安徽省六安市独山中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

独山中学2024-2025学年度第一学期高二开学考试数学试卷 一、单选题（每题5分计40分） 1．已知复数（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，若，则（   ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 3．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知正三棱柱的体积为，且底面边长与高相等，则该正三棱柱一个侧面的对角线长为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（    ） A． B． C．8 D．10 6．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 7．在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，一同学利用所学习的解三角形知识想测量河对岸的塔高时，他选取了塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.，，，在点C处塔顶A的仰角为60°，则塔高为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，多选、选错不得分，部分对答部分分共18分） 9．若复数z1、z2在复平面内的对应点分别在一、二象限，则z1+z2在复平面内的对应点可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为 11．对于，有如下判断，其中正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为等腰或直角三角形 C．若，则 D．若，则 三、填空题（每题5分计15分） 12．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是个底角为的等腰梯形，已知直观图中，，，则该平面图形的面积为 ． 13．若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中D在边上运动），则向量的模的最小值为 . 14．已知△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若，，，则 ． 四、解答题（共77分） 15．（第一问4分，第二问5分，第三问4分共13分） 已知复数，，为虚数单位． (1)求 (2)若，求的共轭复数； (3)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 16．（每问5分共15分） 已知，，与的夹角为45°. (1)求在方向上的投影向量； (2)求的值； (3)若向量与平行且方向相同，求实数. 17．（第一问7分，第二问8分共15分） 已知在长方体中，，，，为棱的中点.    (1)求三棱锥的表面积； (2)求四棱锥的体积. 18．（第一问8分，第二问9分共17分） 记的内角的对边分别为，已知． (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值． 19．（第一问8分，第二问9分共17分） 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.    (1)求石凳的体积与原正四面体的体积之比； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】根据复数除法运算法则计算即可. 【详解】. 故选：A. 2．D 【分析】因为向量，所以，代入坐标运算即可． 【详解】因为向量，，所以， 因为，所以，可得， 故选：D． 3．A 【分析】运用平面向量的三角形法则和数乘向量，直接求解． 【详解】在中，， ∴. 故选：A． 4．C 【分析】设该正三棱柱的底面边长为a，由体积求出，即可求出侧面的对角线长. 【详解】设该正三棱柱的底面边长为a，由题可知该正三棱柱的体积，所以， 即该正三棱柱的底面边长为，高为，故一个侧面的对角线长为. 故选：C 5．D 【分析】根据斜二测法判断的形状，并求出各边边长，即可求周长. 【详解】由题设知：原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：D 6．B 【分析】根据正四棱柱的体对角线长等于其外接球直径求出球的半径，即可求得结果. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24， 所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上， 所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即， 所以球的半径为，球的表面积. 故选:B. 7．A 【分析】根据余弦定理可计算出，再利用正弦定理即可得出. 【详解】由题意可得，，， 由余弦定理可得，即 又可得； 利用正弦定理可知，所以. 故选：A 8．A 【分析】在中利用正弦定理求解的值，在中根据即可求解. 【详解】解：由题可知，在中，，，故， 由正弦定理可得：， 又， 解得， 因为在中，所以. 故选：A. 9．AB 【分析】设出复数z1、z2对应点的坐标，求出z1+z2对应点的坐标即可分析得解. 【详解】在复平面内，设复数z1、z2对应点的坐标分别为，则有且， 于是得z1+z2对应点的坐标为，此时恒有，而有值不确定， 即z1+z2在复平面内的对应点必在x轴上方，可能在第一象限，第二象限或者在y轴正半轴上， 所以选项C，D不可能，A，B有可能. 故选：AB 10．CD 【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解 . 【详解】对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误； 对于B中，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误； 对于C中，球的表面积为，所以C正确； 对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积， 球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确. 故选：CD. 11．ABC 【分析】对于A，由正弦定理可得即可判断；对于B，由三角形中的角之间的关系，判断出该三角形的形状，进而判断真假；对于C，由余弦函数的单调性可判断；对于D，举反例判断. 【详解】对于A：在中，若，由正弦定理得，则为等腰三角形，A正确； 对于B，因为，在中，可得或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 对于C，在三角形中，，因为在上单调递减，所以，C正确； 对于D，当为钝角，为锐角时，此时，，D错误； 故选：ABC. 12． 【分析】根据直观图与原平面图形的关系作出原平面图形，求出相应边长后计算面积． 【详解】由直观图可得平面图形如下图所示： 则，， 在题设等腰梯形中，，因此， 所以． 故答案为：． 13． 【分析】由题意可得，当D为BC的中点时，此时向量长度最小，问题得以解决． 【详解】根据题意，在正三角形中，有向线段的长度最小时，应与边垂直，有向线段的长度的最小值为正三角形的高， 即向量的模的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及向量的模，属于基础题． 14． 【分析】△ABC中根据余弦定理求出BC的长度，在△ABD和△ADC中，利用余弦定理建立等式关系求出AD即可. 【详解】在△ABC中，AB=3，AC=1，， 余弦定理可得，即. 在△ADC中，设BD=m ，则 . 余弦定理可得 即…①. 在△ABD中，余弦定理可得. 即: …②， 由①②求解得: 故答案为： 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）由复数的乘法运算，即可得到结果； （2）由复数的除法运算，即可得到结果； （3）由复数的几何意义，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） （2），， ， ． （3）在复平面上对应的点在第四象限， ，解得， 故实数的取值范围为． 16．(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据投影向量求解公式求出答案； （2）平方后求出，得到模长； （3）根据两向量平行得到方程，求出的两个解，检验是否方向相同，得到答案. 【详解】（1）∵，，与的夹角为45°， ∴， ∴在方向上的投影向量为； （2）∵， ∴； （3）∵与平行， ∴ ∴，解得：或， 当时，方向相同 当时，方向相反，故舍去. ∴ 17．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，分别求得各个面的面积，进而得到其表面积； （2）根据题意，利用棱柱和棱锥的体积公式，结合，即可求解. 【详解】（1）解：在长方体中，由，，，为棱的中点， 可得， 可得， 所以三棱锥的表面积为. （2）解：在长方体中，由，，，为棱的中点， 可得， 且 所以. 18．(1)直角三角形 (2) 【分析】（1）利用余弦定理可得，化简可得结论； （2）由（1）可得，进而可得周长为，利用辅助角公式可求最大值. 【详解】（1）由，和余弦定理得， 即，所以．所以是直角三角形． （2）由（1）知是直角三角形，且，可得． 所以周长为， 所以当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为． 19．(1) (2) 【分析】（1）首先得到棱长为的正四面体的体积公式，再根据体积比计算可得； （2）求出石凳的表面积，即可估计出费用. 【详解】（1）因为棱长为的正四面体的体积， 如图补全正四面体，依题意正四面体的棱长为正四面体的， 所以，所以截去部分的体积为，剩下部分的体积为， 所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为.    （2）因为正四面体的棱长为， 所以， 则， 所以， 所以石凳的表面积， 即石凳的表面积约为， 所以粉刷一个石凳约需要元. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$