+a 2）加法结合律 文字语言表达：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 符号语言表达：(a+b)+c＝a+(b+c) 【重难点题型过关练】 【题型1】 有理数加法的概念辨析 1.（2023-2024七年级·河南周口·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．两数之和可能小于其中的一个加数 B．两数相加就是它们的绝对值相加 C．两个负数相加，和取负号，绝对值相加 D．两个数若不是相反数，则相加不能得零 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则，相反数的定义，逐一进行判断即可． 【解答】解：A、两数之和可能小于其中的一个加数，异号相加，和小于原来的正数，选项正确，不符合题意； B、两数相加就是它们的绝对值相加，异号相加，取绝对值大的符号，再用大绝对值减去小绝对值，选项错误，符合题意； C、两个负数相加，和取负号，绝对值相加，选项正确，不符合题意； D、互为相反数的两数之和为0，所以两个数若不是相反数，则相加不能得零，选项正确，不符合题意； 故选B． 【点评】本题考查有理数的加法法则．熟练掌握有理数的加法法则：“同号相加，取相同符号，再把绝对值相加；异号相加，取绝对值大的符号，再用大绝对值减去小绝对值．”是解题的关键． 2.（2022-2023七年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【答案】C 【分析】根据有理数的加法法则分别分析各个选项，然后得出结论即可． 【解答】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意； B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意； C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意； D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键． 3.（2023-2024七年级·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．两数之和必大于任何一个加数 B．同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加 C．两负数相加和为负数，并把绝对值相减 D．异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并把绝对值相加 【答案】B 【分析】根据有理数的加法运算法则对各选项分析判断即可得解． 【解答】A．两数之和必大于任何一个加数，错误，故本选项错误； B．同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加，正确，故本选项正确； C．应为两负数相加和为负数，并把绝对值相加，故本选项错误； D．应为异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并把用较大的绝对值减去较小的绝对值，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查有理数的加法以及绝对值的概念，掌握有理数的加法运算法则是解题关键． 4.（2022·云南昆明·三模）《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法运算．由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【解答】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， ∴图中表示的计算过程为． 故选：A． 5.（2023-2024七年级·山东德州·阶段练习）若有理数，则（   ） A．三个数中至少有两个负数 B．三个数中有且只有一个负数 C．三个数中至少有一个负数 D．三个数中有两个是正数或两个是负数 【答案】C 【分析】根据有理数的加法法则，即可求解． 【解答】解：∵， ∴， 则有大于等于0和小于0两种情况： 当时，则，且b和c当中至少有一个正数， 当时，则，此时b和c至少有一个负数， 综上所述，三个数中至少有一个负数． 故答案为：C 【点评】此题考查的是有理数的加法问题． 有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反的两个数相加得0；（4）一个数同0相加，仍得这个数． 6.（2023-2024七年级·湖北宜昌·期中）如果，且．则下列说法中可能成立的是（   ） A．、为正数，为负数 B．、为正数，为负数 C．、为正数，为负数 D．、为正数，为 【答案】A 【分析】根据有理数的加法，一对相反数的和为，可得、、中至少有一个为正数，至少有一个为负数，又，那么，进而得出可能存在的情况． 【解答】解： ， 、、中至少有一个为正数，至少有一个为负数， ， ， ∴可能、为正数，为负数；也可能、为负数，为正数． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是有理数的加法，绝对值的意义，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【题型2】 运用有理数的加法法则进行运算 7.（2023-2024七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）计算的结果是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值不等的异号相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【解答】解：． 故选：B． 8.（2023-2024七年级·山西临汾·阶段练习）下面是小亮同学做的4道题，①； ②； ③；④；其中答对的有（   ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】B 【分析】根据有理数加法运算法则进行解答即可． 【解答】解：①，故原算式计算错误； ②，计算正确； ③，故原算式计算错误； ④计算正确． 所以，答对的有2道． 故选：B． 【点评】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 9.（2024-2025七年级上·全国·假期作业）下列各式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法法则：1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；3．一个数同零相加，仍得这个数．掌握有理数加法法则是解题的关键． 【解答】解：A． ，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算正确，符合题意； C． ，原计算错误，不符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 10.（2023-2024七年级上·江西上饶·阶段练习）下列运算正确的个数为（   ） ①； ②； ③； ④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，根据有理数的加法法则计算判断即可，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【解答】，故①错误，不符合题意； ，故②错误，不符合题意； ，故③错误，不符合题意； ，故④正确，符合题意． 故正确的个数为1， 故选：B． 11.（2023-2024七年级·河南新乡·阶段练习）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为，由此可推算图2中计算所得的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答案．本题主要考查的是有理数的加法与阅读理解型，属于基础题型．理解题意是解题的关键． 【解答】解：由题意得：， 故选：C． 12.（2023-2024七年级·吉林·期末）比大8的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法运算，计算即可求解． 【解答】解：比大8的数是：， 故答案为：． 13.（2023-2024七年级上·山东德州·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值的定义，解题的关键是掌握有理数的加法和绝对值的定义．先化简绝对值，再根据有理数的加法法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 14.（2022-2023七年级上·湖南耒阳·期末）已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义及有理数的加减运算法则即可求解． 【解答】解：∵ ， ∴， ∵，， ∴， 则：， 故答案为：． 【点评】本题考查了绝对值的意义及有理数的加减，熟练掌握绝对值的意义及有理数的加减运算法则是解题的关键． 15.（2023-2024七年级上·山东枣庄·阶段练习）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】由，可得，即可求解． 【解答】解：因为，， ， 所以， 解得：， ， 故答案：． 【点评】本题考查了绝对值非负性的应用，有理数加减运算，理解非负性是解题的关键． 16.（2023-2024七年级上·辽宁大连·阶段练习）若，则 【答案】5 【分析】根据绝对值的非负性分别求出a、b的值，最后代入求值即可． 【解答】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：5． 【点评】本题考查绝对值的非负性，理解绝对值的非负性是关键． 17.（2022-2023七年级上·湖南长沙明德教育集团·期末）数轴上，点B在点A的右边，已知点A表示的数是，且．那么点B表示的数是 ． 【答案】2022 【分析】根据数轴表示数的意义，在点A的右边，到点A距离为2023的点所表示的数为． 【解答】解：，故答案为：2022． 【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，在数轴表示的数右边总比左边的大． 18.（2023-2024七年级上·河北邢台·阶段练习）已知一个有理数在与之间． （1）写出一个符合条件的负整数： ； （2）所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，整数的概念，有理数的加法运算． （1）根据，在之间任意写出一个负整数即可； （2）在与之间找出所有的整数，然后计算它们的和即可． 【解答】解：（1）， 与之间的负整数有：（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）； （2）在与之间的整数有：， ， 故答案为：． 19.（2023-2024七年级上·四川成都·阶段练习）a、b、c三个数的位置如图所示：则 0， 0(填或) 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置得到，则，再根据有理数加法计算法则求解即可． 【解答】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：①，②． 【点评】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法计算，正确根据题意得到以及a、b、c的符号是解题的关键． 20.（2022-2023七年级上·广东茂名·阶段练习）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可。 【解答】（1）解： （2）解： 【点评】本题考查的是有理数的加法运算，掌握“有理数的加法运算法则”是解本题的关键． 21.（2023-2024七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题 (1)； (2)； 【答案】(1)130 (2) 【分析】此题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． （1）（2）根据有理数的加法运算法则计算即可； 【解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 22.（2023-2024七年级上·河南新乡·阶段练习）（1）绝对值大于4小于8的所有整数？ （2）绝对值小于等于3的所有整数？这些整数之和等于多少? 【答案】（1），，；（2），，，；． 【分析】本题考查了绝对值的性质和有理数的大小加法，根据绝对值的性质求出所有符合条件的整数即可，熟知绝对值的性质是解题的关键． 【解答】解：（1）绝对值大于4小于8的所有整数有：，，； （2）绝对值小于等于3的所有整数有：，，，， ． 【题型3】 运用有理数加法运算律进行（简便）运算 23.（2023-2024七年级上·山西吕梁·期中）下列变形中正确使用加法交换律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据加法运算律逐一判断即可． 【解答】解：，利用的加括号法则，故选项A不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，利用的是加法的交换律，故选项C符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 24.（2022-2023七年级上·浙江·阶段练习）的原理是（ ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律与结合律 【答案】A 【分析】根据题意，该式为省略括号的和的形式，则依据是加法交换律． 【解答】解：根据题意，原等式左边可以看成省略括号的和的形式，根据加法交换律，可得 故选：A 【点评】本题考查了有理数加法运算和加法交换律，熟练掌握相关运算法则和运算律是解答关键． 25.（2023-2024七年级·江西南昌·期中）计算时，运用了加法（   ） A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律与结合律 【答案】D 【分析】计算，先运用加法交换律把6和10的位置-4和-8与交换，然后根据加法结合律把正数和负数分别结合在一起． 【解答】解：0 =（加法交换律） = （加法结合律） 故选：D． 【点评】本题是考查加法交换律与结合律的应用，属于基础知识，要掌握． 26.（2023-2024七年级上·陕西商洛·阶段练习）计算应用了（   ） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．加法交换律 D．加法交换律和结合律 【答案】D 【分析】根据加法的运算律求解可得． 【解答】解：计算是应用了加法的交换律和结合律， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是熟练掌握加法运算的运算律． 27.（2023-2024七年级上·全国·课后作业）下列变形中，运用运算律正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用有理数的运算律逐一判断即可． 【解答】解：A、，则A选项错误，故A选项不符合题意； B、，则B选项错误，故B选项不符合题意； C、，则C选项错误，故C选项不符合题意； D、，则D选项正确，故D选项符合题意， 故选D． 【点评】本题考查了有理数的运算律，熟练掌握其运算律是解题的关键． 28.（2023-2024七年级·广东中山·期中）下列变形，运用加法运算律正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数加法的交换律与结合律逐项判断即可得． 【解答】解：A．，则此项错误，不符合题意； B．，则此项正确，符合题意； C．，则此项错误，不符合题意； D．，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握有理数加法的交换律与结合律是解题关键． 29.（2023-2024七年级上·四川宜宾·阶段练习）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加法交换律逐项判断即可． 【解答】A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查有理数的加法运算律．注意在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动． 30.（2023-2024七年级上·全国·课后作业）（1）加法交换律： ． 例： ； （2）加法结合律： ． 例：[ + ]． 【答案】 【分析】由有理数的加法交换律即可以得解； 【解答】解：（1）； ． 故答案为：． （2）； ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键． 31.（2023-2024七年级上·安徽合肥·阶段练习）若m、n为相反数，则 为 ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义得到，再根据加法运算律进行运算即可求解． 【解答】解：因为m、n为相反数， 所以， 所以． 故答案为： 【点评】本题考查了相反数的意义，几个有理数的加法运算，如果两个数互为相反数，则这两个数相加得0，熟知相反数的意义是解题关键． 32.（2023-2024七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】原式变形后，计算即可得到结果． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 33.（2023-2024七年级·全国·课堂例题） 计算：． 【答案】 【分析】根据有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法的交换律与结合律是解题关键． 34.（2022-2023七年级上·河南周口·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2)10 【分析】（1）根据有理数的加法法则，从左到右依次进行计算即可； （2）利用加法结合律进行简算． 【解答】（1）原式； （2）原式． 【点评】本题考查有理数的加法．熟练掌握有理数的加法法则：“同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值大的符号，再用大绝对值减去小绝对值．”是解题的关键． 35.（2023-2024七年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据有理数加法交换律和结合律计算即可； 【解答】（1）解： （2）解： 【点评】本题考查有理数的加法运算，掌握运算法则是解题的关键，运用交换律和结合律可简化计算． 36.（2023-2024七年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理数加法运算法则计算即可； （2）根据有理数加法交换律和结合律计算即可； （3）根据有理数加法交换律和结合律计算即可． 【解答】（1）解： （2）解： （3）解： 【点评】本题考查有理数的加法运算，掌握运算法则是解题的关键，运用交换律和结合律可简化计算． 37.（2023-2024七年级·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1) (2)，过程见详解。 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【解答】（1）解：可以如下计算： 原式， 故答案为： （2）解： 38.（2023-2024七年级·四川成都·阶段练习） (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【解答】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【题型4】 有理数加法的应用 39.（2023-2024七年级上·四川南充·阶段练习）在数轴上点表示，从出发，沿数轴移动个单位长度到达点，则点表示的数的等于（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，以及有理数的加法法则，解题的关键是注意分两种情况讨论． 【解答】解：分两种情况： ①点沿数轴向右移动时，点表示的数是：； ②点沿数轴向左移动时，点表示的数是：； 综上所述，点表示的数是1或． 故选：A． 40.（2022-2023七年级上·广东中山·期中）已知a，b为有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，把a，﹣b，a＋b，a﹣b按从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A．a＜a﹣b＜﹣b＜a＋b B．a﹣b＜a＋b＜﹣b＜a C．a﹣b＜a＜﹣b＜a＋b D．a﹣b＜﹣b＜a＜a＋b 【答案】D 【分析】根据数轴可以得到a＜0＜b，且|a|＜|b|，设a＝﹣1，b＝3，分别计算后，进行比较即可得到答案． 【解答】解：根据数轴可以得到a＜0＜b，且|a|＜|b|，设a＝﹣1，b＝3， 则a﹣b＝﹣1﹣3＝﹣4，﹣b＝﹣3，a+b＝﹣1+3＝2， ∴a﹣b＜﹣b＜a＜a+b， 故选：D． 【点评】此题考查了数轴、有理数加法、相反数等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 41.（2023-2024七年级上·河南周口·阶段练习）某支付平台主要提供支付及理财服务，通过该平台购物、生活缴费、金融理财等可以获得相应的积分，积分可以兑换礼品或获得优惠权益． 王先生三天内积内的变动情况为：，，，，，，，，，，． 则这三天后王先生的积分增加了（ ） A．11分 B．14分 C．20分 D．83分 【答案】A 【分析】本题考查有理数加法的实际应用，将所有数据相加，即可得出结果． 【解答】解：； 故选A． 42.（2023-2024七年级上·四川南充·阶段练习）如果，那么下列式子成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法法则和绝对值的意义，根据有理数加法法则和绝对值的意义逐项排除即可，熟练掌握有理数加法法则和绝对值的意义是解题的关键． 【解答】解：、，，则，不成立，不符合题意； 、，，则，成立，符合题意； 、，，则，不成立，不符合题意； 、，，则不成立，不符合题意； 故选：． 43.（2023-2024七年级·贵州贵阳·期末）张烨同学每天从家到学校要走，他的家与学校、超市在一条东西走向的大街上，且张烨家在学校和超市的正中间．若把张烨家、学校、超市分别看成一个点，大街看成一条直线．一天早上，张烨从家出发，先去超市买笔记本，再到学校，他一共走的路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数加法运算的实际应用，根据题意列出算式求解即可． 【解答】根据题意得，． ∴他一共走的路程为． 故选：C． 44.（2023-2024七年级·山东青岛·期中）如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中，，，分别表示一个数，则的值是（ ） A． B．1 C．或3 D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法，根据题意利用有理数的加法法则进行计算即可．掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【解答】解：， 所以内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为， 所以， 所以， 故或2， 所以或3． 故选：． 45.（2022-2023七年级上·河南周口·阶段练习）如图，小明设计了一个计算程序，并按此程序进行了计算，若开始输入的数为−7，则最后输出的数为 ． 【答案】 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：依题意，输出结果为：， 故答案为： 【点评】本题考查有理数的加法，掌握有理数的加法法则和加法运算律是解题的关键． 46.（2023-2024七年级上·新疆伊犁·阶段练习）一种零件的长度在图纸上标出为（单位：）表示这种零件的长度应是，加工要求最大不超过 ，最小不小于 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算．熟练掌握正负数的意义，有理数的加减运算是解题的关键． 根据最大不超过，最小不小于，计算求解，然后作答即可． 【解答】解：由题意知，， 故答案为：． 47.（2023-2024七年级·全国·竞赛）希希、望望、贝贝三个人在火车上斗地主，地主赢一局积2分，输一局积负2分，农民赢一局积1分，输一局积负1分．10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为 ．（提示：地主赢则两个农民都输；农民赢则两个农民都赢，地主输．） 【答案】分 【分析】本题考查数的运算，计算出每一局的积分和，从而求得10局积分总和． 【解答】解：由题意， 每一局地主赢则两个农民都输，此时三人得分总和为分； 每一局农民赢则两个农民都赢，地主输，此时三人得分总和为分； ∴10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为0分， 故答案为：0． 48.（2023-2024七年级·北京·期中）德胜中学在劳动节中组织学生进行农作物种植实践活动．已知某种农作物种植完成共需A、B、C、D、E、F、G七个步骤，种植要求如下： ①步骤C、D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B、D都完成后进行，步骤F须在步骤C、D都完成后进行； ②一个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤； ③各个步骤所需时间如下表所示： 步骤 A B C D E F G 所需时间t分钟 10 10 8 10 8 11 4 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此种农作物种植，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此种农作物种植，则最少需要 分钟． 【答案】 61 31 【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据种植要求得出种植步骤是解题的关键． 将所有步骤需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做步骤A，乙学生同时做步骤B；然后甲学生做步骤D，乙学生同时做步骤C，乙学生步骤C完成后接着做步骤G；最后甲学生做步骤F，乙学生同时做步骤E，然后可得答案． 【解答】解：由题意，得：(分钟)， 即：一名学生单独完成需要分钟， 假设这两名学生为甲、乙， ∵步骤C，D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B，D都完成后进行，且步骤A，B都需要10分钟完成， ∴甲学生做步骤A，乙学生同时做步骤B，需要10分钟，然后甲学生做步骤D，乙学生同时做步骤C，乙学生步骤C完成后接着做步骤G，需要12分钟，但此时甲同学后面多两分钟剩余，最后甲学生做步骤F，乙学生同时做步骤E，还需要9分钟(减去前面剩余2分钟)， 如下图所示： ∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要(分钟)， 故答案为：61，31． 49.（2023-2024七年级·辽宁阜新·期末）把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，解决此题的关键利用中心数求幻和，再由幻和与已知数求得、，最后是有理数的加法．根据三阶幻方的特点，三阶幻方的中心数，可得三阶幻方的和，根据三阶幻方的和，可得、的值，根据有理数的减法，可得答案． 【解答】解：根据幻方的性质， 则， 所以， 而， 则， 故， 故答案为：． 50.（2023-2024七年级·全国·课后作业）【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）． 【规律总结】观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是 ； 若图3是一个“幻方”，则 ． 【答案】 每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等 0 【分析】计算每横行、每竖行、每条对角线上的三数和，便可回答结果；根据题意确定出“幻方”需要的条件，即可确定出b的值． 【解答】解：观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等； 因为，所以，所以． 故答案为：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等，0 【点睛】此题考查了有理数的加法，弄清题意是解本题的关键． 51.（2023-2024七年级·江苏无锡·期中）中国古代数学书《数术拾遗》是最早记载有关幻方的文字．如图是一个简单的幻方模型，将分别填入图中的圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等，若已经把、这两个数填入了圆圈，则的值为 ． 【答案】2 【分析】先设d左边的圆圈内数字为e，另一个圆圈内数字为f，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可先求出b，再根据，求出d和e，最后求出a和c，即可求出的值． 【解答】解：设d左边的圆圈内数字为e，另一个圆圈内数字为f， 根据题意可知，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∵已填、，而且， ∴e、d只能从中选， ∴或， 当时，符合题意； 当时，不符合题意，舍去； ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握． 52.（2023-2024七年级·浙江绍兴·阶段练习）已知，，，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，计算a+b+c的值. 【答案】-3． 【分析】根据数轴上a、b、c和原点的位置，判断出三个数的取值，然后再代入求解． 【解答】解：由数轴上a、b、c的位置知：c＜b＜0， a＞0； 又∵，，， ∴a=4，b= -2，c= -5； 故a+b+c=4-2-5= -3． 故答案为：-3． 【点评】本题考查有理数的加法运算，数轴是基础知识，比较简单．注意要会根据数在数轴上的位置判断其符号． 53.（2023-2024七年级·全国·假期作业）一个实验室里有10个柜子．分别用10把不同的锁锁着，但10把钥匙很相像，管理员又忘了钥匙编号（1把钥匙只能开1把锁，不能混用）．从最坏的情况考虑，至多要试开几次才能把10把锁都打开？ 【答案】55 【分析】本题考查有理数加法的实际应用，最多试几次，就是要从最坏的情况来考虑，开第一把锁，从最坏的情况考虑，试了9次还没成功，第10次一定能打开这把锁，要开10把不同的锁的尝试的次数相加即可． 【解答】解：第1把锁最多试开10次一定能打开，第2把锁最多试开9次一定能打开……第10把锁只要试开1次就能打开．所以只需试开（次）． 答：至多要试开55次才能把10把锁都打开． 54.（2023-2024七年级上·陕西咸阳·阶段练习）某商场9月24日销售衬衫100件，下表是该商场9月25日至9月30日六天的销售变化情况（注：正号表示销售量比前一天上升，负号表示销售量比前一天下降）： 日期 9月25日 9月26日 9月27日 9月28日 9月29日 9月30日 销售量/件 (1)这六天中哪一天销售衬衫的数量最多？哪一天最少？ (2)若每件衬衫的价格是80元，该商场这六天销售衬衫的总收入是多少元？ 【答案】(1)这六天中9月27日销售衬衫的数量最多，9月26日销售衬衫的数量最少． (2)该商场这六天销售衬衫的总收入是56480元． 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算法则，弄清有理数的加减混合运算的实质就是加法运算是解本题关键． （1）计算出每天的销售衬衫的数量，通过比较，就可以得出结果； （2）计算出6天的销售衬衫的总数量，然后与单价相乘，即可得出销售衬衫的总收入． 【解答】（1）解：9月25日：（件），9月26日：（件）， 9月27日：（件），9月28日：（件）， 9月29日：（件），9月30日：（件）， 答：这六天中9月27日销售衬衫的数量最多，9月26日销售衬衫的数量最少． （2） （元）， 答：该商场这六天销售衬衫的总收入是56480元． 【题型5】 有理数加法中的有关规律问题和新定义问题 55.（2023-2024七年级·山东日照·阶段练习）一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位…，依此规律跳下去，当它跳第2000次落下时，落点处位于O点的（   ） A．右侧500个单位 B．左侧500个单位 C．右侧1000个单位 D．左侧1000个单位 【答案】D 【分析】设从点O向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可． 【解答】解：设从点O向右为正，向左为负， 由题意得最后的位置标示的数即为：， 观察可以发现，，，， ∴， ∴此时跳蚤在原点左侧1000个单位， 故选D． 【点评】此题主要考查有理数加法在实际生活中的应用，解答本题的关键是会用正负数来表示一对具有相反意义的量．同时在计算的过程中，能正确找到规律． 56.（2023-2024七年级上·河南安阳·阶段练习）一电子蟋蟀落在数轴上的点处，第一步从向左跳一个单位到，第二步从向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，……，按以上规律跳了2024步后，电子蟋蟀落在数轴上的点表示的数是0，则点表示的数是（   ） A．0 B．1012 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意写出数字并总结出变化规律，然后计算即可得到答案． 【解答】解：根据题意可知： …… 当时， ， ∴，故选：C． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的加法，掌握相关知识，找到数字的变化规律，同时注意解题中需注意的相关事项是本题的解题关键． 57.（2023-2024七年级·江西上饶·期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 AM=(i，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( ) A．(44，81) B．(44，82) C．(45，83) D．(45，84) 【答案】D 【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可求解； 【解答】设2020在第n组，组与组之间的数字个数规律可以表示为：2n-1 则1+3+5+7++(2n-1)=×2n×n=， 当n=44时， ， 当n=45时，， ∴ 2020在第45组，且2020-1936=84，即2020为第45组的第84个数； 故选：D． 【点评】本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，善用联想探究数字规律是解决此类问题的常用方法. 58.（2023-2024七年级·全国·专题练习）小明同学在上楼梯时发现，若只有一个台阶时，有一种走法；若有两个台阶时，可以一阶一阶地上，或者一步上两个台阶，共有2种走法；如果他一步只能上一个或者两个台阶，根据上述规律，有三个台阶时，他有3种走法，那么有四个台阶时，共有走法（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】C 【分析】根据题意可知：当有四个台阶时，可分情况讨论：①逐级上，那么有一种走法；②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有共三种走法；③一步走两个台阶，只有一种走法；所以可求得有五种走法．注意分类讨论思想的应用． 【解答】当有四个台阶时，可分情况讨论： ①逐级上，那么有一种走法； ②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有： 　1、1、2；1、2、1；2、1、1； 共三种走法； ③一步走两个台阶，只有一种走法：2、2； 综上可知：共5种走法． 故选C． 【点评】本题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的条件，列举出可能走的方法解答． 59.（2023-2024七年级·山东青岛·期中）定义一种运算，设表示不超过x的最大整数，例如 ，据此规定计算的值为(   ) A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加法计算，根据新定义分别求出，再根据有理数的加法计算法则求解即可． 【解答】解：由题意得，， ∴， 故选A． 60.（2023-2024七年级·浙江台州·阶段练习）观察下面的几个算式： 1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3； 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4；． 根据上面几道题的规律，计算下面的题： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的值为 【答案】81 【分析】先找题上几个算式的规律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加数最中间是2，则答案是2×2； 1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加数最中间是3，则答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加数最中间是4，则答案是4×4；,前面加数最中间是5，则答案是5×5；由此推出规律计算即可. 【解答】先找题上几个算式的规律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加数最中间是2，则答案是2×2； 1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加数最中间是3，则答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加数最中间是4，则答案是4×4；,前面加数最中间是5，则答案是5×5；则1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，最中间加数是9，则答案是9×9=81，故答案为81. 【点评】本题主要是对有理数规律问题的考查，准确找到规律并计算是解决本题的关键. 61.（2023-2024七年级上·福建南平·阶段练习）对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①； ②； ③若，则； ④该运算满足交换律． 【答案】②③ 【分析】根据新定义逐项进行分析即可． 【解答】解：①∵， ∴， 故①错误； ∵，； ∴， 故②正确； ∵，，， ∴； 故③正确； ，， 只有当时，， ∴该运算满足交换律不成立． 故④错误， 故答案为：②③ 【点评】此题考查了新定义运算，读懂题意是解题的关键． 62.（2023-2024七年级·甘肃定西·阶段练习）定义一种新运算：，如：，则 ． 【答案】 【分析】先根据新定义求出，再计算出的结果即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数的加法计算，正确理解所给的新定义是解题的关键． 63.（2022-2023七年级上·河南南阳·期中）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了一道例题，计算：．计算思路为：从1开始，将相邻两个加数组合在一起作为一组；其和为，共有1010组，所以结果为．根据这个思路，解答下面的问题： (1)计算：①______________． ②_____________． (2)蚂蚁在数轴的原点0处，第一次向右爬行2个单位，第二次向右爬行4个单位，第三次向左爬行6个单位，第四次向左爬行8个单位，第五次向右爬行10个单位，第六次向右爬行12个单位，第七次向左爬行14个单位，第八次向左爬行16个单位…，按照这个规律，第1001次爬行后蚂蚁在数轴的什么位置？ 【答案】(1)①1010    ② (2) 【分析】（1）①根据每两个数为一组、其和为1，共1010组，据此可得； ②由每两个数为一组、其和为，共505组，即可求解； （2）根据题意列出算式：，每四个数为一组、其和为，共250组，最后一个数单独为一组，即可进行求解． 【解答】（1）解：①， ②， 故答案为：1010，． （2）解： ． 【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据题意，将加数进行合理分组，从中找到和为固定常数的规律． 64.（2023-2024七年级·上海·假期作业）定义一种新运算“”满足：，，，求． 【答案】 【分析】根据新的运算，从“”前面的数开始进行连续自然相加，“”后面的数连续相加的个数，利用规律即可求解． 【解答】由，，，可得： ． 【点评】此题考查定义新运算，解此题的关键是观察规律进行运算． 65.（2023-2024七年级·湖南长沙·期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算． 下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；；；；． (1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ． (2)计算： ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可） 【答案】(1)同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 (2) (3)加法交换律适用，加法结合律不适用，例子见解析 【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出※（宏）运算的运算法则； （2）根据（1）中的结论可以解答本题，注意运算顺序； （3）根据（1）中的结论分别采用加法交换律和结合律计算可以解答本题． 【解答】（1）解：由题意可得， 归纳※（宏运算的运算法则：同号两数进行※（宏运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行※（宏运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． （2）解：， ， ， 故答案为：； （3）解：，． 加法交换律适用； ， ， 而， 加法结合律不适用． 【点评】本题考查有理数的加法运算，解答本题的关键是明确有理数的加法运算的计算方法． 【中考真题提前练】 1.（2023·四川遂宁·中考真题）已知算式□的值为，则“□”内应填入的运算符号为（   ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】A 【分析】根据相反数相加为0判断即可． 【解答】解：∵， ∴“□”内应填入的运算符号为＋， 故选：A． 【点评】题目主要考查有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 2.（2022·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C．5 D．1 【答案】A 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 【解答】解：． 故选A． 【点评】本题考查了有理数的加法法则，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 3.（2022·辽宁沈阳·中考真题）计算的结果是（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据有理数的加法法则求解即可． 【解答】解： ， 故选：A 【点评】本题考查有理数的加法，属于基础题，掌握加法法则是关键． 4.（2022·浙江温州·中考真题）计算的结果是（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 【解答】解： =6 故选：A． 5.（2024·吉林长春·中考真题）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键． 根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答． 【解答】解：． 故选D． 6.（2023·浙江温州·中考真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（   ）    A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解． 【解答】解：由数轴可知点A表示的数是，所以比大3的数是； 故选D． 【点评】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键． 7.（2024·四川宜宾·中考真题）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（    ） A．8 B．18 C．28 D．32 【答案】C 【分析】本题考查新定义，解题的关键是正确读懂新定义．根据新定义逐个判断即可得到答案． 【解答】解∶∵，， ∴8不是完美数，故选项A不符合题意； ∵，， ∴18不是完美数，故选项B不符合题意； ∵，， ∴28是完美数，故选项C符合题意； ∵，， ∴32不是完美数，故选项D不符合题意； 故选：C 8.（2022•湖南株洲•中考真题）计算：3+（﹣2）＝ ． 【答案】1 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 【解答】解：3+（﹣2）＝+（3﹣2）＝1． 故答案为：1 【点评】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握法则是解答本题的关键． 9.（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【解答】解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 10.（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 【答案】 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【解答】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$