2.1等式性质和不等式性质（第1课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式基本概念、作差比较法及重要不等式，通过身高对比、苹果质量等生活实例导入，衔接初中不等式知识，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生理解不等关系与比较方法。 其亮点在于结合赵爽弦图推导重要不等式，渗透数形结合思想，通过作差法四步骤培养逻辑推理能力，典例融入限速、投资方案等实际情境，强化数学应用。“学海拾贝”系统梳理要点，助力学生提升数学思维与表达能力，为教师提供结构化教学资源。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 (第一课时） 2.1等式性质与不等式性质 学 习 目 标 1 2 复习巩固不等式的基本概念，能准确区分不等关系与不等式；掌握实数大小比较的作差法，熟练运用作差、变形、判号、下结论四步骤比较两个实数或代数式的大小；理解并掌握重要不等式≥2ab(a,b∈R)，明确其结构特征、取等条件及简单应用。 通过生活情境抽象不等关系，经历作差法的推导与应用过程，体会数形结合、转化与化归的数学思想；通过探究重要不等式的推导过程，提升逻辑推理与代数运算能力。 新课引入 生活中处处存在不等关系，等量关系只是特殊情况，不等关系更为普遍。 下面展示三组生活实例，同学们观察、抽象出数学关系： 1. 身高对比：甲同学身高175cm，乙同学身高172cm; 175>172 2. 重量对比：一个苹果质量不低于150g，设苹果质量为xg; x≥150 3. 边长与面积：两个边长分别为a、b的正方形面积之和，与长为a、宽为b的矩形面积2倍存在固定大小关系。 2ab. 如何用数学语言精准刻画生活中的不等关系？任意两个实数如何精准比较大小？两个实数的平方和与乘积之间有怎样的固定不等关系？本节课我们将重点解决这三个问题。 互动探究 互动一：复习回顾，夯实不等式基础概念 1. 提问：初中我们学习过不等式，谁能说说什么是不等式？常见的不等号有哪些？ 文字语言 数学符号 文字语言 大于 >  大于，高于，超过 小于 <  小于，低于，少于 大于或等于 ≥ 至少，不少于，不低于 小于或等于 ≤ 至多，不多于，不超过 即时辨析：判断下列式子是否为不等式：①2x+1 ②3x-2≥0 ③5=2x+3 ④x≠1 互动探究 互动二：探究新知，推导作差法比较大小 1. 铺垫基本事实：对任意两个实数a,b，有且仅有以下三种关系之一成立： a-b>0⇔a>b；a-b=0⇔a=b；a-b<0⇔a<b 2.归纳：基于以上基本事实，得到实数大小比较的核心方法——作差比较法，总结四步解题流程： 作差（构造a-b）→变形（因式分解、配方、通分等）→判号（判断差的正负）→结论（确定大小关系） 3. 小组讨论：变形步骤的核心目的是什么？ 明确：将差式转化为能直接判断正负的式子（完全平方式、因式乘积、常数等）。 互动探究 互动三：深度探究，推导重要不等式 如图是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 赵爽弦图特点 一、 图形外观特点 构图构成：由四个全等的直角三角形，围成一个大正方形，中间围出一个小正方形；明暗配色后整体形似风车，用作第24届北京国际数学家大会会标，象征热情好客。 历史来源：源自我国古代数学家赵爽，是古代经典几何证明图形。 互动探究 互动三：深度探究，推导重要不等式 二、几何等量关系 设直角三角形两条直角边长为a,b（a≠b），斜边长c： 1. 四个直角三角形完全全等，直角边分别相等； 2. 大正方形边长 = 直角三角形斜边，面积； 3. 小正方形边长|a-b|，面积； 4. 面积等量：大正方形面积 = 4个直角三角形面积 + 中间小正方形面积 化简后得到勾股定理：。 互动探究 互动三：深度探究，推导重要不等式 三、不等关系（对应本节课重要不等式） 由小正方形面积≥0，展开得： 取等条件：当且仅当a=b时，中间小正方形面积为0，四个直角三角形拼成矩形，等号成立；若a≠b，则2ab。 互动探究 互动三：深度探究，推导重要不等式 1. 问：我们知道任意实数的平方是非负数，即∀x∈R,≥0，能否利用这个性质推导与2ab的大小关系？ 2.自主推导：作差-2ab，由≥0，可得≥2ab。 3.总结重要不等式： （1）公式：≥2ab(a,b∈R)； （2）取等条件：当且仅当a=b时，等号成立； （3）文字表述：任意两个实数的平方和不小于它们乘积的2倍。 4. 易错强调：公式中a、b为全体实数，无正负限制，区别于后续基本不等式。 典例分析 题型一 认识不等式 第一 例1 第二 第三 第四 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速 40 km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，“限速 40 km/h”就是v的大小不能超过40，于是0<v≤40。 对于（2），由题意，得 对于（3），设△ABC的三条边为a, b, c，则a+b>c, a-b<c。 对于（4），如图，设C是直线AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是直线AB上不同于D的任意一点，则CD<CE。 典例分析 题型一 认识不等式 设元 例2 销售量 销售总收 不等式 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本。如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？ 解：设提价后每本杂志的定价为x元。 销售量：(8-(x-2.5)/0.1×0.2)万本。 销售总收入：(8-(x-2.5)/0.1×0.2)x万元。 不等式： ≥20. 典例分析 题型二 作差法比大小 作差 例3 变形 判号 结论 比较2+3与2x+1的大小； 作差： 变形： 判号：∵≥0，∴>0 结论：+3>2x+1 代数式作差后，常用配方、因式分解变形，结合平方非负、已知范围判断符号，注意等号成立条件。 典例分析 题型二 作差法比大小 作差 例4 变形 判号 结论 已知a,b均为正数，比较与的大小。 b+a)= 变形： 判号：∵a>0,b>0，∴a+b>0，又≥0，故差式≥0 结论： 代数式作差后，常用配方、因式分解变形，结合平方非负、已知范围判断符号，注意等号成立条件。 典例分析 题型三 重要不等式的理解 第一错解 例5 第一正解 第二题 利用重要不等式判断正误并说明理由 （1）≥ab；（2）若a≠b，则>2ab。 第（1）给出两种解释，一种逻辑有误，一种正确，同学们对比揣摩。 （1）错：由 +≥2ab，且 2ab≥ab，推出 +≥ab. 2ab≥ab 并不是对任意实数 a,b 恒成立 化简 2ab-ab≥0⟹ab≥0，只有a,b同号或至少一个为0时，2ab≥ab才成立； 若 ab<0（一正一负），则 2ab<ab，此时不能用传递性推导。 两者相加≥0， 因此 -ab≥0⇔≥ab，对任意实数a,b成立。 举一反三 1. 基础题：用作差法比较2x与-3的大小。 2. 基础题：判断式子+4≥4m是否恒成立，若成立，写出取等条件。 3. 提升题：已知a∈R，比较+1与2a的大小。 参考答案 1 2. 成立，，当且仅当m=2时取等； 3. ，故+1≥2a，当且仅当a=1时取等。 举一反三 4. （选择）下列不等式恒成立的是（） A. B；解析：A缺少取等情况，C需a≥0，D缺少取等情况，B中≥0恒成立。 5.用作差法比较的大小。 作差得，分类讨论：当时，两式相等；当，前者大；当时，后者大。 举一反三 6.某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元。列出不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”。 经n年后，方案B的投入不少于方案A的投入， 所以100+10(n-1)≥500，即n≥41 7.比较下列各组中两个代数式的大小： (1)当x>1时，；(2)与2(x+y-1)。 . 学海拾贝 1. 基础概念：不等式的定义、常见不等号，能准确识别和书写不等式； 2. 核心方法：作差比较法，牢记“作差—变形—判号—结论”四步解题法，掌握配方、因式分解两种核心变形技巧； 3. 重要结论：重要不等式≥2ab(a,b∈R)，熟记公式、适用范围和取等条件（a=b）； 4. 数学思想：转化与化归思想（将大小比较问题转化为差式符号判断问题）、数形结合思想（平方非负的几何意义）。 学海拾贝 1. 基础作业：整理本节课例题与练习，规范作差法解题步骤； 2. 巩固作业：教材课后对应习题，用作差法比较3组代数式大小； 3. 思考作业：尝试利用重要不等式推导。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $