精品解析：重庆南城巴川学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

2024年春期南城巴川学校高2026届期末测试卷 数学试题 总时长：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据虚部定义即可求解. 【详解】由于，故虚部为. 故选：A 2. 某县教育局为了解本县今年参加大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，则下列表述错误的是（　　） A. 5000名学生是总体 B. 抽取的250名学生的成绩是总体的一个样本 C. 样本量是250名学生的成绩 D. 每一名学生是个体 【答案】CC 【解析】 【分析】根据统计中总体、样本、样本容量、个体的定义逐项判断即可. 【详解】对A，总体指的是5000名参加今年大联考的学生或他们的成绩，所以A正确； 对B，样本指的是抽取的250名学生或他们的成绩，所以B正确； 对C，样本量是250，所以C错误； 对D，个体指的是5000名学生中的每一名学生或其成绩，所以D正确． 故选：C. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用斜二测画法的面积性质即可求解. 【详解】由斜二测画法可知。，又因为， 所以直角的面积为， 根据面积关系，可知原图形的面积为， 故选：A. 4. 已知，表示两条不同直线，表示平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线，线面的位置关系，即可判断选项. 【详解】若，，则，异面或相交，故A错误； 若，，则或相交，故B错误； 若，，则或，故C错误； 若，，则，故D正确. 故选：D 5. 已知圆锥的轴截面为正三角形，该圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由轴截面正三角形可得，进而由圆锥的侧面积数值与其体积数值相等可求半径． 【详解】几何体如图所示： 因为轴截面是正三角形，所以， 圆锥的侧面积等于， 圆锥的体积等于， 由圆锥的侧面积数值与其体积数值相等， 得， 得， 故选：C． 6. 在中，，点为边上一点，且，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，再由向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解. 【详解】由，可得， 因为点为边上一点，且，可得， 所以， 所以. 故选：D. 7. 如图，在正三棱柱中，若，，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，连结、，矩形中利用三角函数的定义，证出，可得．根据面面垂直的性质和线面垂直的判定，在正三棱柱中证出平面，从而得出，即可求解. 【详解】取中点，连接、， 矩形中， ，可得 因此 正三棱柱中，平面平面 平面平面，,平面， 直线平面，平面，可得 ，平面，平面， 平面，因此可得，即与所成角的大小为， 故选：B． 8. 某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（ ） A. 6km B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据锐角三角函数可得，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解． 【详解】设，， 则， 在中，， 在中， 所以当时，，， 所以最大值为． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ） A. 对应的点在复平面的第四象限 B. 是一个纯虚数 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知求得，再由复数代数形式的乘除运算及复数的代数表示法及其几何意义逐一分析四个选项得答案． 【详解】由，得， 对于A，对应的点的坐标为，在复平面的第一象限，A错误； 对于B，，是一个纯虚数，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，故D错误． 故选：BC 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 中边中线长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解A，根据正弦定理即可求解BC，根据向量的模长公式即可求解D. 【详解】因为， 由余弦定理得，，所以，A正确， 由正弦定理得， 所以，，所以B正确，C错误， 设中边中线为,则,故故D正确． 故选：ABD． 11. 在棱长为的正方体中，已知分别为线段，的中点，点满足，，，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为 B. 当时，四棱锥外接球半径为 C. 周长的最小值为 D. 若，则点的轨迹长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先得到，故点在线段上，证明出，结合锥体体积公式求三棱锥体积，判断A；B选项，点为线段的中点，作出辅助线，找到外接球球心，从而得到外接球半径，判断B；C选项，取线段的中点，由对称性知，，数形结合得到，从而得到周长的最小值； D选项，由得到点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆的一部分，由此可求轨迹长度. 【详解】A选项，当时，， 故，即， 故点在线段上， 连接，与相交于点，则为的中点，连接， 因为为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 所以三棱锥的体积， 所以，又， 所以， 故三棱锥的体积为，A正确； B选项，当时，由A选项可知，，点为线段的中点， 连接相交于点，则平面， 设正四棱锥的外接球的球心为，则三点共线， 其中，设，则， 由勾股定理得，即， 解得，B错误； C选项，点在矩形及其内部，取线段的中点， 由对称性知，， ，此时三点共线， 又， ，C正确； D选项，因为 ，又点在矩形及其内部， 点的轨迹为点为球心，半径长为的球面被平面截且在矩形及其内部的图形， 又平面，且， 故 ， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆的一部分， 如图，其中，， 故， 则， 则， 则轨迹长为，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人． 【答案】1800 【解析】 【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解. 【详解】由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人， 所以抽取的比例为 设该校共有名学生，可得， 解得人，即该校共有1800名学生. 故答案为：1800. 13. 如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高__________． 【答案】15米 【解析】 【分析】由题意可得，，在中，由余弦定理可得的大小． 【详解】由题意可得，则， 因为，所以， 在中，，米， 由余弦定理可得， 即， 整理可得， 可得或（舍． 故答案为：15米． 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则__________，若，且，则的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 8 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可得，即可求解，根据向量的模长关系即可求解，由基本不等式即可求解最值. 【详解】由可得，， 即， 即， 由于，则， 化简可得，由于，故， 由于，所以， 故， 故, 即， 化简得， 故，当且仅当时取等号， 故答案为：，8 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求的值. （2）设，向量与的夹角为，求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两向量共线的充要条件坐标表示式计算即得； （2）利用数量积运算律化简等式求出的值，再利用向量夹角的坐标表示式即可求得. 【小问1详解】 由可得，解得，； 【小问2详解】 由可得，，即，解得， 此时，，，， 则，因，故. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是与的交点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明如下： ∵是与的交点，∴是的中点， 又是棱的中点，∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质可得是的中点，从而可得，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正方体的性质可得平面， 所以. 17. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据正弦定理，结合三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得：． ，可得：, ，且是锐角三角形， ，可得：． 【小问2详解】 ,，． ，,． ． . 18. 如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面AECD． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰梯形的特征利用面面垂直的判定定理即可得出证明； （2）利用线面垂直的性质定理可得即为二面角的平面角，可得其大小为； （3）假设条件成立，然后根据线面平行的性质以及已知条件，求出点的具体位置，即可求解. 【小问1详解】 在等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点， 所以可得四边形为菱形，可得， 又，所以可得； 因为，平面； 所以平面， 又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 由平面AECD，平面AECD，可得； 易知，，所以； 又因为，平面； 所以平面， 又平面，所以 又，因此可得即为二面角的平面角， 在直角三角形中，，可得， 即. 【小问3详解】 假设线段上是否存在点P，使得平面， 过点作交于，连接，如下图所示： 所以，即可得四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形，故，可得点为的中点； 故在线段上存在点P，使得平面，且； 易知为正三角形，且，所以可得， 由勾股定理可得， 所以， 因此. 19. 我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，． （1）若，求出，； （2）如图，若，以为边作正方形． （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求的范围． 【答案】（1），， （2）（ⅰ）存在，，（ⅱ）的范围为. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，结合复数乘法的几何意义求，，由此可得结论； （2）设，， （ⅰ）先求，再求，由条件列方程求，由此可得结论； （ⅱ）求，化简关系可得，由此可求范围. 【小问1详解】 连接，因为四边形，， 所以，又， 所以，即， 因为， 所以， ， 所以，， 【小问2详解】 设，， 则， 设对应的复数为，则， （ⅰ）设对应的复数为， ， 设对应的复数为， 所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以， 所以， （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以， 所以，又， 所以， 所以的范围为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春期南城巴川学校高2026届期末测试卷 数学试题 总时长：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 某县教育局为了解本县今年参加大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，则下列表述错误的是（　　） A. 5000名学生总体 B. 抽取的250名学生的成绩是总体的一个样本 C. 样本量是250名学生的成绩 D. 每一名学生是个体 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4 已知，表示两条不同直线，表示平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知圆锥的轴截面为正三角形，该圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，则该圆锥的底面半径为（ ） A B. C. D. 6. 在中，，点为边上一点，且，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 如图，在正三棱柱中，若，，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（ ） A. 6km B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ） A. 对应的点在复平面的第四象限 B. 是一个纯虚数 C. D. 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 中边中线长为 11. 在棱长为的正方体中，已知分别为线段，的中点，点满足，，，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为 B. 当时，四棱锥外接球半径为 C. 周长的最小值为 D. 若，则点的轨迹长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人． 13. 如图，为了测量河对岸塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高__________． 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则__________，若，且，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求的值. （2）设，向量与的夹角为，求的大小. 16. 如图，在棱长为2正方体中，是棱的中点，是与的交点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 17. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）求的取值范围． 18. 如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面AECD． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由． 19. 我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，． （1）若，求出，； （2）如图，若，以为边作正方形． （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $