精品解析：福建省厦门第一中学2024届高三适应性练习卷数学试题

机密★启用前 准考证号： 姓名： （在此卷上答题无效） 2024年高中毕业班适应性练习卷 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，根据补集和交集的概念可求出结果. 【详解】由得或，则或，则， 又，所以. 故选：A 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用导数讨论其单调性，利用单调性可解不等式，然后可得. 【详解】设，则， 所以在R上单调递增， 所以不等式. 即“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 已知函数的定义域为，数列满足，则“数列为递增数列”是“函数为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用特例法、函数的单调性、数列的单调性结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若数列为递增数列，取，即， 则对任意的恒成立， 所以数列为单调递增数列，但函数在上不单调， 即“数列为递增数列”“函数为增函数”； 若函数在上为增函数，对任意的，则，即， 故数列为递增数列， 即“数列为递增数列”“函数为增函数”. 因此，“数列为递增数列”是“函数为增函数”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ） A. 4 B. 7 C. 16 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式求即可. 【详解】由题意得，，， 所以解下第5个圆环最少需要移动的次数为16次. 故选：C. 5. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中，首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点为椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点，则点处的切线平分外角”.根据此信息回答下列问题：已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长、交于点，分析可知，则为的中点，且，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得的值. 【详解】如下图所示： 延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以，， 又因为为的中点，则. 故选：A. 6. 数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换底公式与累乘法把化为，然后根据为整数，可得，最后由等比数列前项和公式求解． 【详解】解：，， ， 又为整数， 必须是2的次幂，即． 内所有的“幸运数”的和： ， 故选：D． 7. 在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为，乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（ ） A. 中位数一定不变，方差可能变大 B. 中位数可能改变，方差可能变大 C. 中位数一定不变，方差可能变小 D. 中位数可能改变，方差可能变小 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设，表达出两组数据的中位数，根据中位数相同得到或，则合并后的数据中位数是或者，中位数不变，再设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为，根据公式得到合并后平均数为，方差为，，得到结论. 【详解】不妨设， 则的中位数为，的中位数为， 因为，所以或， 则合并后的数据中位数是或者，所以中位数不变. 设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为， 合并后总数为20，平均数为，方差为， 如果均值相同则方差不变，如果均值不同则方差变大. 故选：A. 8. 若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设切点，利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得，结合计算即可求解. 【详解】设，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又该切线过原点，所以， 整理得①，因为曲线只有一条过原点的切线， 所以方程①只有一个解，故，解得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的几何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知可得，由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C; 由不等式的性质可判断D. 【详解】对于A：∵，幂函数在上单调递增， 且，∴，故选项A错误； 对于B：∵，∴函数在上单调递减， 又∵，∴， ∴，即，故B正确； 对于选项C：∵，则，幂函数在上单调递减， 且，∴，∴，故选项C正确； 对于选项D：由选项B可知：，∴， ∵， ∴，∴，故D错误. 故选：BC. 10. 若函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 有且仅有2个极值点 C. 有且仅有1个零点 D. 的一条切线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性定义可判定A，由导数研究函数的极值点可判定B，由函数与方程的关系可判定C，由导数的几何意义可判定D. 【详解】易知函数的定义域为R，又，故A正确； 令，故C正确； 由， 显然时，，即此时单调递增， 又是奇函数，故在R上单调递增，不存在极值点，故B错误； 对于D项，设切点，则， 对于，即函数单调递增，且， 所以， 同理，对于，即函数单调递减，且， 所以， 当时，，此时切线方程为， 当时，，此时切线方程为，故D错误. 故选：AC 11. 已知是函数（且）的三个零点，则的可能取值有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，设可得其为偶函数且在单调递增，从而可得关于对称，即可得到结果. 【详解】，当时，， 设，则，即为偶函数， 当时，，且， 因为，所以, 即函数单调递增，所以关于对称，且在上递减，在上递增，所以，且， 所以， 令，，， 即在上递减，所以 所以. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为锐角，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式、两角差的正切公式求得正确答案. 【详解】由于为锐角，所以， ， 所以. 故答案为： 13. 设函数，对于任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数t的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 分情况讨论不同取值时函数在，上的范围，从而确定的最大值，将对任意实数，，总存在实数，使得不等式成立，转化为恒成立，即可解决． 【详解】因为存在，使得成立， 所以， 因为对于任意的实数a，b， , 所以恒成立， 设的最大值为（b）， 令，二次函数的对称轴为， 当，即a>0时，单调递增， 此时， 当时，（b），当时，（b）， 从而当时，时（b）取最小值，（b）， 当时，在，上单调递减，在，上单调递减， ， 所以当时，. 当时，在，上单调递减，在，上单调递减， ， 所以当时，. 当a＜-8时，单调递减，， 当时，（b），当时，（b）， 从而当a＜-8时，时（b）取最小值，（b）. 综合得.所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质的应用，考查函数的单调性和最值，考查恒成立和存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题． 14. 已知函数，对任意的正实数x都有恒成立，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知对式子进行变形，再利用两个函数互为反函数的性质以及导数，研究函数的单调性以及最值进行求解. 【详解】因为对任意的正实数x都有恒成立， 所以，即对任意的正实数x恒成立， 因为函数与函数互为反函数，且， 所以对任意的正实数x恒成立，即， 令，则， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等比数列满足，，公比. （1）求数列的通项公式； （2）若，试判断：数列有没有最大项?若有，求出第几项为最大项；若没有，请说明理由. 【答案】（1） （2）有，第项为最大项 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接建立与的方程，求出与，从而得出结果； （2）根据（1）得出，再利用数列的单调性即可求出结果. 【小问1详解】 解：由题意知，， 两式联立得，得到或，又，所以， 得到，，所以 【小问2详解】 解：由（1）知，， 由， 解得：，即：，，即， 由，解得， 即当时，，即， 所以，中第项为最大项. 16. 的内角的对边分别为，已知，且的面积. （1）求C； （2）若内一点满足，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用余弦定理和面积公式，化简得到，求得，再由正弦定理和，得到，即可求解； （2）设，分别在和中，求得的表达式，列出方程求得，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意知， 由余弦定理得， 又因为，所以，即， 因为，所以， 又由正弦定理且，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知，，所以，可得，所以， 设，因为，所以， 因为，所以， 在中，，所以， 在中，，所以，即， 所以，即，即， 因为，所以. 17. 如图，在四棱锥中，，，平面ABCD，，M为PC的中点. （1）求证：平面PAD； （2）设点N在平面PAD内，且平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值. 【答案】（1） 取PD的中点E，连接EM，AE，则且， 而，，则，又， 所以，，从而四边形ABME是平行四边形，故. 因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD. （2）. 【解析】 【分析】（1）取PD的中点E，连接EM，AE，易证ABME是平行四边形，则，根据线面平行的判定即可证结论. （2）（法一）利用线面垂直的性质及判定可得面ABME，作交AE于点N，易证面PBD，则，根据相似比求出N的位置，由线面角的定义求线面角的大小；（法二）构建空间直角坐标系，设，根据平面PBD求出参数，进而求、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当N为AE的中点时，面PBD，理由如下： （法一）面ABCD，面ABCD， ，又，，平面PAD， 所以面PAD，而面PAD，则， 又，E是PD的中点，即， 而，面ABME， 所以面ABME，在面ABME中作交AE于点N， 所以，又，面PBD， 所以面PBD，易知：，而，， ，即，而， N为AE的中点时，面PBD. 作于G，则面，是BN与平面ABCD所成角， 因为，， ，则. 即直线BN与平面AD所成角的正弦值为. （法二）易得AP，AB，AD两两垂直，故以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴，建立空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1). 设，则，，. 因为平面PBD， 故，可得. ，又平面的法向量为， 设BN与平面ABCD所成角为，则. 即直线BN与平面ABCD所成角的正弦值为. 18. 已知双曲线()左、右焦点为，其中焦距为，双曲线经过点． （1）求双曲线的方程； （2）过右焦点作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线，其中，垂足为为射线与双曲线右支的交点，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，先求得的表达式，然后利用基本不等式求得最大值. 【小问1详解】 由题意得，，，解得，， 双曲线的方程为：. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，，，则， 当直线斜率存在时，假设直线方程为， 联立双曲线方程得， 则，，， ∵直线与双曲线交于右支，∴， 则， 设射线OP方程为：，联立与双曲线的方程， ∴，，， ∴， ∴ ， 当且仅当时等号成立，最大值为． 综上，的最大值为. 【点睛】 求得双曲线的标准方程，关键是根据已知条件求得，是两个未知数，所以求解需要两个条件.求解圆锥曲线中的最值问题，可先求得需要求最值的式子的表达式，然后根据表达式的结构选取合适的方法来求最值. 19. 对于数列，数列称为数列的差数列或一阶差数列.差数列的差数列，称为的二阶差数列.一般地，的阶差数列的差数列，称为的阶差数列.如果的阶差数列为常数列，而阶差数列不是常数列，那么就称为阶等差数列. （1）已知20，24，26，25，20是一个阶等差数列的前5项.求的值及； （2）证明：二阶等差数列的通项公式为； （3）证明：若数列是阶等差数列，则的通项公式是的次多项式，即（其中（）为常实数） 【答案】（1）， （2）证明：令， 因为是二阶等差数列，所以， 因此， 所以 ，命题得证. （3）证明：先证一个引理：记，是的次多项式， 数学归纳法：当时，是的2次多项式， 假设是的次多项式，对都成立， 由二项式定理，，规定， 将取0，1，2，…，，得，， ，……，， 求和可得 ， 则， 故是的次多项式，引理得证. 回到本题，由（2）可知，2阶等差数列的通项是的2次多项式， 假设阶等差数列的通项公式是的次多项式， 对于阶等差数列，它的差数列是阶等差数列，即， 故， 由引理可知，此为的次多项式，命题得证. 【解析】 【分析】（1）根据定义直接进行求解，得到，并根据二阶差数列的第4项为，求出一阶差数列的第5项为，得到方程，求出； （2）令，根据二阶等差数列的定义得到，再利用累加法求出； （3）数学归纳法证明出为的次多项式，利用引理可证出结论. 【小问1详解】 的一阶差数列为4，2，，；二阶差数列为，，； 三阶差数列为，，为常数列，故为三阶等差数列，即， 二阶差数列的第4项为，故一阶差数列的第5项为，即，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 准考证号： 姓名： （在此卷上答题无效） 2024年高中毕业班适应性练习卷 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的定义域为，数列满足，则“数列为递增数列”是“函数为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ） A. 4 B. 7 C. 16 D. 31 5. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中，首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点为椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点，则点处的切线平分外角”.根据此信息回答下列问题：已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（ ） A. B. C. D. 6. 数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（ ） A. B. C. D. 7. 在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为，乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（ ） A. 中位数一定不变，方差可能变大 B. 中位数可能改变，方差可能变大 C. 中位数一定不变，方差可能变小 D. 中位数可能改变，方差可能变小 8. 若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 有且仅有2个极值点 C. 有且仅有1个零点 D. 的一条切线方程为 11. 已知是函数（且）的三个零点，则的可能取值有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为锐角，，则__________. 13. 设函数，对于任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数t的取值范围是________. 14. 已知函数，对任意的正实数x都有恒成立，则a的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等比数列满足，，公比. （1）求数列的通项公式； （2）若，试判断：数列有没有最大项?若有，求出第几项为最大项；若没有，请说明理由. 16. 的内角的对边分别为，已知，且的面积. （1）求C； （2）若内一点满足，，求． 17. 如图，在四棱锥中，，，平面ABCD，，M为PC的中点. （1）求证：平面PAD； （2）设点N在平面PAD内，且平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值. 18. 已知双曲线()左、右焦点为，其中焦距为，双曲线经过点． （1）求双曲线的方程； （2）过右焦点作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线，其中，垂足为为射线与双曲线右支的交点，求的最大值． 19. 对于数列，数列称为数列的差数列或一阶差数列.差数列的差数列，称为的二阶差数列.一般地，的阶差数列的差数列，称为的阶差数列.如果的阶差数列为常数列，而阶差数列不是常数列，那么就称为阶等差数列. （1）已知20，24，26，25，20是一个阶等差数列的前5项.求的值及； （2）证明：二阶等差数列的通项公式为； （3）证明：若数列是阶等差数列，则的通项公式是的次多项式，即（其中（）为常实数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $