4.5.3函数模型的应用（一）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章指数函数与对数函数 4.5.3函数模型的应用 池州一中王真 温故知新 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同 的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题， 该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 1、常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) (4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) (5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 常用 函数 模型 (6)分段函数模型 2、建立函数模型解决问题的基本过程 典例解析 例3、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变 化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在 1978 年，英国 经济学家马尔萨斯(T.R.Malthas，1766—1834)就提出了自然状态下的 人口增长模型y=y e ，其中t表示经过的时间，y 表示t=0时的人口数， rt 0 0 r表示人口的年平均增长率． （1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末 的人口总数分别为55 196万和67207万，根据这些数据，用马尔萨 斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模 型. 例3自然状态下的人口增长模型y=y e rt，其中t表示经过的时间，y0表 0 示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率． (1) 我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万 和67 207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型 建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型. 分析: 根据模型公式, 关键要求y 和年平均增长率r. 0 解： (1) 由题意知y =55 196，设1950~1959年期间我 0 国人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长 模型，有 由计算工具得 因此我国在1950~1959年期间的人口增长模型为 例3 自然状态下的人口增长模型 (2) 利用(1)中的模型计算1951~1958年各年末的人口 总数，查阅国家统计局网站公布的我国1951~1958年 间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人 口数据是否相符. 解：(2) 分别取t=1，2，···，8，由y=55196e0.021876t 可得我国在1951~1958年间的各年末人口总数；查 阅国家统计局网站，得到我国1951~1958年各年末 的实际人口总数，如下表所示. 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 算得人口 总数/万 56 417 57 665 58 940 60 243 61 576 62 938 64 330 65 753 实际人数 总数／万 56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65 994 根据1950~1959年我国人口总数的实际数据 画出散点图，并画出函数y=55196e0.021876t (t∈[0， 9]的图象. y 70000 . . . 65000 60000 55000 50000 . . . . . . . t O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由上表和上图可以看出，所得模型与1950~1959 年的实际人口数据基本吻合. 例3 自然状态下的人口增长模型 (3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国 的人口总数达到13亿？ 解： (3) 将题意知y=130 000，代入： 由计算工具得： 所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那 么大约在1950年后的第40年 (即1990年) ，我国 的人口就已达到13亿. 思考？事实上,我国 1990年的人口数为 11.43亿 , 直到 2005年才突破13 亿 .对由函数模型所得的结 果与实际情况不符,你有何看法 ？ 因为人口基数较大 ,人口增长过快 ,与我国 经济发展水平产生了较大矛盾 ， 所以我国从20 世纪70年代逐步实施了计划生育政策 .因此这一 阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增 长模型的条件 ，自然就出现了依模型得到的结 果与实际不符的情况 ． 例4 2010年 ,考古学家对良渚古城水利系统中一条水 坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳 14年代学检测 , 检测出碳14的残留量约为初始量的 55.2％ , 能否推断此水坝大概是什么年代建成的？ 分析:∵死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减 率衰减 ， 属于指数衰减 ， ∴所以应选择函数y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)建立数学模 型． 解：设样本中碳14的初始量为k，衰减率为 p(0<p<1)，经过x年后，残余量为y．根据问题 的实际意义，可选择如下模型： y=k(1-p)x (k∈R 且 k≠0; 0<p<1； x≥0) ． 由碳14的半衰期为 5730年, 得 于是 由样本中碳14 的残余量约为初始量的55.2％可知 ，即ꢀꢀꢀꢀꢀꢀ 解得 ．由计算工具得x≈4912． ，所以ꢀ 因为2010年之前的4912年是公元前2903年，所以推断此水坝大概是 公元前2903年建成的． 归纳总结 [规律方法]已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有 参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数， 再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值. 当堂达标 1、一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所 示，那么图象所对应的函数模型是(ꢀꢀ) A A．分段函数ꢀ B．二次函数 C．指数函数 D．对数函数 由图可知，该图象所对应的函数模型是分段 函数模型． 2、若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(ꢀAꢀ) 解：由题意可知 3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼 的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中 发现v与 成正比,且当Q=900时,v=1. (1)求出v关于Q的函数解析式; (2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数; (3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变 化? 故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时的耗氧量为2 700个单位. (3)设鲑鱼耗氧量为Q ,Q 时,游速分别为v ,v , 1 2 1 2 故鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍. 解函数的应用问题，一般地可按以下四步 进行： 第一步：阅读理解，认真审题 第二步：引进数学符号，建立数学模型 第三步：利用数学的方法将得到的数学问题 (即数学模型)予以解答，求得结果 第四步：再转移成具体问题作出解答 使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下： 化 归 函数模型 推 实际问题 理 运 算 解释说明 函数模 型的解 实际问 题的解 课后作业 课本P150 T1&T3 $$